Aljabar Linear adalah cabang matematika yang mempelajari vektor, ruang vektor (atau ruang linear), transformasi linear, dan sistem persamaan linear. Ini adalah salah satu bidang matematika paling fundamental dan aplikatif, menjadi tulang punggung bagi ilmu komputer (terutama grafika komputer dan pembelajaran mesin), fisika, teknik, dan analisis data. Memahami materi aljabar linear elementer adalah kunci untuk membuka konsep matematika yang lebih maju.
Vektor adalah objek geometris yang memiliki arah dan magnitudo (panjang). Dalam aljabar linear elementer, vektor biasanya direpresentasikan sebagai daftar bilangan, misalnya $\mathbf{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)$, yang hidup dalam ruang vektor $n$-dimensi ($\mathbb{R}^n$).
Operasi dasar pada vektor meliputi:
Matriks adalah susunan persegi panjang dari angka, simbol, atau ekspresi yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks adalah alat utama untuk merepresentasikan transformasi linear dan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.
Sebuah sistem persamaan linear dengan $m$ persamaan dan $n$ variabel dapat ditulis secara ringkas dalam bentuk matriks: $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, di mana $A$ adalah matriks koefisien, $\mathbf{x}$ adalah vektor variabel, dan $\mathbf{b}$ adalah vektor konstanta.
Metode fundamental untuk menyelesaikan sistem ini adalah melalui Eliminasi Gauss, yang melibatkan manipulasi baris matriks hingga mencapai bentuk eselon baris tereduksi (Reduced Row Echelon Form/RREF). Proses ini secara efektif menghilangkan variabel yang tidak perlu dan mengungkap solusi sistem.
Determinan adalah nilai skalar yang dapat dihitung dari elemen-elemen matriks persegi. Determinan matriks $A$, dilambangkan $\det(A)$, memiliki makna geometris dan penting dalam menentukan sifat-sifat matriks.
Jika $\det(A) = 0$, maka matriks $A$ adalah singular (tidak memiliki invers), yang berarti sistem persamaan linear yang terkait mungkin memiliki solusi tak hingga atau tidak ada solusi. Sebaliknya, jika $\det(A) \neq 0$, matriks tersebut invertible (memiliki invers).
Konsep ruang vektor adalah perluasan dari $\mathbb{R}^n$ ke kumpulan objek yang lebih umum (seperti fungsi atau polinomial) yang memenuhi aksioma penjumlahan vektor dan perkalian skalar.
Di dalam ruang vektor, kita memerlukan konsep Basis. Sebuah basis untuk ruang vektor $V$ adalah himpunan vektor $B = \{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \dots, \mathbf{b}_k\}$ yang memenuhi dua syarat utama:
Jumlah vektor dalam basis (disebut dimensi ruang tersebut) adalah informasi krusial mengenai struktur ruang tersebut.
Nilai Eigen ($\lambda$) dan Vektor Eigen ($\mathbf{v}$) adalah konsep lanjutan namun esensial dalam aljabar linear elementer. Untuk sebuah transformasi linear yang direpresentasikan oleh matriks $A$, vektor eigen adalah vektor non-nol yang, ketika ditransformasikan oleh $A$, hanya mengalami penskalaan dan bukan perubahan arah.
Hubungan ini dirumuskan dalam persamaan: $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$.
Konsep ini sangat penting dalam aplikasi seperti analisis kestabilan sistem dinamik, dekomposisi data (seperti dalam Principal Component Analysis/PCA), dan pemodelan getaran struktural. Memahami cara menghitung dan menafsirkan nilai eigen memberikan wawasan mendalam tentang bagaimana suatu transformasi bekerja pada ruang vektor tertentu.
Secara keseluruhan, aljabar linear elementer adalah bahasa matematika modern yang menerjemahkan masalah kompleks multidimensi menjadi struktur yang dapat dimanipulasi menggunakan matriks dan vektor, menjadikannya fondasi yang tak tergantikan dalam sains dan teknologi modern.