Aljabar linear adalah salah satu cabang matematika yang fundamental, dan di jantungnya terletak konsep vektor. Vektor bukan sekadar panah geometris; mereka adalah objek matematis yang merepresentasikan besaran yang memiliki arah dan magnitudo. Memahami vektor adalah kunci untuk menguasai banyak bidang ilmu modern, mulai dari grafika komputer, fisika kuantum, hingga analisis data (machine learning).
Secara intuitif, kita mengenal vektor di ruang dua dimensi ($\mathbb{R}^2$) atau tiga dimensi ($\mathbb{R}^3$) sebagai koordinat $(x, y)$ atau $(x, y, z)$. Namun, dalam aljabar linear, vektor diperluas maknanya menjadi elemen dalam ruang vektor yang lebih umum, seperti ruang fungsi atau ruang polinomial. Yang terpenting, vektor-vektor ini harus mematuhi aturan penjumlahan vektor dan perkalian skalar tertentu.
Dua operasi mendasar yang mendefinisikan struktur ruang vektor adalah penjumlahan (penjumlahan vektor) dan perkalian skalar. Kedua operasi ini memungkinkan kita untuk membangun kombinasi dari vektor yang ada.
Jika kita memiliki dua vektor $ \mathbf{u} = (u_1, u_2, \dots, u_n) $ dan $ \mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n) $ dalam ruang $ \mathbb{R}^n $, penjumlahan mereka dilakukan secara komponen-per-komponen:
$\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2, \dots, u_n+v_n)$
Secara geometris, ini dikenal sebagai aturan jajaran genjang atau aturan segitiga. Penjumlahan vektor bersifat komutatif ($ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} $) dan asosiatif.
Perkalian skalar melibatkan penggandaan vektor $ \mathbf{v} $ dengan sebuah bilangan skalar $ c $ (biasanya bilangan riil). Operasi ini mengubah panjang vektor (magnitudo) dan bisa membalik arahnya jika $ c $ negatif.
$c\mathbf{v} = (cv_1, cv_2, \dots, cv_n)$
Jika $ |c| > 1 $, vektor menjadi lebih panjang. Jika $ 0 < |c| < 1 $, vektor menjadi lebih pendek. Jika $ c = 0 $, hasilnya adalah vektor nol.
Kekuatan sejati aljabar linear muncul ketika kita menggabungkan kedua operasi di atas. Dikatakan bahwa vektor $ \mathbf{w} $ adalah kombinasi linear dari vektor-vektor $ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k $ jika terdapat skalar $ c_1, c_2, \dots, c_k $ sehingga:
$\mathbf{w} = c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \dots + c_k\mathbf{v}_k$
Konsep ini mengarah langsung pada ide merentang (span). Kumpulan vektor $ S = \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k\} $ merentang sebuah subruang jika setiap vektor dalam subruang tersebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di $ S $. Ini mendefinisikan seluruh 'jangkauan' yang bisa dicapai oleh vektor-vektor tersebut dalam ruang vektor.
Pertanyaan krusial berikutnya adalah: apakah ada redundansi dalam sekumpulan vektor? Vektor-vektor $ \{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k\} $ dikatakan bebas linear jika satu-satunya cara untuk membuat kombinasi linear mereka menghasilkan vektor nol adalah ketika semua skalar pengalinya adalah nol:
$c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \dots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0} \implies c_1=c_2=\dots=c_k=0$
Jika terdapat solusi non-trivial (setidaknya satu $ c_i \neq 0 $), maka vektor-vektor tersebut bergantung linear. Ketergantungan linear berarti setidaknya satu vektor dalam himpunan tersebut dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya, menjadikannya tidak memberikan informasi arah yang baru.
Sebuah basis untuk ruang vektor (atau subruang) adalah himpunan vektor yang memenuhi dua syarat: (1) mereka bebas linear, dan (2) mereka merentang seluruh ruang tersebut. Basis adalah "blok bangunan" minimal yang diperlukan untuk mendeskripsikan setiap vektor dalam ruang tersebut.
Jumlah vektor dalam basis manapun dari ruang vektor yang diberikan disebut dimensi ruang tersebut. Misalnya, dalam ruang $ \mathbb{R}^3 $, basis standar adalah $ \mathbf{i}=(1,0,0) $, $ \mathbf{j}=(0,1,0) $, dan $ \mathbf{k}=(0,0,1) $. Karena ada tiga vektor, maka dimensi $ \mathbb{R}^3 $ adalah tiga. Pemahaman ini memungkinkan kita untuk mengukur "ukuran" atau kompleksitas ruang yang kita analisis, menjadikannya inti dari aplikasi aljabar linear di berbagai disiplin ilmu.