Membentuk Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya 2 dan 5: Panduan Lengkap dan Mendalam

Persamaan kuadrat adalah salah satu fondasi utama dalam matematika, khususnya aljabar. Kemampuannya untuk memodelkan berbagai fenomena di dunia nyata—mulai dari lintasan proyektil hingga kurva pertumbuhan ekonomi—menjadikannya topik yang sangat penting untuk dipelajari. Dalam artikel ini, kita akan membahas secara mendalam bagaimana cara membentuk persamaan kuadrat jika kita sudah mengetahui akar-akarnya. Kita akan fokus pada kasus spesifik di mana akar-akar persamaan kuadrat adalah 2 dan 5, namun dengan penjelasan yang sangat komprehensif sehingga Anda dapat menerapkan prinsip ini untuk akar-akar lainnya.

Tujuan utama dari panduan ini adalah tidak hanya menunjukkan hasilnya, melainkan juga menguraikan setiap langkah, menjelaskan konsep di baliknya, dan mengeksplorasi berbagai metode yang dapat digunakan. Dengan demikian, Anda tidak hanya akan tahu "apa" jawabannya, tetapi juga "mengapa" dan "bagaimana" jawaban tersebut diperoleh, memperkuat pemahaman Anda tentang persamaan kuadrat secara keseluruhan. Siapkan diri Anda untuk menyelami dunia angka dan logika matematika yang menarik ini!

1. Memahami Persamaan Kuadrat dan Akar-akarnya

1.1 Apa Itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Ini berarti pangkat tertinggi dari variabel dalam persamaan tersebut adalah dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah:

ax² + bx + c = 0

Di mana:

• a, b, dan c adalah koefisien atau konstanta.
• a tidak boleh sama dengan nol (a ≠ 0), karena jika a = 0, persamaan tersebut akan menjadi persamaan linear, bukan kuadrat.
• x adalah variabel yang nilainya ingin kita cari.

Sebagai contoh, 2x² - 3x + 1 = 0 adalah persamaan kuadrat dengan a = 2, b = -3, dan c = 1.

1.2 Apa Itu Akar-akar Persamaan Kuadrat?

Akar-akar (atau solusi, atau nol) dari persamaan kuadrat adalah nilai-nilai variabel x yang membuat persamaan tersebut bernilai benar (yaitu, sama dengan nol). Dalam konteks grafis, akar-akar ini mewakili titik-titik di mana grafik fungsi kuadrat (parabola) memotong sumbu X.

Sebuah persamaan kuadrat dapat memiliki:

• Dua akar real yang berbeda: Ini terjadi ketika parabola memotong sumbu X di dua titik yang berbeda.
• Dua akar real yang sama (akar kembar): Ini terjadi ketika parabola menyentuh sumbu X di satu titik (titik puncak parabola berada di sumbu X).
• Dua akar kompleks konjugat: Ini terjadi ketika parabola tidak memotong maupun menyentuh sumbu X sama sekali.

Dalam kasus kita, akar-akar yang diberikan adalah 2 dan 5, yang merupakan dua akar real yang berbeda.

2. Pentingnya Membentuk Persamaan Kuadrat dari Akar-akarnya

Meskipun seringkali kita diminta untuk mencari akar dari persamaan kuadrat yang sudah ada, ada kalanya kita justru perlu melakukan proses sebaliknya: membentuk persamaan kuadrat dari akar-akar yang diketahui. Situasi ini muncul di berbagai bidang, termasuk:

• Pemodelan Matematika: Ketika Anda memiliki data eksperimen yang menunjukkan dua titik kritis pada suatu skala, dan Anda tahu bahwa hubungan di antara titik-titik tersebut dapat diwakili oleh fungsi kuadrat.
• Desain Rekayasa: Dalam mendesain kurva atau bentuk tertentu, di mana titik-titik potong dengan suatu referensi (misalnya, permukaan tanah) sudah ditentukan.
• Pemecahan Masalah Geometris: Mencari persamaan parabola yang melalui titik-titik tertentu.
• Dalam Ujian dan Soal Latihan: Ini adalah jenis soal standar yang menguji pemahaman Anda tentang hubungan antara akar dan koefisien persamaan kuadrat.
• Pengembangan Algoritma: Dalam pemrograman, terkadang Anda perlu secara dinamis membangun persamaan berdasarkan parameter input tertentu yang mungkin berupa akar.

Memahami proses ini juga memperdalam pemahaman Anda tentang bagaimana akar dan koefisien saling terkait, yang merupakan konsep fundamental dalam aljabar.

Ilustrasi grafik parabola yang memotong sumbu X pada akar-akar 2 dan 5.

3. Metode 1: Menggunakan Faktorisasi Balik

Metode ini adalah yang paling intuitif dan langsung. Jika x_1 dan x_2 adalah akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, itu berarti bahwa ketika x = x_1 atau x = x_2, persamaan tersebut bernilai nol. Ini mengimplikasikan bahwa (x - x_1) dan (x - x_2) adalah faktor-faktor dari persamaan kuadrat tersebut.

3.1 Konsep Dasar Faktorisasi

Ketika kita memecahkan persamaan kuadrat melalui faktorisasi, kita mencari dua ekspresi linear yang, ketika dikalikan, menghasilkan persamaan kuadrat awal. Misalnya, jika kita memiliki (x - 2)(x - 5) = 0, maka akar-akarnya adalah x = 2 dan x = 5. Metode faktorisasi balik ini hanya membalikkan proses tersebut.

3.2 Langkah-langkah Penerapan untuk Akar 2 dan 5

Mari kita terapkan metode ini dengan akar-akar yang diberikan: x_1 = 2 dan x_2 = 5.

Langkah 1: Bentuk Faktor-faktor Linear

Jika x = 2 adalah akar, maka (x - 2) adalah salah satu faktornya. Mengapa demikian? Karena jika kita menggantikan x dengan 2 di dalam ekspresi (x - 2), hasilnya adalah (2 - 2) = 0.

Demikian pula, jika x = 5 adalah akar, maka (x - 5) adalah faktor lainnya. Menggantikan x dengan 5 akan menghasilkan (5 - 5) = 0.

Langkah 2: Kalikan Faktor-faktor Tersebut

Setelah kita memiliki kedua faktor, kita dapat mengalikannya dan menyamakannya dengan nol untuk mendapatkan persamaan kuadrat. Ingat bahwa hasil kali dua faktor linear yang bernilai nol akan memiliki kedua akarnya sebagai solusi:

(x - x_1)(x - x_2) = 0

Substitusikan x_1 = 2 dan x_2 = 5:

(x - 2)(x - 5) = 0

Langkah 3: Lakukan Perkalian Aljabar (Metode FOIL)

Untuk mengalikan dua binomial, kita bisa menggunakan metode FOIL (First, Outer, Inner, Last):

• First: Kalikan suku pertama dari setiap binomial. x \times x = x²
• Outer: Kalikan suku luar. x \times (-5) = -5x
• Inner: Kalikan suku dalam. (-2) \times x = -2x
• Last: Kalikan suku terakhir dari setiap binomial. (-2) \times (-5) = 10

Gabungkan hasil-hasil ini:

x² - 5x - 2x + 10 = 0

Langkah 4: Sederhanakan Persamaan

Gabungkan suku-suku sejenis (-5x dan -2x):

x² - 7x + 10 = 0

3.3 Verifikasi Hasil

Untuk memastikan bahwa persamaan yang kita bentuk benar, kita bisa mencoba mensubstitusikan kembali akar-akar ke dalam persamaan yang dihasilkan:

• Untuk x = 2:

  (2)² - 7(2) + 10 = 4 - 14 + 10 = -10 + 10 = 0

  Hasilnya adalah 0, jadi x = 2 adalah akar yang benar.

• Untuk x = 5:

  (5)² - 7(5) + 10 = 25 - 35 + 10 = -10 + 10 = 0

  Hasilnya adalah 0, jadi x = 5 adalah akar yang benar.

Kedua verifikasi menunjukkan bahwa persamaan x² - 7x + 10 = 0 memang memiliki akar-akar 2 dan 5.

4. Metode 2: Menggunakan Jumlah dan Hasil Kali Akar (Rumus Vieta)

Metode ini memanfaatkan hubungan antara koefisien persamaan kuadrat dan akar-akarnya. Hubungan ini dikenal sebagai Rumus Vieta atau Teorema Vieta, dinamai dari matematikawan Prancis François Viète.

4.1 Derivasi Rumus Vieta

Pertimbangkan persamaan kuadrat umum ax² + bx + c = 0. Jika kita membagi seluruh persamaan dengan a (asumsi a ≠ 0), kita mendapatkan:

x² + (b/a)x + (c/a) = 0

Kita juga tahu bahwa jika x_1 dan x_2 adalah akar-akar, maka persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai (x - x_1)(x - x_2) = 0. Jika kita mengembangkan ekspresi ini:

x² - x_2x - x_1x + x_1x_2 = 0
x² - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0

Dengan membandingkan kedua bentuk ini (x² + (b/a)x + (c/a) = 0 dan x² - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0), kita dapat menyimpulkan hubungan berikut:

• Jumlah Akar: x_1 + x_2 = -b/a
• Hasil Kali Akar: x_1 \times x_2 = c/a

Ini adalah Rumus Vieta yang fundamental.

Untuk membentuk persamaan kuadrat jika a = 1, kita dapat langsung menggunakan bentuk:

x² - (jumlah akar)x + (hasil kali akar) = 0

4.2 Langkah-langkah Penerapan untuk Akar 2 dan 5

Dengan akar-akar x_1 = 2 dan x_2 = 5.

Langkah 1: Hitung Jumlah Akar

Jumlahkan kedua akar:

x_1 + x_2 = 2 + 5 = 7

Langkah 2: Hitung Hasil Kali Akar

Kalikan kedua akar:

x_1 \times x_2 = 2 \times 5 = 10

Langkah 3: Substitusikan ke dalam Rumus

Gunakan rumus x² - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0:

x² - (7)x + (10) = 0
x² - 7x + 10 = 0

4.3 Perbandingan dengan Metode Faktorisasi Balik

Seperti yang Anda lihat, kedua metode menghasilkan persamaan kuadrat yang sama: x² - 7x + 10 = 0. Ini menunjukkan konsistensi dalam prinsip-prinsip matematika dan memberikan Anda fleksibilitas untuk memilih metode mana yang paling Anda pahami atau paling efisien untuk situasi tertentu.

Metode jumlah dan hasil kali akar seringkali lebih cepat jika akar-akarnya sudah diberikan dan Anda tidak perlu melakukan perkalian polinomial secara eksplisit.

5. Eksplorasi Lebih Lanjut: Kasus-kasus Khusus dan Variasi

5.1 Koefisien a ≠ 1

Kedua metode di atas secara implisit mengasumsikan bahwa koefisien a adalah 1. Namun, persamaan kuadrat bisa saja memiliki a yang bukan 1. Jika kita memiliki persamaan ax² + bx + c = 0, maka persamaan ini juga dapat ditulis sebagai:

a(x - x_1)(x - x_2) = 0

Atau menggunakan rumus Vieta:

a[x² - (x_1 + x_2)x + x_1x_2] = 0

Jika dalam soal tidak disebutkan nilai a, secara default kita mengasumsikan a = 1 untuk mendapatkan bentuk persamaan yang paling sederhana.

Namun, jika diberikan informasi tambahan, misalnya persamaan kuadrat juga melalui titik tertentu, barulah kita dapat menentukan nilai a yang spesifik. Misalnya, jika persamaan kuadrat dengan akar 2 dan 5 juga melalui titik (0, 20), kita bisa gunakan:

a(x - 2)(x - 5) = y

Substitusikan x = 0 dan y = 20:

a(0 - 2)(0 - 5) = 20
a(-2)(-5) = 20
10a = 20
a = 2

Maka, persamaannya menjadi 2(x² - 7x + 10) = 0, atau 2x² - 14x + 20 = 0.

5.2 Akar-akar Negatif atau Pecahan

Prinsip-prinsip yang sama berlaku untuk akar-akar negatif atau pecahan. Mari kita coba contoh lain untuk memperjelas.

Contoh 1: Akar-akar adalah -3 dan 1/2.

Menggunakan Metode 1 (Faktorisasi Balik):

(x - (-3))(x - 1/2) = 0
(x + 3)(x - 1/2) = 0
x(x - 1/2) + 3(x - 1/2) = 0
x² - 1/2x + 3x - 3/2 = 0
x² + (3 - 1/2)x - 3/2 = 0
x² + (6/2 - 1/2)x - 3/2 = 0
x² + 5/2x - 3/2 = 0

Untuk menghilangkan pecahan, kita bisa mengalikan seluruh persamaan dengan 2:

2(x² + 5/2x - 3/2) = 2(0)
2x² + 5x - 3 = 0

Menggunakan Metode 2 (Jumlah dan Hasil Kali Akar):

Jumlah Akar: x_1 + x_2 = -3 + 1/2 = -6/2 + 1/2 = -5/2

Hasil Kali Akar: x_1 \times x_2 = (-3) \times (1/2) = -3/2

Substitusikan ke rumus:

x² - (-5/2)x + (-3/2) = 0
x² + 5/2x - 3/2 = 0

Kalikan dengan 2 untuk menghilangkan pecahan:

2x² + 5x - 3 = 0

Kedua metode kembali menghasilkan hasil yang sama, 2x² + 5x - 3 = 0.

5.3 Akar-akar Imajiner/Kompleks

Meskipun pertanyaan ini tidak secara langsung membahas akar kompleks, penting untuk dicatat bahwa prinsip yang sama juga berlaku. Akar kompleks selalu muncul dalam pasangan konjugat (jika koefisiennya real). Misalnya, jika akarnya adalah 1 + i dan 1 - i:

Jumlah Akar: (1 + i) + (1 - i) = 2

Hasil Kali Akar: (1 + i)(1 - i) = 1² - i² = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2

Persamaan: x² - 2x + 2 = 0

Ini menunjukkan fleksibilitas dan universalitas dari metode jumlah dan hasil kali akar.

6. Hubungan Mendalam antara Akar, Koefisien, dan Diskriminan

6.1 Formula Kuadrat dan Diskriminan

Selain Rumus Vieta, kita juga memiliki formula kuadrat untuk menemukan akar-akar dari persamaan ax² + bx + c = 0:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Bagian di bawah tanda akar, b² - 4ac, disebut diskriminan, dilambangkan dengan D. Diskriminan memberikan informasi penting tentang sifat akar-akar persamaan kuadrat tanpa perlu menghitungnya secara eksplisit:

• Jika D > 0: Ada dua akar real dan berbeda. (Ini adalah kasus untuk akar 2 dan 5 kita).
• Jika D = 0: Ada dua akar real yang sama (akar kembar).
• Jika D < 0: Ada dua akar kompleks konjugat.

Mari kita hitung diskriminan untuk persamaan x² - 7x + 10 = 0:

a = 1, b = -7, c = 10
D = b² - 4ac = (-7)² - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9

Karena D = 9 > 0, ini mengkonfirmasi bahwa persamaan kita memang memiliki dua akar real dan berbeda, yaitu 2 dan 5.

6.2 Grafik Fungsi Kuadrat (Parabola)

Setiap persamaan kuadrat y = ax² + bx + c merepresentasikan grafik parabola. Akar-akar persamaan adalah titik-titik di mana parabola memotong sumbu X (y = 0). Untuk persamaan y = x² - 7x + 10:

• Parabola membuka ke atas karena a = 1 > 0.
• Titik potong sumbu X adalah x = 2 dan x = 5.
• Titik puncak (vertex) dari parabola terletak pada x = -b / 2a. Untuk persamaan kita: x = -(-7) / (2 \times 1) = 7/2 = 3.5.
  Untuk menemukan koordinat y dari puncak, substitusikan x = 3.5 ke dalam persamaan:

  y = (3.5)² - 7(3.5) + 10 = 12.25 - 24.5 + 10 = -2.25

  Jadi, puncaknya berada di (3.5, -2.25).
• Sumbu simetri adalah garis vertikal x = 3.5.
• Titik potong sumbu Y adalah y = c (ketika x = 0). Untuk persamaan kita, y = 10, jadi titik potong sumbu Y adalah (0, 10).

Semua elemen ini saling terkait dan membantu kita memahami karakteristik lengkap dari persamaan kuadrat yang kita bentuk.

7. Aplikasi Praktis Persamaan Kuadrat

Memahami bagaimana membentuk dan menyelesaikan persamaan kuadrat jauh melampaui latihan matematika di buku teks. Konsep ini memiliki aplikasi luas di berbagai bidang dunia nyata:

7.1 Fisika dan Rekayasa

• Gerak Proyektil: Lintasan objek yang dilemparkan (misalnya, bola yang ditendang, panah yang ditembakkan) mengikuti bentuk parabola. Persamaan kuadrat digunakan untuk menghitung tinggi maksimum yang dicapai objek, jangkauan horizontalnya, atau waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tanah. Misalnya, untuk menentukan kecepatan awal atau sudut elevasi yang diperlukan agar proyektil mendarat di lokasi tertentu.
• Desain Jembatan dan Struktur: Bentuk lengkungan pada jembatan atau atap bangunan seringkali didesain mengikuti kurva parabola untuk distribusi beban yang optimal dan kekuatan struktural. Persamaan kuadrat membantu insinyur dalam memodelkan bentuk-bentuk ini.
• Optik: Cermin parabola dan antena parabola digunakan untuk memfokuskan cahaya atau gelombang radio ke satu titik (fokus) atau menyebarkan dari satu titik. Desainnya didasarkan pada sifat-sifat matematis parabola yang diatur oleh persamaan kuadrat.
• Aerodinamika: Bentuk sayap pesawat (airfoil) sering dimodelkan dengan kurva yang melibatkan persamaan kuadrat untuk mengoptimalkan gaya angkat dan mengurangi hambatan.

7.2 Ekonomi dan Bisnis

• Optimasi Keuntungan: Dalam ekonomi mikro, fungsi biaya, pendapatan, dan keuntungan seringkali dimodelkan sebagai fungsi kuadrat. Persamaan kuadrat digunakan untuk menemukan titik produksi yang memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya. Misalnya, P(x) = -ax² + bx - c, di mana P(x) adalah keuntungan, dan x adalah jumlah unit yang diproduksi. Akar-akar persamaan ini bisa menunjukkan titik impas (break-even points).
• Penawaran dan Permintaan: Kurva penawaran dan permintaan kadang-kadang dapat dimodelkan dengan persamaan kuadrat, terutama jika hubungan antara harga dan kuantitas tidak linear.
• Statistik dan Probabilitas: Dalam analisis regresi kuadrat, persamaan kuadrat digunakan untuk memodelkan hubungan antara dua variabel ketika hubungan tersebut memiliki bentuk kurva.

7.3 Kehidupan Sehari-hari dan Teknologi

• Desain Produk: Banyak desain produk, dari lampu sorot hingga reflektor mobil, menggunakan bentuk parabola untuk tujuan fungsional dan estetika.
• Olahraga: Memprediksi lintasan bola dalam olahraga seperti golf, basket, atau sepak bola melibatkan prinsip-prinsip proyektil yang dimodelkan oleh persamaan kuadrat. Pelatih dan atlet dapat menggunakan pemahaman ini untuk mengoptimalkan teknik mereka.
• Sistem Navigasi: Dalam beberapa kasus, persamaan kuadrat digunakan dalam algoritma untuk menentukan lokasi atau jalur optimal, meskipun sistem modern lebih kompleks.
• Grafik Komputer dan Animasi: Kurva Bezier dan splines yang digunakan dalam grafik komputer untuk membuat bentuk dan gerakan yang halus seringkali didasarkan pada polinomial, termasuk polinomial kuadrat, untuk interpolasi dan ekstrapolasi.

Dari contoh-contoh ini, jelas bahwa persamaan kuadrat bukan hanya abstraksi matematika, tetapi alat yang sangat ampuh untuk memahami dan memanipulasi dunia di sekitar kita. Kemampuan untuk membentuk persamaan dari akar-akarnya memungkinkan kita untuk "merekayasa balik" masalah dan membangun model matematika yang sesuai dengan kondisi yang diamati atau diinginkan.

8. Tips dan Kesalahan Umum yang Harus Dihindari

Meskipun proses membentuk persamaan kuadrat dari akar-akarnya relatif lugas, ada beberapa tips yang bisa membantu dan kesalahan umum yang sebaiknya dihindari:

8.1 Tips untuk Efisiensi dan Akurasi

1. Pilih Metode yang Anda Pahami Terbaik: Kedua metode (faktorisasi balik dan jumlah/hasil kali akar) sama-sama valid. Gunakan yang paling Anda nyaman dan yakin. Jika Anda sangat baik dalam perkalian binomial, metode faktorisasi mungkin lebih cepat. Jika Anda lebih suka perhitungan sederhana, metode Vieta bisa jadi pilihan.
2. Perhatikan Tanda Negatif: Ini adalah sumber kesalahan paling umum.
   • Pada metode faktorisasi: ingat (x - x_1). Jika akar adalah -3, maka faktornya adalah (x - (-3)) = (x + 3).
   • Pada metode Vieta: ingat x² - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0. Ada tanda negatif di depan suku x yang melibatkan jumlah akar.
3. Sederhanakan Pecahan: Jika akar-akarnya berupa pecahan, gunakan metode Vieta terlebih dahulu untuk mendapatkan x² + Px + Q = 0, kemudian kalikan seluruh persamaan dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut untuk menghilangkan pecahan dan mendapatkan koefisien bilangan bulat.
4. Verifikasi Jawaban Anda: Selalu luangkan waktu sejenak untuk mensubstitusikan kembali akar-akar ke dalam persamaan yang dihasilkan atau menggunakan rumus kuadrat untuk memecahkan persamaan yang Anda bentuk. Jika Anda mendapatkan kembali akar-akar aslinya, maka jawaban Anda benar.
5. Pahami Konteks a: Kecuali ditentukan lain, selalu asumsikan a = 1 untuk persamaan paling sederhana. Jika ada informasi tambahan yang memungkinkan Anda menentukan a yang berbeda, terapkan itu.

8.2 Kesalahan Umum yang Harus Dihindari

1. Kesalahan Tanda: Seperti yang disebutkan di atas, salah menempatkan tanda negatif adalah kesalahan paling sering. Pastikan (x - akar) dan -(jumlah akar)x.
2. Perhitungan yang Ceroboh: Penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian yang salah, terutama dengan angka negatif atau pecahan, dapat dengan mudah menggagalkan seluruh proses. Gunakan kalkulator jika diperlukan untuk memastikan akurasi perhitungan.
3. Mengabaikan Koefisien a: Terkadang siswa lupa bahwa persamaan dapat memiliki koefisien a yang berbeda dari 1, terutama jika soal menyertakan titik tambahan yang harus dilalui parabola.
4. Tidak Menyederhanakan: Setelah mendapatkan persamaan, pastikan untuk menggabungkan semua suku sejenis dan menulisnya dalam bentuk standar ax² + bx + c = 0.
5. Asumsi yang Salah tentang Akar Kembar: Jika diberikan "akar tunggal 3", itu berarti akar kembar, yaitu x_1 = 3 dan x_2 = 3.

Dengan memperhatikan tips ini dan menghindari kesalahan umum, Anda akan dapat membentuk persamaan kuadrat dari akar-akarnya dengan keyakinan dan akurasi yang lebih tinggi.

9. Contoh Latihan Tambahan untuk Penguatan Konsep

Untuk lebih memperkuat pemahaman Anda, mari kita kerjakan beberapa contoh lagi dengan berbagai jenis akar.

9.1 Latihan 1: Akar-akar adalah -3 dan -4

Menggunakan Metode 1 (Faktorisasi Balik):

(x - (-3))(x - (-4)) = 0
(x + 3)(x + 4) = 0
x² + 4x + 3x + 12 = 0
x² + 7x + 12 = 0

Menggunakan Metode 2 (Jumlah dan Hasil Kali Akar):

Jumlah Akar: x_1 + x_2 = -3 + (-4) = -7

Hasil Kali Akar: x_1 \times x_2 = (-3) \times (-4) = 12

Persamaan: x² - (-7)x + 12 = 0

x² + 7x + 12 = 0

Hasilnya konsisten.

9.2 Latihan 2: Akar-akar adalah 1/3 dan 2

Menggunakan Metode 1 (Faktorisasi Balik):

(x - 1/3)(x - 2) = 0
x² - 2x - 1/3x + 2/3 = 0
x² - (2 + 1/3)x + 2/3 = 0
x² - (6/3 + 1/3)x + 2/3 = 0
x² - 7/3x + 2/3 = 0

Kalikan dengan 3 untuk menghilangkan pecahan:

3x² - 7x + 2 = 0

Menggunakan Metode 2 (Jumlah dan Hasil Kali Akar):

Jumlah Akar: x_1 + x_2 = 1/3 + 2 = 1/3 + 6/3 = 7/3

Hasil Kali Akar: x_1 \times x_2 = (1/3) \times 2 = 2/3

Persamaan: x² - (7/3)x + 2/3 = 0

Kalikan dengan 3:

3x² - 7x + 2 = 0

Hasilnya konsisten.

9.3 Latihan 3: Akar kembar 4

Ini berarti x_1 = 4 dan x_2 = 4.

Menggunakan Metode 1 (Faktorisasi Balik):

(x - 4)(x - 4) = 0
(x - 4)² = 0
x² - 8x + 16 = 0

Menggunakan Metode 2 (Jumlah dan Hasil Kali Akar):

Jumlah Akar: x_1 + x_2 = 4 + 4 = 8

Hasil Kali Akar: x_1 \times x_2 = 4 \times 4 = 16

Persamaan: x² - 8x + 16 = 0

Hasilnya konsisten.

10. Sejarah Singkat Persamaan Kuadrat

Pemahaman tentang persamaan kuadrat bukanlah penemuan modern; akarnya terentang ribuan tahun ke belakang, menunjukkan bagaimana masalah-masalah matematika dasar seringkali muncul berulang kali dalam sejarah peradaban.

• Babilonia Kuno (sekitar 2000 SM): Bukti tertulis dari tablet tanah liat menunjukkan bahwa bangsa Babilonia sudah dapat menyelesaikan masalah yang setara dengan persamaan kuadrat. Mereka menggunakan metode geometris untuk memecahkan masalah praktis seperti perhitungan luas tanah atau penggalian kanal, yang secara implisit melibatkan solusi dari persamaan kuadrat. Namun, mereka tidak merumuskannya dalam bentuk aljabar modern.
• Matematikawan Yunani Kuno: Euclid (sekitar 300 SM) dalam karyanya "Elements" juga membahas masalah-masalah yang dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat, lagi-lagi menggunakan pendekatan geometris. Mereka cenderung menghindari konsep bilangan negatif atau irasional sebagai solusi, membatasi lingkup solusi mereka.
• India (sekitar abad ke-7 M): Brahmagupta adalah salah satu matematikawan India pertama yang secara eksplisit memberikan rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dalam bentuk aljabar, termasuk solusi negatif. Karyanya "Brahmasphutasiddhanta" berisi metode yang sangat mirip dengan formula kuadrat modern.
• Dunia Islam (sekitar abad ke-9 M): Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, matematikawan Persia, menulis buku "Al-Jabr w'al Muqabalah" (yang menjadi asal kata "aljabar"). Dalam karyanya, ia menyajikan metode sistematis untuk menyelesaikan berbagai jenis persamaan kuadrat, meskipun ia juga menggunakan pendekatan geometris dan tidak merumuskan rumus kuadrat dalam bentuk umum yang kita kenal sekarang. Sumbangannya adalah pada sistematisasi dan klasifikasi masalah.
• Eropa Abad Pertengahan dan Renaisans: Konsep-konsep dari India dan dunia Islam perlahan-lahan menyebar ke Eropa. Pada abad ke-16, matematikawan seperti Niccolò Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano, dan terutama François Viète, mulai mengembangkan notasi aljabar modern. Viète adalah orang pertama yang menggunakan huruf untuk melambangkan koefisien dan variabel, yang memungkinkan perumusan umum Rumus Vieta tentang hubungan antara akar dan koefisien persamaan kuadrat.
• Pengembangan Lanjutan: Pada abad ke-17, René Descartes memperkenalkan penggunaan koordinat kartesius, yang menghubungkan aljabar dengan geometri dan memungkinkan representasi grafis persamaan kuadrat sebagai parabola.

Perjalanan panjang ini menyoroti bagaimana ide-ide matematika berevolusi melintasi budaya dan zaman, dengan setiap peradaban menambahkan lapisan pemahaman dan formalisme, hingga mencapai bentuk yang kita pelajari dan gunakan saat ini.

11. Kesimpulan

Dengan demikian, kita telah menjelajahi secara mendalam bagaimana membentuk persamaan kuadrat dari akar-akarnya, khususnya untuk akar 2 dan 5. Kita telah melihat bahwa terdapat dua metode utama yang dapat digunakan:

1. Metode Faktorisasi Balik: Menggunakan prinsip bahwa jika x_1 dan x_2 adalah akar, maka (x - x_1)(x - x_2) = 0. Untuk akar 2 dan 5, ini menghasilkan (x - 2)(x - 5) = 0, yang disederhanakan menjadi x² - 7x + 10 = 0.
2. Metode Jumlah dan Hasil Kali Akar (Rumus Vieta): Menggunakan hubungan x² - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0. Untuk akar 2 dan 5, jumlahnya adalah 2 + 5 = 7 dan hasil kalinya adalah 2 \times 5 = 10. Substitusi ini juga menghasilkan x² - 7x + 10 = 0.

Kedua metode ini secara konsisten menghasilkan persamaan kuadrat yang sama, menegaskan kebenaran dan keandalan prinsip-prinsip aljabar. Kita juga telah membahas pentingnya memahami konteks koefisien a, bagaimana menangani akar negatif atau pecahan, serta menyinggung peran diskriminan dan interpretasi grafis dalam memahami karakteristik lengkap dari persamaan kuadrat.

Lebih dari sekadar menemukan jawaban x² - 7x + 10 = 0, penting untuk memahami logika di balik setiap langkah, fleksibilitas dalam memilih metode, dan relevansi konsep ini dalam berbagai aplikasi praktis di dunia nyata. Persamaan kuadrat adalah blok bangunan dasar dalam pemodelan matematika, dan penguasaan topik ini akan membekali Anda dengan keterampilan analitis yang berharga untuk tantangan matematika dan kehidupan yang lebih kompleks.

Teruslah berlatih, teruslah bertanya, dan jangan pernah berhenti menjelajahi keindahan dan kekuatan matematika!

Artikel ini bertujuan untuk memberikan pemahaman yang komprehensif dan mendalam mengenai topik yang dibahas.