Mencari Akar-Akar Persamaan Kuadrat (x1 dan x2): Panduan Lengkap

Persamaan kuadrat adalah salah satu fondasi penting dalam matematika, yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang, mulai dari fisika, rekayasa, ekonomi, hingga ilmu komputer. Inti dari banyak permasalahan yang melibatkan persamaan kuadrat adalah menemukan "akar-akarnya" – nilai-nilai variabel yang membuat persamaan tersebut menjadi benar. Akar-akar ini sering dilambangkan sebagai x1 dan x2. Memahami bagaimana menemukan dan menganalisis akar-akar ini adalah keterampilan fundamental yang akan membuka pintu untuk memecahkan berbagai tantangan matematis dan dunia nyata.

Artikel ini akan membawa Anda dalam perjalanan mendalam untuk memahami konsep persamaan kuadrat, berbagai metode untuk menemukan akar-akarnya, sifat-sifat unik yang dimiliki akar-akar tersebut, serta bagaimana mengaplikasikannya dalam konteks praktis. Kami akan membahas secara rinci tiga metode utama: pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan penggunaan rumus ABC (rumus kuadrat). Setiap metode akan dijelaskan langkah demi langkah dengan contoh-contoh yang jelas, memungkinkan Anda untuk menguasai setiap teknik.

Selain itu, kita akan menyelami peran penting diskriminan dalam menentukan jenis akar, membahas sifat-sifat penjumlahan dan perkalian akar, serta bagaimana sifat-sifat ini dapat digunakan untuk membentuk persamaan kuadrat baru atau menyelesaikan masalah tanpa perlu menemukan nilai akar secara eksplisit. Siapkan diri Anda untuk eksplorasi yang komprehensif ini!

Apa Itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah:

ax² + bx + c = 0

Di mana:

• x adalah variabel yang nilai-nilainya (akar-akar) ingin kita cari.
• a, b, dan c adalah koefisien, yaitu konstanta riil, dengan syarat utama a ≠ 0.
• Jika a = 0, persamaan tersebut bukan lagi persamaan kuadrat, melainkan persamaan linear (bx + c = 0).
• a adalah koefisien kuadrat (koefisien dari x²).
• b adalah koefisien linear (koefisien dari x).
• c adalah konstanta atau suku bebas.

Akar-akar dari persamaan kuadrat adalah nilai-nilai x yang, ketika disubstitusikan kembali ke dalam persamaan, akan membuat persamaan tersebut menjadi benar (sama dengan nol). Sebuah persamaan kuadrat, karena berderajat dua, akan selalu memiliki dua akar. Akar-akar ini bisa berupa bilangan riil yang berbeda, bilangan riil yang sama (kembar), atau bilangan kompleks.

Sejarah Singkat Persamaan Kuadrat

Konsep persamaan kuadrat telah dikenal sejak zaman kuno. Bangsa Babilonia, sekitar 2000 SM, sudah mampu menyelesaikan masalah-masalah yang setara dengan persamaan kuadrat dalam konteks luas tanah atau distribusi makanan. Mereka menggunakan metode yang mirip dengan "melengkapkan kuadrat sempurna" dalam bentuk geometris. Matematikawan India seperti Brahmagupta (sekitar abad ke-7 M) memberikan formula umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang menghasilkan akar positif. Di dunia Islam, Al-Khwarizmi (abad ke-9 M) dalam bukunya "Al-Jabr" memberikan metode sistematis untuk menyelesaikan berbagai jenis persamaan kuadrat, yang beberapa di antaranya masih relevan hingga saat ini. Di Eropa, baru pada abad ke-16, formula umum yang kita kenal sekarang ini dikembangkan dan disempurnakan oleh matematikawan seperti Gerolamo Cardano dan Niccolò Fontana Tartaglia.

Metode Mencari Akar-Akar Persamaan Kuadrat (x1 dan x2)

Ada tiga metode utama yang sering digunakan untuk menemukan akar-akar persamaan kuadrat. Masing-masing metode memiliki kelebihan dan kekurangan, serta cocok untuk jenis persamaan tertentu.

1. Metode Pemfaktoran (Faktorisasi)

Metode pemfaktoran adalah teknik mencari akar-akar dengan mengubah bentuk persamaan kuadrat menjadi perkalian dua faktor linear. Prinsip dasarnya adalah jika hasil perkalian dua bilangan adalah nol, maka salah satu atau kedua bilangan tersebut harus nol. Artinya, jika (x - x1)(x - x2) = 0, maka (x - x1) = 0 atau (x - x2) = 0.

Langkah-langkah Pemfaktoran:

1. Pastikan persamaan dalam bentuk standar ax² + bx + c = 0.
2. Cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya adalah ac, dan jika dijumlahkan hasilnya adalah b.
3. Ganti suku tengah bx dengan dua suku baru yang menggunakan dua bilangan tersebut.
4. Faktorkan dengan mengelompokkan suku-suku (faktor persekutuan terbesar).
5. Atur setiap faktor sama dengan nol untuk menemukan akar-akarnya.

Kasus-kasus Pemfaktoran:

a. Ketika c = 0 (Bentuk ax² + bx = 0)

Ini adalah kasus paling sederhana. Kita dapat langsung mengeluarkan x sebagai faktor persekutuan.

Penyelesaian:
1. Faktorkan x dari kedua suku:
   x(x + 5) = 0

2. Atur setiap faktor sama dengan nol:
   x = 0  (ini adalah x1)
   ATAU
   x + 5 = 0
   x = -5 (ini adalah x2)

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x1 = 0 dan x2 = -5.

Penyelesaian:
1. Faktorkan 3x dari kedua suku:
   3x(x - 4) = 0

2. Atur setiap faktor sama dengan nol:
   3x = 0
   x = 0 (x1)
   ATAU
   x - 4 = 0
   x = 4 (x2)

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x1 = 0 dan x2 = 4.

b. Ketika b = 0 (Bentuk ax² + c = 0)

Bentuk ini bisa diselesaikan dengan memindahkan c ke sisi kanan dan mengambil akar kuadrat.

Penyelesaian:
1. Pindahkan konstanta ke sisi kanan:
   x² = 9

2. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi (ingat ada positif dan negatif):
   x = ±√9
   x = ±3

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x1 = 3 dan x2 = -3.

Atau dengan pemfaktoran selisih dua kuadrat: (x - 3)(x + 3) = 0.

Penyelesaian:
1. Bagi dengan 2:
   x² - 25 = 0

2. Pindahkan konstanta:
   x² = 25

3. Ambil akar kuadrat:
   x = ±√25
   x = ±5

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x1 = 5 dan x2 = -5.

Jika ax² + c = 0 dan c/a > 0, maka akarnya akan berupa bilangan kompleks, misalnya x² + 4 = 0, maka x² = -4, x = ±√-4 = ±2i.

c. Ketika a = 1 (Bentuk x² + bx + c = 0)

Cari dua bilangan p dan q sedemikian rupa sehingga p + q = b dan p * q = c. Kemudian persamaan dapat difaktorkan menjadi (x + p)(x + q) = 0.

Penyelesaian:
1. Cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 10 (c) dan jika dijumlahkan hasilnya 7 (b).
   Bilangan-bilangan tersebut adalah 2 dan 5. (2 * 5 = 10, 2 + 5 = 7)

2. Tulis persamaan dalam bentuk faktor:
   (x + 2)(x + 5) = 0

3. Atur setiap faktor sama dengan nol:
   x + 2 = 0  => x = -2 (x1)
   ATAU
   x + 5 = 0  => x = -5 (x2)

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x1 = -2 dan x2 = -5.

Penyelesaian:
1. Cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 15 dan jika dijumlahkan hasilnya -8.
   Bilangan-bilangan tersebut adalah -3 dan -5. ((-3) * (-5) = 15, (-3) + (-5) = -8)

2. Tulis persamaan dalam bentuk faktor:
   (x - 3)(x - 5) = 0

3. Atur setiap faktor sama dengan nol:
   x - 3 = 0  => x = 3 (x1)
   ATAU
   x - 5 = 0  => x = 5 (x2)

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x1 = 3 dan x2 = 5.

d. Ketika a > 1 (Bentuk ax² + bx + c = 0)

Ini sedikit lebih kompleks. Kita mencari dua bilangan p dan q sedemikian rupa sehingga p * q = ac dan p + q = b. Kemudian kita ganti bx dengan px + qx dan faktorkan dengan pengelompokan.

Penyelesaian:
1. Identifikasi a, b, c: a=2, b=7, c=3.
   Hitung ac = 2 * 3 = 6.
   Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 6 dan jika dijumlahkan hasilnya 7.
   Bilangan-bilangan tersebut adalah 1 dan 6. (1 * 6 = 6, 1 + 6 = 7)

2. Ganti suku tengah (7x) dengan 1x + 6x:
   2x² + 1x + 6x + 3 = 0

3. Faktorkan dengan mengelompokkan:
   (2x² + x) + (6x + 3) = 0
   x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0

4. Faktorkan faktor persekutuan (2x + 1):
   (2x + 1)(x + 3) = 0

5. Atur setiap faktor sama dengan nol:
   2x + 1 = 0  => 2x = -1  => x = -1/2 (x1)
   ATAU
   x + 3 = 0   => x = -3   (x2)

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x1 = -1/2 dan x2 = -3.

Penyelesaian:
1. Identifikasi a, b, c: a=6, b=-1, c=-2.
   Hitung ac = 6 * (-2) = -12.
   Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya -12 dan jika dijumlahkan hasilnya -1.
   Bilangan-bilangan tersebut adalah -4 dan 3. ((-4) * 3 = -12, (-4) + 3 = -1)

2. Ganti suku tengah (-x) dengan -4x + 3x:
   6x² - 4x + 3x - 2 = 0

3. Faktorkan dengan mengelompokkan:
   (6x² - 4x) + (3x - 2) = 0
   2x(3x - 2) + 1(3x - 2) = 0

4. Faktorkan faktor persekutuan (3x - 2):
   (3x - 2)(2x + 1) = 0

5. Atur setiap faktor sama dengan nol:
   3x - 2 = 0  => 3x = 2  => x = 2/3 (x1)
   ATAU
   2x + 1 = 0  => 2x = -1 => x = -1/2 (x2)

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x1 = 2/3 dan x2 = -1/2.

Metode pemfaktoran sangat efisien ketika persamaan kuadrat dapat difaktorkan dengan mudah. Namun, tidak semua persamaan kuadrat mudah difaktorkan, terutama jika akar-akarnya adalah bilangan irasional atau kompleks.

2. Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode ini melibatkan manipulasi aljabar untuk mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu (x + p)² = q, yang kemudian dapat diselesaikan dengan mengambil akar kuadrat dari kedua sisi. Metode ini juga penting karena merupakan dasar penurunan rumus ABC.

Langkah-langkah Melengkapkan Kuadrat Sempurna:

1. Pastikan koefisien a dari x² adalah 1. Jika tidak, bagi seluruh persamaan dengan a.
2. Pindahkan suku konstanta c ke sisi kanan persamaan.
3. Ambil setengah dari koefisien b (setelah a=1), lalu kuadratkan hasilnya. Tambahkan hasil ini ke kedua sisi persamaan.
4. Faktorkan sisi kiri persamaan menjadi kuadrat sempurna.
5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi (jangan lupa ±).
6. Selesaikan untuk x.

Penyelesaian:
1. Koefisien a sudah 1.
   x² + 6x + 5 = 0

2. Pindahkan konstanta ke sisi kanan:
   x² + 6x = -5

3. Ambil setengah dari koefisien x (6/2 = 3), lalu kuadratkan (3² = 9). Tambahkan 9 ke kedua sisi:
   x² + 6x + 9 = -5 + 9
   x² + 6x + 9 = 4

4. Faktorkan sisi kiri sebagai kuadrat sempurna:
   (x + 3)² = 4

5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
   x + 3 = ±√4
   x + 3 = ±2

6. Selesaikan untuk x:
   Kasus 1: x + 3 = 2  => x = 2 - 3 => x = -1 (x1)
   Kasus 2: x + 3 = -2 => x = -2 - 3 => x = -5 (x2)

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x1 = -1 dan x2 = -5.

Penyelesaian:
1. Koefisien a belum 1. Bagi seluruh persamaan dengan 2:
   x² - 4x + 3 = 0

2. Pindahkan konstanta ke sisi kanan:
   x² - 4x = -3

3. Ambil setengah dari koefisien x (-4/2 = -2), lalu kuadratkan ((-2)² = 4). Tambahkan 4 ke kedua sisi:
   x² - 4x + 4 = -3 + 4
   x² - 4x + 4 = 1

4. Faktorkan sisi kiri sebagai kuadrat sempurna:
   (x - 2)² = 1

5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
   x - 2 = ±√1
   x - 2 = ±1

6. Selesaikan untuk x:
   Kasus 1: x - 2 = 1  => x = 1 + 2 => x = 3 (x1)
   Kasus 2: x - 2 = -1 => x = -1 + 2 => x = 1 (x2)

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x1 = 3 dan x2 = 1.

Metode melengkapkan kuadrat sempurna selalu dapat digunakan untuk menemukan akar-akar, baik itu riil atau kompleks, dan merupakan metode yang sangat sistematis.

3. Rumus ABC (Rumus Kuadrat)

Rumus ABC adalah metode paling universal dan seringkali paling cepat untuk menemukan akar-akar persamaan kuadrat. Rumus ini diturunkan dari metode melengkapkan kuadrat sempurna dan dapat digunakan untuk setiap persamaan kuadrat, terlepas dari jenis akarnya.

Rumus ABC:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

Di mana:

• a, b, c adalah koefisien dari persamaan ax² + bx + c = 0.
• Simbol ± menunjukkan bahwa ada dua solusi untuk x: satu dengan tanda plus (+) dan satu lagi dengan tanda minus (-). Ini yang menjadi x1 dan x2.

Penurunan Rumus ABC dari Melengkapkan Kuadrat Sempurna:

Mari kita lihat bagaimana rumus ini diturunkan dari metode melengkapkan kuadrat sempurna:

Dimulai dari bentuk umum:
ax² + bx + c = 0

1. Bagi seluruh persamaan dengan a (asumsi a ≠ 0):
   x² + (b/a)x + (c/a) = 0

2. Pindahkan konstanta (c/a) ke sisi kanan:
   x² + (b/a)x = -c/a

3. Tambahkan (setengah dari koefisien x)² ke kedua sisi.
   Setengah dari (b/a) adalah (b/2a). Kuadratnya adalah (b/2a)².
   x² + (b/a)x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

4. Faktorkan sisi kiri menjadi kuadrat sempurna dan sederhanakan sisi kanan:
   (x + b/2a)² = -c/a + b²/4a²
   (x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²  (menyamakan penyebut di sisi kanan)

5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
   x + b/2a = ±√[(b² - 4ac) / 4a²]
   x + b/2a = ±√(b² - 4ac) / √(4a²)
   x + b/2a = ±√(b² - 4ac) / 2a

6. Pindahkan b/2a ke sisi kanan untuk menyelesaikan x:
   x = -b/2a ± √(b² - 4ac) / 2a
   x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

Ini adalah Rumus ABC yang terkenal! Bagian di bawah tanda akar, b² - 4ac, dikenal sebagai diskriminan.

Penggunaan Rumus ABC:

Penyelesaian:
1. Identifikasi a, b, c:
   a = 1
   b = 7
   c = 10

2. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
   x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
   x = [-7 ± √(7² - 4 * 1 * 10)] / (2 * 1)
   x = [-7 ± √(49 - 40)] / 2
   x = [-7 ± √9] / 2
   x = [-7 ± 3] / 2

3. Hitung kedua akar (x1 dan x2):
   x1 = (-7 + 3) / 2 = -4 / 2 = -2
   x2 = (-7 - 3) / 2 = -10 / 2 = -5

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x1 = -2 dan x2 = -5.

Penyelesaian:
1. Identifikasi a, b, c:
   a = 1
   b = -4
   c = 4

2. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
   x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
   x = [-(-4) ± ((-4)² - 4 * 1 * 4)] / (2 * 1)
   x = [4 ± √(16 - 16)] / 2
   x = [4 ± √0] / 2
   x = [4 ± 0] / 2

3. Hitung kedua akar (x1 dan x2):
   x1 = (4 + 0) / 2 = 4 / 2 = 2
   x2 = (4 - 0) / 2 = 4 / 2 = 2

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x1 = 2 dan x2 = 2 (akar kembar).

Penyelesaian:
1. Identifikasi a, b, c:
   a = 1
   b = 2
   c = 5

2. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
   x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
   x = [-2 ± √(2² - 4 * 1 * 5)] / (2 * 1)
   x = [-2 ± √(4 - 20)] / 2
   x = [-2 ± √-16] / 2

3. Ingat bahwa √-1 = i (bilangan imajiner).
   x = [-2 ± √(16 * -1)] / 2
   x = [-2 ± 4i] / 2

4. Hitung kedua akar (x1 dan x2):
   x1 = (-2 + 4i) / 2 = -1 + 2i
   x2 = (-2 - 4i) / 2 = -1 - 2i

Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x1 = -1 + 2i dan x2 = -1 - 2i (akar kompleks konjugat).

Rumus ABC adalah metode yang paling handal karena selalu dapat memberikan solusi, bahkan ketika akar-akarnya tidak mudah difaktorkan atau melibatkan bilangan kompleks.

Diskriminan (D = b² - 4ac)

Diskriminan, dilambangkan dengan D, adalah bagian dari rumus ABC yang berada di bawah tanda akar kuadrat: D = b² - 4ac. Nilai diskriminan ini sangat penting karena memberitahu kita tentang sifat atau jenis akar-akar persamaan kuadrat tanpa perlu menghitung nilai akar-akarnya secara lengkap.

Peran Diskriminan dalam Menentukan Jenis Akar:

1. Jika D > 0 (Diskriminan Positif)

   Persamaan kuadrat memiliki dua akar riil yang berbeda (distinct real roots). Ini berarti parabola yang merepresentasikan fungsi kuadrat akan memotong sumbu-x di dua titik yang berbeda.

   Contoh D > 0:

   Persamaan: x² - 5x + 6 = 0

   Identifikasi a, b, c: a=1, b=-5, c=6
   D = b² - 4ac
   D = (-5)² - 4 * 1 * 6
   D = 25 - 24
   D = 1
   
   Karena D = 1 (D > 0), persamaan ini memiliki dua akar riil yang berbeda.
   Jika dihitung: x = [5 ± √1] / 2 = [5 ± 1] / 2
   x1 = (5+1)/2 = 3
   x2 = (5-1)/2 = 2

2. Jika D = 0 (Diskriminan Nol)

   Persamaan kuadrat memiliki dua akar riil yang sama (equal real roots), sering disebut juga akar kembar atau akar berulang. Ini berarti parabola akan menyinggung sumbu-x tepat di satu titik.

   Contoh D = 0:

   Persamaan: x² - 6x + 9 = 0

   Identifikasi a, b, c: a=1, b=-6, c=9
   D = b² - 4ac
   D = (-6)² - 4 * 1 * 9
   D = 36 - 36
   D = 0
   
   Karena D = 0, persamaan ini memiliki dua akar riil yang sama (kembar).
   Jika dihitung: x = [6 ± √0] / 2 = [6 ± 0] / 2
   x1 = 3
   x2 = 3

3. Jika D < 0 (Diskriminan Negatif)

   Persamaan kuadrat memiliki dua akar kompleks konjugat (complex conjugate roots). Ini berarti parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu-x; seluruhnya berada di atas atau di bawah sumbu-x.

   Contoh D < 0:

   Persamaan: x² + 2x + 5 = 0

   Identifikasi a, b, c: a=1, b=2, c=5
   D = b² - 4ac
   D = (2)² - 4 * 1 * 5
   D = 4 - 20
   D = -16
   
   Karena D = -16 (D < 0), persamaan ini memiliki dua akar kompleks konjugat.
   Jika dihitung: x = [-2 ± √-16] / 2 = [-2 ± 4i] / 2
   x1 = -1 + 2i
   x2 = -1 - 2i

Memahami diskriminan memungkinkan kita untuk mengetahui karakteristik solusi persamaan kuadrat dengan cepat, yang sangat berguna dalam analisis matematika dan aplikasi praktis.

Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat (x1 dan x2)

Selain menemukan nilai eksplisit dari akar-akar x1 dan x2, kita juga bisa mempelajari hubungan antara akar-akar tersebut dengan koefisien persamaan tanpa perlu menghitung akar-akarnya terlebih dahulu. Sifat-sifat ini sangat berguna untuk memecahkan masalah yang lebih kompleks, seperti membentuk persamaan kuadrat baru atau menemukan nilai koefisien tertentu.

Kita mulai dari bentuk umum ax² + bx + c = 0 dan rumus akar-akarnya:

x1 = [-b + √(D)] / 2a
x2 = [-b - √(D)] / 2a

Di mana D = b² - 4ac.

1. Jumlah Akar (x1 + x2)

Jika kita menjumlahkan kedua akar:

x1 + x2 = ([-b + √D] / 2a) + ([-b - √D] / 2a)
x1 + x2 = (-b + √D - b - √D) / 2a
x1 + x2 = (-2b) / 2a
x1 + x2 = -b/a

x1 + x2 = -b/a

2. Hasil Kali Akar (x1 * x2)

Jika kita mengalikan kedua akar:

x1 * x2 = ([-b + √D] / 2a) * ([-b - √D] / 2a)
x1 * x2 = ((-b)² - (√D)²) / (2a)²   (menggunakan (A+B)(A-B) = A²-B²)
x1 * x2 = (b² - D) / 4a²
x1 * x2 = (b² - (b² - 4ac)) / 4a²
x1 * x2 = (b² - b² + 4ac) / 4a²
x1 * x2 = (4ac) / 4a²
x1 * x2 = c/a

x1 * x2 = c/a

3. Selisih Akar (|x1 - x2|)

Selisih akar dapat ditemukan sebagai berikut:

|x1 - x2| = |([-b + √D] / 2a) - ([-b - √D] / 2a)|
|x1 - x2| = |-b + √D + b + √D| / |2a|
|x1 - x2| = |2√D| / |2a|
|x1 - x2| = √D / |a|

|x1 - x2| = √D / |a|

Di mana D = b² - 4ac. Perhatikan bahwa kita menggunakan nilai mutlak untuk a karena selisih akar selalu non-negatif.

Contoh Penggunaan Sifat-sifat Akar:

Penyelesaian:
Identifikasi a, b, c: a=2, b=-8, c=6.

Jumlah Akar:
x1 + x2 = -b/a = -(-8)/2 = 8/2 = 4

Hasil Kali Akar:
x1 * x2 = c/a = 6/2 = 3

(Untuk verifikasi, akar-akar persamaan ini adalah x1=3 dan x2=1.
x1+x2 = 3+1 = 4, dan x1*x2 = 3*1 = 3. Hasilnya cocok!)

Penyelesaian:
Identifikasi a, b, c: a=1, b=k, c=-12.
Diketahui x1 = 3.

Menggunakan sifat jumlah akar:
x1 + x2 = -b/a
3 + x2 = -k/1
3 + x2 = -k  (Persamaan 1)

Menggunakan sifat hasil kali akar:
x1 * x2 = c/a
3 * x2 = -12/1
3x2 = -12
x2 = -12/3
x2 = -4

Sekarang kita punya x2 = -4. Substitusikan kembali ke Persamaan 1:
3 + (-4) = -k
-1 = -k
k = 1

Jadi, nilai k adalah 1, dan akar yang lain (x2) adalah -4.

Sifat-sifat Akar Lanjutan:

Dari sifat dasar jumlah dan hasil kali akar, kita bisa menurunkan berbagai ekspresi lain yang melibatkan x1 dan x2 tanpa perlu mencari nilai spesifik mereka.

• x1² + x2²

  x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2x1x2
             = (-b/a)² - 2(c/a)
             = b²/a² - 2c/a
             = (b² - 2ac) / a²

• 1/x1 + 1/x2

  1/x1 + 1/x2 = (x2 + x1) / (x1x2)
                = (-b/a) / (c/a)
                = -b/c

• x1³ + x2³

  x1³ + x2³ = (x1 + x2)(x1² - x1x2 + x2²)
              = (x1 + x2)((x1 + x2)² - 3x1x2)
              = (-b/a)((-b/a)² - 3(c/a))
              = (-b/a)(b²/a² - 3c/a)
              = (-b/a)((b² - 3ac)/a²)
              = (-b³ + 3abc)/a³

• (x1 - x2)²

  (x1 - x2)² = x1² - 2x1x2 + x2²
               = (x1² + x2²) - 2x1x2
               = ((x1 + x2)² - 2x1x2) - 2x1x2
               = (x1 + x2)² - 4x1x2
               = (-b/a)² - 4(c/a)
               = b²/a² - 4c/a
               = (b² - 4ac) / a²
               = D / a²

Penyelesaian:
Identifikasi a, b, c: a=3, b=-5, c=1.

Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar:
x1 + x2 = -b/a = -(-5)/3 = 5/3
x1 * x2 = c/a = 1/3

Kemudian, gunakan rumus x1² + x2²:
x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2x1x2
          = (5/3)² - 2(1/3)
          = 25/9 - 2/3
          = 25/9 - 6/9
          = 19/9

Jadi, nilai dari x1² + x2² adalah 19/9.

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Pengetahuan tentang sifat-sifat akar juga memungkinkan kita untuk menyusun persamaan kuadrat jika kita mengetahui akar-akarnya atau hubungan antar akar-akar tersebut.

Ada Dua Cara Utama:

1. Menggunakan Rumus Perkalian Faktor:

   Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan tersebut dapat ditulis sebagai:

   (x - x1)(x - x2) = 0

   Setelah dikalikan, hasilnya adalah x² - (x1 + x2)x + x1x2 = 0. Rumus ini juga bisa diturunkan dari cara kedua.

   Contoh 5.1:

   Susun persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 3 dan -5.

   Penyelesaian:
   Misalkan x1 = 3 dan x2 = -5.
   
   Menggunakan rumus (x - x1)(x - x2) = 0:
   (x - 3)(x - (-5)) = 0
   (x - 3)(x + 5) = 0
   x(x + 5) - 3(x + 5) = 0
   x² + 5x - 3x - 15 = 0
   x² + 2x - 15 = 0
   
   Jadi, persamaan kuadratnya adalah x² + 2x - 15 = 0.

2. Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar:

   Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan tersebut dapat ditulis sebagai:

   x² - (x1 + x2)x + (x1 * x2) = 0

   Ini adalah bentuk umum di mana koefisien a=1. Jika diperlukan a ≠ 1, Anda bisa mengalikan seluruh persamaan dengan a.

   Contoh 5.2:

   Susun persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 1/2 dan -2/3.

   Penyelesaian:
   Misalkan x1 = 1/2 dan x2 = -2/3.
   
   Hitung jumlah akar:
   x1 + x2 = 1/2 + (-2/3) = 3/6 - 4/6 = -1/6
   
   Hitung hasil kali akar:
   x1 * x2 = (1/2) * (-2/3) = -2/6 = -1/3
   
   Substitusikan ke dalam rumus x² - (x1 + x2)x + (x1 * x2) = 0:
   x² - (-1/6)x + (-1/3) = 0
   x² + 1/6x - 1/3 = 0
   
   Untuk menghilangkan pecahan, kalikan seluruh persamaan dengan KPK dari penyebut (6):
   6(x² + 1/6x - 1/3) = 6 * 0
   6x² + x - 2 = 0
   
   Jadi, persamaan kuadratnya adalah 6x² + x - 2 = 0.

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru dari Akar-akar yang Transformasi

Seringkali, kita diminta untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang sudah ada.

Penyelesaian:
Untuk persamaan awal: x² - 3x + 2 = 0
a=1, b=-3, c=2
x1 + x2 = -b/a = -(-3)/1 = 3
x1 * x2 = c/a = 2/1 = 2

Misalkan akar-akar persamaan baru adalah α dan β.
α = x1 + 1
β = x2 + 1

Hitung jumlah akar baru (α + β):
α + β = (x1 + 1) + (x2 + 1)
      = x1 + x2 + 2
      = 3 + 2 = 5

Hitung hasil kali akar baru (α * β):
α * β = (x1 + 1)(x2 + 1)
      = x1x2 + x1 + x2 + 1
      = (x1x2) + (x1 + x2) + 1
      = 2 + 3 + 1 = 6

Susun persamaan kuadrat baru: x² - (α + β)x + (α * β) = 0
x² - (5)x + (6) = 0
x² - 5x + 6 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x² - 5x + 6 = 0.

Penyelesaian:
Untuk persamaan awal: 2x² - 4x - 6 = 0
a=2, b=-4, c=-6
x1 + x2 = -b/a = -(-4)/2 = 4/2 = 2
x1 * x2 = c/a = -6/2 = -3

Misalkan akar-akar persamaan baru adalah α dan β.
α = 2x1
β = 2x2

Hitung jumlah akar baru (α + β):
α + β = 2x1 + 2x2
      = 2(x1 + x2)
      = 2(2) = 4

Hitung hasil kali akar baru (α * β):
α * β = (2x1)(2x2)
      = 4(x1x2)
      = 4(-3) = -12

Susun persamaan kuadrat baru: x² - (α + β)x + (α * β) = 0
x² - (4)x + (-12) = 0
x² - 4x - 12 = 0

Jadi, persamaan kuadrat baru adalah x² - 4x - 12 = 0.

Aplikasi Persamaan Kuadrat dalam Kehidupan Sehari-hari

Persamaan kuadrat bukan hanya konsep teoretis di buku pelajaran matematika. Mereka adalah alat yang sangat ampuh untuk memodelkan dan memecahkan berbagai masalah di dunia nyata. Memahami akar-akar persamaan kuadrat (x1 dan x2) seringkali berarti menemukan solusi konkret untuk tantangan-tantangan ini.

1. Fisika dan Teknik

• Gerak Proyektil:

  Lintasan benda yang dilempar atau ditembakkan (seperti bola yang ditendang, panah yang ditembakkan) mengikuti bentuk parabola. Ketinggian benda sebagai fungsi waktu sering kali dijelaskan oleh persamaan kuadrat: h(t) = -gt²/2 + v₀t + h₀, di mana g adalah percepatan gravitasi, v₀ adalah kecepatan awal, dan h₀ adalah ketinggian awal. Akar-akar persamaan ini (ketika h(t)=0) akan memberitahu kita kapan benda tersebut menyentuh tanah.

  Contoh Aplikasi 1:

  Sebuah bola ditendang dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 20 m/s. Persamaan ketinggiannya adalah h(t) = -5t² + 20t (mengasumsikan g=10 m/s²). Kapan bola akan kembali menyentuh tanah?

  Penyelesaian:
  Bola menyentuh tanah ketika h(t) = 0.
  -5t² + 20t = 0
  -5t(t - 4) = 0
  
  Maka, -5t = 0  => t = 0 (Saat bola ditendang)
  ATAU t - 4 = 0   => t = 4 (Saat bola menyentuh tanah kembali)
  
  Jadi, bola akan kembali menyentuh tanah setelah 4 detik.

• Rangkaian Listrik:

  Dalam analisis sirkuit listrik, persamaan kuadrat sering muncul dalam konteks impedansi dan resonansi, terutama pada rangkaian RLC (Resistor, Induktor, Kapasitor).

2. Geometri dan Desain

• Luas dan Keliling:

  Masalah yang melibatkan luas atau keliling bangun datar sering mengarah pada persamaan kuadrat. Misalnya, mencari dimensi lahan dengan luas tertentu.

  Contoh Aplikasi 2:

  Sebuah taman berbentuk persegi panjang memiliki panjang 5 meter lebih panjang dari lebarnya. Jika luas taman adalah 84 meter persegi, berapa panjang dan lebar taman tersebut?

  Penyelesaian:
  Misalkan lebar taman adalah L meter.
  Maka panjang taman adalah (L + 5) meter.
  Luas = Panjang * Lebar
  84 = (L + 5) * L
  84 = L² + 5L
  
  Pindahkan semua suku ke satu sisi:
  L² + 5L - 84 = 0
  
  Ini adalah persamaan kuadrat. Kita bisa menyelesaikannya dengan pemfaktoran.
  Cari dua bilangan yang dikalikan hasilnya -84 dan dijumlahkan hasilnya 5.
  Bilangan tersebut adalah 12 dan -7.
  (L + 12)(L - 7) = 0
  
  Maka, L + 12 = 0 => L = -12 (Tidak mungkin lebar negatif)
  ATAU L - 7 = 0  => L = 7
  
  Jadi, lebar taman adalah 7 meter.
  Panjang taman = L + 5 = 7 + 5 = 12 meter.
  (Verifikasi: Luas = 12 * 7 = 84 m², cocok).

• Desain Arsitektur:

  Bentuk parabola sering digunakan dalam desain jembatan, lengkungan, dan kubah karena kekuatan strukturalnya. Persamaan kuadrat membantu insinyur menghitung dimensi optimal dan titik tumpu.

3. Ekonomi dan Bisnis

• Optimasi Keuntungan:

  Fungsi keuntungan, biaya, atau pendapatan sering kali dapat dimodelkan dengan persamaan kuadrat. Menemukan akar-akar atau titik puncak parabola dapat membantu perusahaan menentukan harga produk optimal, jumlah produksi, atau titik impas (break-even point).

  Contoh Aplikasi 3:

  Sebuah perusahaan menjual produk. Fungsi pendapatan (R) dari menjual x unit produk diberikan oleh R(x) = -2x² + 40x. Tentukan berapa unit yang harus dijual agar pendapatan adalah nol.

  Penyelesaian:
  Pendapatan nol berarti R(x) = 0.
  -2x² + 40x = 0
  
  Faktorkan -2x:
  -2x(x - 20) = 0
  
  Maka, -2x = 0  => x = 0 (Jika tidak ada yang dijual, pendapatan nol)
  ATAU x - 20 = 0 => x = 20
  
  Jadi, perusahaan harus menjual 0 atau 20 unit produk agar pendapatan menjadi nol. Ini sering disebut titik impas atau kondisi tidak ada pendapatan.

• Penawaran dan Permintaan:

  Model ekonomi yang melibatkan interaksi antara penawaran dan permintaan dapat menghasilkan persamaan kuadrat ketika mencari titik ekuilibrium pasar.

4. Statistik dan Probabilitas

Dalam analisis statistik, terutama dalam regresi kuadratik, persamaan kuadrat digunakan untuk memodelkan hubungan non-linear antara variabel. Ini membantu memprediksi tren dan pola data.

5. Olahraga

Banyak aspek dalam olahraga melibatkan lintasan parabola. Misalnya, dalam golf, basket, atau atletik (lempar lembing, tolak peluru), persamaan kuadrat membantu menganalisis lintasan proyektil untuk mencapai target atau jarak maksimum.

Dari contoh-contoh di atas, jelas bahwa kemampuan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dan memahami arti akar-akarnya adalah keterampilan yang sangat berharga yang dapat diterapkan dalam berbagai skenario praktis, membantu kita membuat keputusan yang lebih baik dan merancang solusi yang lebih efektif.

Grafik Persamaan Kuadrat (Parabola) dan Akar-akarnya

Secara visual, persamaan kuadrat y = ax² + bx + c direpresentasikan oleh sebuah grafik yang disebut parabola. Akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 memiliki makna geometris yang sangat penting pada grafik ini: mereka adalah titik-titik di mana parabola memotong atau menyinggung sumbu-x (y=0).

Mari kita pahami hubungan ini lebih jauh:

1. Hubungan Akar dan Titik Potong Sumbu-x

   Ketika kita mencari akar-akar persamaan ax² + bx + c = 0, kita sebenarnya mencari nilai x ketika y = 0. Dalam konteks grafik, ini berarti kita mencari titik-titik di mana grafik parabola memotong sumbu-x.

2. Arah Pembukaan Parabola

   • Jika a > 0, parabola terbuka ke atas. Titik puncaknya adalah titik terendah (minimum).
   • Jika a < 0, parabola terbuka ke bawah. Titik puncaknya adalah titik tertinggi (maksimum).

3. Posisi Akar Relatif terhadap Grafik (Ditinjau dari Diskriminan)

   Konsep diskriminan (D = b² - 4ac) yang sudah kita bahas sebelumnya memiliki interpretasi grafis yang langsung:

   • D > 0 (Dua akar riil berbeda):

     Parabola memotong sumbu-x di dua titik yang berbeda. Ini berarti ada dua nilai x yang berbeda (yaitu x1 dan x2) yang membuat y = 0.

     
   • D = 0 (Dua akar riil kembar):

     Parabola menyinggung sumbu-x di satu titik (titik puncak parabola tepat berada di sumbu-x). Ini berarti x1 = x2.

     
   • D < 0 (Dua akar kompleks konjugat):

     Parabola tidak memotong maupun menyinggung sumbu-x sama sekali. Ini berarti tidak ada nilai x riil yang membuat y = 0, sehingga akar-akarnya adalah bilangan kompleks.

     

4. Titik Puncak (Vertex) Parabola

   Titik puncak parabola adalah titik tertinggi atau terendah pada grafik. Koordinat titik puncak dapat dihitung dengan rumus:

   x_puncak = -b / 2a
   y_puncak = f(x_puncak) = a(x_puncak)² + b(x_puncak) + c  (atau y_puncak = -D / 4a)

   Sumbu simetri parabola adalah garis vertikal yang melewati titik puncak, yaitu x = -b / 2a.

5. Titik Potong Sumbu-y

   Parabola selalu memotong sumbu-y di satu titik, yaitu ketika x = 0. Dengan menyubstitusikan x = 0 ke dalam persamaan y = ax² + bx + c, kita akan mendapatkan y = a(0)² + b(0) + c, yang berarti y = c. Jadi, titik potong sumbu-y adalah (0, c).

Memvisualisasikan grafik parabola membantu memperdalam pemahaman kita tentang sifat-sifat akar persamaan kuadrat. Kita bisa langsung melihat apakah ada akar riil, berapa jumlahnya, dan di mana kira-kira letaknya pada sumbu-x.

Kesalahan Umum dan Tips dalam Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Meskipun konsepnya terlihat lugas, ada beberapa kesalahan umum yang sering dilakukan siswa saat bekerja dengan persamaan kuadrat. Menyadari kesalahan-kesalahan ini dapat membantu Anda menghindarinya.

Kesalahan Umum:

1. Kesalahan Tanda pada Rumus ABC:

   Salah satu kesalahan paling sering adalah keliru dalam memasukkan tanda negatif, terutama pada -b atau -4ac. Misalnya, jika b = -5, maka -b seharusnya -(-5) = 5, bukan -5.

2. Lupa ± saat Mengambil Akar Kuadrat:

   Ketika menyelesaikan x² = k, solusinya adalah x = ±√k. Banyak yang lupa menyertakan tanda minus, sehingga hanya mendapatkan satu akar, padahal persamaan kuadrat memiliki dua akar.

3. Salah Mengidentifikasi a, b, c:

   Jika persamaan tidak dalam bentuk standar ax² + bx + c = 0 (misalnya, x² = 3x - 2), terkadang siswa langsung mengidentifikasi a, b, c tanpa merapikannya terlebih dahulu. Selalu pastikan semua suku berada di satu sisi dan diatur dalam urutan menurun pangkat x.

4. Kesalahan Aritmatika Sederhana:

   Perhitungan yang terburu-buru, seperti perkalian atau penjumlahan/pengurangan, dapat menyebabkan kesalahan. Periksa ulang setiap langkah, terutama saat menghitung diskriminan.

5. Mengabaikan Pembagian dengan 2a dalam Rumus ABC:

   Setelah menghitung -b ± √D, beberapa orang lupa membagi seluruh ekspresi dengan 2a.

6. Asumsi Pemfaktoran Selalu Mudah:

   Tidak semua persamaan kuadrat mudah difaktorkan. Jika Anda kesulitan menemukan faktornya dengan cepat, beralihlah ke metode Rumus ABC. Jangan membuang waktu terlalu banyak untuk mencoba pemfaktoran yang sulit.

7. Tidak Memahami Konsep Akar Kompleks:

   Ketika diskriminan negatif (D < 0), akarnya adalah bilangan kompleks. Beberapa siswa bingung atau menganggap tidak ada solusi. Penting untuk memahami bahwa "tidak ada solusi riil" tidak berarti "tidak ada solusi sama sekali".

Tips untuk Keberhasilan:

1. Rapikan Persamaan Terlebih Dahulu:

   Selalu tulis persamaan dalam bentuk standar ax² + bx + c = 0 sebelum mengidentifikasi a, b, c atau memulai metode penyelesaian.

2. Identifikasi a, b, c dengan Cermat:

   Tuliskan nilai a, b, c secara eksplisit (termasuk tanda negatifnya) sebelum memulai perhitungan. Contoh: x² - x - 6 = 0 -> a=1, b=-1, c=-6.

3. Gunakan Rumus ABC untuk Verifikasi:

   Jika Anda menggunakan pemfaktoran atau melengkapkan kuadrat sempurna, Anda bisa menggunakan rumus ABC untuk memverifikasi jawaban Anda, terutama dalam ujian.

4. Pahami Diskriminan:

   Hitung diskriminan (D = b² - 4ac) terlebih dahulu. Ini akan memberi tahu Anda jenis akar yang diharapkan (riil berbeda, riil kembar, atau kompleks) dan dapat mencegah Anda mencari akar riil jika yang ada adalah kompleks.

5. Periksa Jawaban Anda:

   Setelah menemukan akar-akar (x1 dan x2), substitusikan kembali ke persamaan awal untuk memastikan bahwa persamaan tersebut menjadi nol. Ini adalah cara termudah untuk menangkap kesalahan.

   Jika x1 adalah akar, maka a(x1)² + b(x1) + c = 0

6. Latihan Konsisten:

   Seperti halnya keterampilan matematika lainnya, latihan adalah kunci. Semakin banyak Anda berlatih berbagai jenis soal, semakin cepat dan akurat Anda akan dalam memecahkan persamaan kuadrat.

7. Gunakan Metode yang Paling Tepat:

   • Pemfaktoran: Cepat jika faktornya jelas.
   • Melengkapkan Kuadrat Sempurna: Bagus untuk kasus `a=1` dan `b` adalah bilangan genap, serta penting untuk penurunan rumus.
   • Rumus ABC: Universal, selalu berfungsi, terutama baik untuk akar irasional atau kompleks.

Dengan memperhatikan tips-tips ini dan berlatih secara rutin, Anda akan semakin mahir dalam menyelesaikan dan memahami akar-akar persamaan kuadrat.