Aljabar linear adalah cabang matematika yang mempelajari vektor, ruang vektor (atau ruang linear), transformasi linear, dan sistem persamaan linear. Meskipun terdengar abstrak, aljabar linear adalah tulang punggung dari banyak teknologi modern, mulai dari grafis komputer, machine learning, hingga analisis data besar. Untuk memahaminya dengan baik, melihat aljabar linear contoh adalah langkah paling efektif.
Inti dari aljabar linear adalah matriks. Matriks hanyalah susunan bilangan dalam bentuk persegi panjang (baris dan kolom). Matriks digunakan untuk merepresentasikan data atau transformasi linear.
Pertimbangkan sistem dua persamaan linear berikut:
2x + 3y = 8
x - y = 1
Sistem ini dapat disajikan dalam bentuk matriks standar: Ax = b.
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$
$$ x = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
$$ b = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Tujuan kita adalah mencari vektor x sedemikian rupa sehingga perkalian matriks A dengan x menghasilkan b. Solusinya (jika kita menyelesaikannya menggunakan invers matriks atau eliminasi Gauss-Jordan) adalah x = 2, y = 1.
Dalam grafika komputer, setiap objek 2D atau 3D direpresentasikan sebagai kumpulan titik (vektor). Untuk memindahkan, mengubah skala, atau memutar objek tersebut, kita menggunakan transformasi linear yang direpresentasikan oleh matriks.
Misalkan kita memiliki titik P = (x, y) dan kita ingin memutarnya sebesar sudut \(\theta\) (theta) berlawanan arah jarum jam di sekitar titik asal.
Matriks rotasi (R) untuk sudut \(\theta\) adalah:
$$ R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$
Titik baru P' = (x', y') didapat dari perkalian:
$$ P' = R(\theta) \cdot P $$
Misalnya, kita punya titik P = (1, 0) dan ingin memutarnya sejauh 90 derajat ($\theta = \pi/2$ radian). Kita tahu bahwa \(\cos(90^\circ) = 0\) dan \(\sin(90^\circ) = 1\).
Matriks rotasinya menjadi:
$$ R(90^\circ) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
Perkalian vektor:
$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0 \cdot 1) + (-1 \cdot 0) \\ (1 \cdot 1) + (0 \cdot 0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Hasilnya, titik baru P' adalah (0, 1). Contoh aljabar linear ini menunjukkan bagaimana operasi geometris dapat direpresentasikan secara ringkas menggunakan matriks.
Determinan adalah nilai skalar yang dapat dihitung dari elemen-elemen matriks persegi. Determinan sangat penting karena memberikan informasi tentang sifat matriks tersebut.
Untuk matriks A:
$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$
Determinan, dilambangkan sebagai \(\det(A)\) atau |A|, dihitung sebagai:
$$ \det(A) = ad - bc $$
Menggunakan matriks koefisien dari Contoh 1:
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$
Determinan A adalah: (2 \cdot -1) - (3 \cdot 1) = -2 - 3 = -5.
Jika determinan suatu matriks adalah nol (\(\det(A) = 0\)), itu berarti matriks tersebut tidak memiliki invers. Dalam konteks sistem persamaan linear, ini mengindikasikan bahwa sistem tersebut mungkin tidak memiliki solusi unik (bisa jadi tidak ada solusi sama sekali atau memiliki solusi tak hingga).
Aljabar linear bukan hanya tentang angka dan rumus. Konsepnya mendasari banyak bidang ilmu komputasi dan rekayasa. Dalam ilmu data dan pembelajaran mesin (Machine Learning), data selalu direpresentasikan sebagai vektor dan matriks. Algoritma seperti Regresi Linier, Principal Component Analysis (PCA), dan Jaringan Saraf Tiruan (Neural Networks) semuanya sangat bergantung pada operasi matriks.
Ketika Anda mempelajari tentang aljabar linear contoh, ingatlah bahwa Anda sedang mempelajari bahasa dasar untuk memproses informasi dalam bentuk struktur. Mulai dari mencari jalur terpendek pada peta (menggunakan graf yang direpresentasikan matriks kedekatan) hingga kompresi gambar JPEG, aljabar linear memainkan peran sentral. Dengan menguasai konsep dasar seperti operasi matriks, determinan, dan nilai eigen, Anda membuka pintu menuju pemahaman mendalam tentang cara kerja teknologi modern.