Representasi visual sederhana dari vektor dalam ruang Euclidean dasar.
Aljabar linear elementer merupakan cabang matematika yang fundamental dan esensial, terutama bagi mereka yang mendalami ilmu komputer, teknik, fisika, dan analisis data. Pada tingkat elementer (dasar), fokus utama kajian adalah pada pemahaman tentang vektor, matriks, sistem persamaan linear, dan transformasi linear yang mendasarinya. Ini adalah bahasa matematika yang digunakan untuk menggambarkan dan memanipulasi data multidimensi.
Inti dari aljabar linear adalah matriks. Matriks dapat dianggap sebagai susunan bilangan persegi panjang yang disusun dalam baris dan kolom. Dalam konteks praktis, matriks berfungsi sebagai wadah penyimpanan data terstruktur. Sebuah matriks berukuran $m \times n$ memiliki $m$ baris dan $n$ kolom.
Misalnya, matriks $A$ dapat direpresentasikan sebagai:
Operasi dasar pada matriks—penjumlahan, pengurangan, dan perkalian—memungkinkan kita untuk mengombinasikan informasi atau menerapkan serangkaian operasi berulang. Perkalian matriks, khususnya, memiliki aturan yang ketat terkait dimensi matriks yang terlibat, yang memastikan bahwa urutan operasi sangat penting.
Salah satu aplikasi paling mendasar dari aljabar linear adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear simultan. Sistem ini muncul di hampir setiap bidang ilmiah dan rekayasa ketika kita mencoba mencari variabel yang memenuhi beberapa batasan secara bersamaan.
Sebuah sistem persamaan linear dapat dinyatakan secara ringkas dalam bentuk matriks, yaitu $Ax = b$, di mana $A$ adalah matriks koefisien, $x$ adalah vektor variabel yang tidak diketahui, dan $b$ adalah vektor konstanta. Kemampuan untuk mengubah sistem persamaan ini menjadi representasi matriks memudahkan kita untuk menganalisis keberadaan solusi (apakah ada solusi tunggal, tak terhingga, atau tidak ada solusi sama sekali). Teknik seperti eliminasi Gauss atau dekomposisi matriks menjadi kunci untuk memecahkan $Ax=b$ secara efisien.
Vektor adalah objek yang memiliki besar (panjang) dan arah. Dalam aljabar linear elementer, kita sering bekerja dengan vektor di $\mathbb{R}^n$, yaitu ruang berdimensi $n$. Vektor dapat diinterpretasikan sebagai titik dalam ruang atau sebagai panah dari titik asal ke titik tersebut.
Vektor mendefinisikan arah dalam sebuah ruang. Konsep penting berikutnya adalah kombinasi linear, yaitu penjumlahan vektor-vektor yang telah dikalikan dengan skalar. Dari kombinasi linear inilah lahir ide tentang rentang (span) dan basis. Basis adalah sekumpulan vektor minimal yang dapat digunakan untuk merepresentasikan setiap vektor lain dalam ruang tersebut melalui kombinasi linear. Memahami basis sangat krusial karena ia memberikan kerangka kerja paling efisien untuk bekerja dalam ruang vektor tersebut.
Transformasi linear adalah fungsi antara dua ruang vektor yang mempertahankan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar. Dalam konteks geometris, transformasi linear mewakili operasi seperti rotasi, penskalaan (peregangan atau penyusutan), dan proyeksi. Setiap transformasi linear yang dilakukan dalam ruang berdimensi terbatas dapat direpresentasikan secara unik oleh sebuah matriks.
Jika kita mengambil vektor input $x$ dan mengalikannya dengan matriks transformasi $A$ ($Ax = y$), hasilnya adalah vektor output $y$ yang telah "diubah" posisinya atau ukurannya. Pemahaman mendalam mengenai sifat matriks—seperti nilai eigen dan vektor eigen, yang sering diperkenalkan setelah dasar-dasar ini—sangat bergantung pada penguasaan konsep transformasi linear elementer. Aljabar linear elementer 1 adalah gerbang menuju pemahaman matematika terapan modern.