Persamaan kuadrat adalah salah satu fondasi terpenting dalam matematika yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang, mulai dari fisika, rekayasa, ekonomi, hingga ilmu komputer. Kemampuan untuk menemukan akar atau solusi dari persamaan kuadrat merupakan keterampilan dasar yang harus dikuasai oleh siapa pun yang mendalami matematika atau bidang-bidang terkait. Artikel ini dirancang sebagai panduan komprehensif untuk membantu Anda memahami dan menguasai berbagai metode cara mencari akar persamaan kuadrat.
Dalam artikel ini, kita akan mengupas tuntas setiap metode pencarian akar, memberikan penjelasan langkah demi langkah yang rinci, serta menyajikan contoh-contoh soal yang mendalam dan mudah dipahami. Tujuan kami adalah agar Anda tidak hanya sekadar tahu bagaimana cara mencari akar persamaan kuadrat, tetapi juga memahami konsep fundamental di baliknya, kapan metode tertentu lebih efektif digunakan, dan bagaimana menganalisis sifat akar-akar yang dihasilkan. Dengan pemahaman yang kuat, Anda akan lebih percaya diri dalam menghadapi berbagai jenis soal persamaan kuadrat.
Kami akan memulai dengan definisi dasar persamaan kuadrat, kemudian menyelami tiga metode utama pencarian akar: pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat (rumus ABC). Setelah itu, kita akan membahas pentingnya diskriminan dalam menentukan sifat akar-akar, serta hubungan menarik antara akar-akar dan koefisien melalui rumus Vieta. Terakhir, kita akan melihat bagaimana grafik fungsi kuadrat memberikan visualisasi intuitif tentang akar-akar, dan menggali beberapa aplikasi praktis persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari. Mari kita mulai perjalanan kita dalam memahami dunia persamaan kuadrat!
Secara matematis, persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Ini berarti bahwa pangkat tertinggi dari variabel yang tidak diketahui (biasanya x) dalam persamaan adalah dua. Bentuk umum atau standar dari persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:
ax² + bx + c = 0
Di mana:
ax² akan hilang, dan persamaan akan menjadi bx + c = 0, yang merupakan persamaan linier (derajat satu), bukan kuadrat.Akar-akar atau solusi dari persamaan kuadrat adalah nilai-nilai spesifik dari x yang, ketika disubstitusikan kembali ke dalam persamaan, akan membuat pernyataan ax² + bx + c = 0 menjadi benar atau valid. Dalam konteks geometris, jika kita menggambar grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c, akar-akar ini merepresentasikan titik-titik di mana kurva parabola memotong atau menyentuh sumbu-x (yaitu, ketika y = 0).
Setiap persamaan kuadrat umumnya memiliki dua akar. Akar-akar ini bisa muncul dalam tiga kemungkinan sifat, yang sangat penting untuk dipahami:
x yang berbeda dan merupakan bilangan real yang memenuhi persamaan. Grafiknya akan memotong sumbu-x di dua titik yang jelas.x real yang memenuhi persamaan. Akar-akarnya adalah bilangan kompleks yang merupakan konjugat satu sama lain. Grafiknya tidak akan pernah memotong atau menyentuh sumbu-x sama sekali.Penentuan jenis akar ini sangat krusial dan dapat diidentifikasi dengan mudah menggunakan konsep diskriminan, yang akan kita bahas lebih lanjut dalam artikel ini. Memahami sifat dasar dan terminologi persamaan kuadrat adalah langkah pertama yang kokoh sebelum kita menyelami metode-metode pencarian akarnya.
Metode pemfaktoran adalah salah satu cara paling fundamental dan seringkali tercepat untuk mencari akar persamaan kuadrat, terutama jika persamaannya relatif sederhana dan akar-akarnya adalah bilangan bulat atau rasional. Ide dasarnya adalah mengubah bentuk persamaan ax² + bx + c = 0 menjadi perkalian dua faktor linier, yaitu (px + q)(rx + s) = 0. Setelah persamaan berada dalam bentuk terfaktor, kita dapat menggunakan sifat dasar aljabar: jika hasil kali dua atau lebih faktor adalah nol, maka setidaknya salah satu faktor tersebut harus sama dengan nol.
Jika (px + q)(rx + s) = 0, maka (px + q) = 0 atau (rx + s) = 0.
Dari sini, kita bisa dengan mudah menentukan nilai-nilai x yang menjadi akar persamaan tersebut.
x² + bx + c = 0 (dengan a=1)Kasus pemfaktoran yang paling sederhana terjadi ketika koefisien a dari suku x² adalah 1. Dalam situasi ini, prosesnya melibatkan pencarian dua bilangan, sebut saja p dan q, yang memenuhi dua kondisi penting:
b: p + q = bc: p * q = cJika kita berhasil menemukan bilangan p dan q yang memenuhi kedua syarat ini, maka persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (x + p)(x + q) = 0.
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x² + 5x + 6 = 0.
x² + 5x + 6 = 0, kita dapat mengidentifikasi bahwa a=1, b=5, dan c=6.p dan q: Kita mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya b=5 dan jika dikalikan hasilnya c=6.
1 + 6 = 7 (bukan 5)2 + 3 = 5 (Ini yang kita cari!)-1 + (-6) = -7 (bukan 5)-2 + (-3) = -5 (bukan 5)(x + 2)(x + 3) = 0
x, kita atur setiap faktor sama dengan nol:
x + 2 = 0 → Kurangkan 2 dari kedua sisi, kita dapatkan x₁ = -2.x + 3 = 0 → Kurangkan 3 dari kedua sisi, kita dapatkan x₂ = -3.Jadi, akar-akar persamaan x² + 5x + 6 = 0 adalah x₁ = -2 dan x₂ = -3.
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x² - 7x + 10 = 0.
x² - 7x + 10 = 0, kita memiliki a=1, b=-7, dan c=10.p dan q: Kita mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya b=-7 dan jika dikalikan hasilnya c=10.
1 + 10 = 112 + 5 = 7-1 + (-10) = -11-2 + (-5) = -7 (Ini yang kita cari!)(x - 2)(x - 5) = 0
x - 2 = 0 → Tambahkan 2 ke kedua sisi, kita dapatkan x₁ = 2.x - 5 = 0 → Tambahkan 5 ke kedua sisi, kita dapatkan x₂ = 5.Jadi, akar-akar persamaan x² - 7x + 10 = 0 adalah x₁ = 2 dan x₂ = 5.
ax² + bx + c = 0 (dengan a ≠ 1)Ketika koefisien a bukan 1, proses pemfaktoran menjadi sedikit lebih kompleks dan membutuhkan langkah tambahan. Ada beberapa metode, tetapi metode "pecah tengah" atau "pengelompokan" adalah yang paling sistematis dan akan kita jelaskan di sini.
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
a dan c: Hitung hasil kali koefisien suku kuadrat (a) dan konstanta (c).p dan q: Temukan dua bilangan, sebut saja p dan q, sedemikian rupa sehingga:
b): p + q = ba * c: p * q = a * cbx sebagai penjumlahan dua suku baru menggunakan bilangan p dan q yang telah ditemukan, yaitu px + qx. Ini akan mengubah persamaan yang awalnya memiliki tiga suku menjadi empat suku: ax² + px + qx + c = 0.x untuk mendapatkan akar-akar persamaan.Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat 2x² + 7x + 3 = 0.
2x² + 7x + 3 = 0, kita memiliki a=2, b=7, dan c=3.a dan c: Hitung hasil kali a * c = 2 * 3 = 6.p dan q: Kita mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya b=7 dan jika dikalikan hasilnya a*c=6.
1 + 6 = 7 dan 1 * 6 = 6. Jadi, kita bisa menggunakan p=1 dan q=6 (urutan tidak masalah).7x dengan x + 6x (atau 6x + x).
2x² + x + 6x + 3 = 0
2x² + x. Faktor persekutuan terbesarnya adalah x. Jadi, x(2x + 1).6x + 3. Faktor persekutuan terbesarnya adalah 3. Jadi, 3(2x + 1).x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0
(2x + 1) adalah faktor umum di kedua suku. Kita bisa menariknya keluar:
(2x + 1)(x + 3) = 0
2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x₁ = -1/2x + 3 = 0 → x₂ = -3Jadi, akar-akar persamaan 2x² + 7x + 3 = 0 adalah x₁ = -1/2 dan x₂ = -3.
Ada beberapa jenis persamaan kuadrat khusus yang dapat difaktorkan dengan cara yang lebih cepat atau langsung:
ax² + bx = 0 (ketika c = 0)Jika konstanta c sama dengan nol, persamaan akan menjadi ax² + bx = 0. Dalam kasus ini, Anda dapat langsung memfaktorkan variabel x dari kedua suku karena x adalah faktor persekutuan.
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat 3x² - 9x = 0.
x: Perhatikan bahwa baik 3x² maupun -9x memiliki faktor umum 3x.
3x(x - 3) = 0
3x = 0 → Bagi dengan 3, kita dapatkan x₁ = 0.x - 3 = 0 → Tambahkan 3 ke kedua sisi, kita dapatkan x₂ = 3.Akar-akar persamaan 3x² - 9x = 0 adalah x₁ = 0 dan x₂ = 3.
ax² + c = 0 (ketika b = 0 - Selisih Dua Kuadrat)Jika koefisien b dari suku tengah adalah nol, persamaan akan menjadi ax² + c = 0. Jika c adalah bilangan negatif (atau dapat diubah menjadi negatif setelah membagi dengan a), maka persamaan ini bisa berbentuk selisih dua kuadrat, yang memiliki pola A² - B² = (A - B)(A + B).
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x² - 16 = 0.
x² - 4² = 0. Ini jelas merupakan bentuk selisih dua kuadrat, di mana A=x dan B=4.(x - 4)(x + 4) = 0
x - 4 = 0 → x₁ = 4.x + 4 = 0 → x₂ = -4.Akar-akar persamaan x² - 16 = 0 adalah x₁ = 4 dan x₂ = -4.
Metode pemfaktoran sangat bergantung pada kemampuan Anda untuk menemukan pasangan bilangan yang tepat. Meskipun sangat efisien untuk kasus-kasus tertentu, metode ini menjadi tidak praktis atau bahkan tidak mungkin jika persamaan memiliki akar irasional atau kompleks, atau jika koefisiennya sangat besar. Untuk kasus-kasus tersebut, kita membutuhkan metode yang lebih umum dan universal, seperti melengkapi kuadrat sempurna atau rumus kuadrat.
Metode melengkapi kuadrat sempurna adalah teknik yang sangat penting dalam aljabar. Teknik ini tidak hanya digunakan untuk mencari akar persamaan kuadrat, tetapi juga untuk mengubah bentuk persamaan menjadi lebih mudah dianalisis (misalnya, untuk mencari titik puncak parabola atau mengubah bentuk umum elips/lingkaran). Ide utamanya adalah mentransformasi persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu (x + k)² = d. Dari bentuk ini, akar-akar persamaan dapat ditemukan dengan mengambil akar kuadrat dari kedua sisi.
Proses melengkapi kuadrat sempurna mungkin terlihat sedikit lebih rumit dibandingkan pemfaktoran di awal, namun ia memiliki keuntungan karena selalu berhasil menemukan akar, bahkan ketika akar-akarnya adalah bilangan irasional atau kompleks. Selain itu, metode ini adalah dasar matematis yang digunakan untuk menurunkan Rumus Kuadrat, yang akan kita bahas selanjutnya.
Ikuti langkah-langkah berikut untuk mencari akar persamaan kuadrat dengan metode melengkapi kuadrat sempurna:
x² adalah 1: Jika koefisien a dari suku x² bukan 1, bagi seluruh persamaan dengan a. Ini adalah langkah krusial untuk memastikan proses melengkapi kuadrat berjalan lancar.c) dari sisi kiri persamaan ke sisi kanan. Tujuannya adalah untuk mengisolasi suku-suku yang mengandung x di satu sisi.(b/2)² ke kedua sisi persamaan. Bilangan b di sini adalah koefisien x setelah Anda memastikan koefisien x² adalah 1 (dari langkah 1). Dengan menambahkan nilai ini, ruas kiri akan menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + b/2)² atau (x - b/2)².± (plus-minus) di sisi kanan, karena akar kuadrat memiliki dua kemungkinan nilai (positif dan negatif).x: Pindahkan konstanta yang tersisa dari sisi kiri ke sisi kanan untuk mengisolasi x dan menemukan kedua akarnya.Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x² + 6x + 5 = 0.
x² sudah 1. (Karena a=1).+5 ke ruas kanan dengan menguranginya dari kedua sisi.
x² + 6x = -5
x adalah b=6.(b/2)² = (6/2)² = 3² = 9.x² + 6x + 9 = -5 + 9
(x + 3)² = 4
√(x + 3)² = ±√4
x + 3 = ±2
x: Kurangkan 3 dari kedua sisi untuk mencari x.
+2: x₁ = -3 + 2 = -1-2: x₂ = -3 - 2 = -5Jadi, akar-akar persamaan x² + 6x + 5 = 0 adalah x₁ = -1 dan x₂ = -5.
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat 2x² + 8x - 10 = 0.
x² adalah 1: Koefisien a adalah 2. Bagi seluruh persamaan dengan 2.
(2x² + 8x - 10) / 2 = 0 / 2
x² + 4x - 5 = 0
-5 ke ruas kanan dengan menambahkannya ke kedua sisi.
x² + 4x = 5
x sekarang adalah b=4.(b/2)² = (4/2)² = 2² = 4.x² + 4x + 4 = 5 + 4
(x + 2)² = 9
√(x + 2)² = ±√9
x + 2 = ±3
x: Kurangkan 2 dari kedua sisi.
+3: x₁ = -2 + 3 = 1-3: x₂ = -2 - 3 = -5Jadi, akar-akar persamaan 2x² + 8x - 10 = 0 adalah x₁ = 1 dan x₂ = -5.
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x² - 4x - 2 = 0.
x² sudah 1.x² - 4x = 2
x adalah b=-4.(b/2)² = (-4/2)² = (-2)² = 4.x² - 4x + 4 = 2 + 4
(x - 2)² = 6
√(x - 2)² = ±√6
x - 2 = ±√6
x:
x₁ = 2 + √6x₂ = 2 - √6Jadi, akar-akar persamaan x² - 4x - 2 = 0 adalah x₁ = 2 + √6 dan x₂ = 2 - √6. Contoh ini menunjukkan bagaimana metode melengkapi kuadrat sempurna dengan mudah menangani akar irasional, yang sulit atau tidak mungkin dilakukan dengan pemfaktoran sederhana.
Meskipun metode melengkapi kuadrat sempurna mungkin terasa lebih panjang dari pemfaktoran untuk beberapa kasus, pentingnya terletak pada universalitasnya dan perannya sebagai jembatan menuju pemahaman rumus kuadrat. Dengan latihan, Anda akan menemukan bahwa metode ini memberikan pemahaman yang lebih dalam tentang struktur persamaan kuadrat.
Rumus kuadrat, yang sering dikenal sebagai Rumus ABC, adalah metode paling umum, paling ampuh, dan paling universal untuk mencari akar persamaan kuadrat. Rumus ini dapat digunakan untuk menyelesaikan setiap persamaan kuadrat, tidak peduli seberapa rumit koefisiennya, atau apakah akar-akarnya real, irasional, atau kompleks. Keindahan rumus ini terletak pada kemampuannya untuk memberikan solusi langsung begitu nilai koefisien a, b, dan c diketahui dari persamaan kuadrat dalam bentuk standar.
Rumus Kuadrat sebenarnya merupakan hasil penurunan dari metode melengkapi kuadrat sempurna yang diterapkan pada bentuk umum persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Jika Anda melakukan langkah-langkah melengkapi kuadrat sempurna pada persamaan umum ini, Anda akan tiba pada formula yang elegan ini:
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
Mari kita pecah komponen-komponen penting dari rumus ini:
a, b, dan c: Ini adalah koefisien dari persamaan kuadrat Anda, ax² + bx + c = 0. Penting untuk mengidentifikasi nilai-nilai ini dengan benar, termasuk tanda positif atau negatifnya.± (Plus-Minus): Simbol ini menunjukkan bahwa ada dua kemungkinan akar untuk persamaan kuadrat. Satu akar diperoleh dengan menggunakan tanda tambah, dan akar lainnya diperoleh dengan menggunakan tanda kurang. Ini sesuai dengan fakta bahwa persamaan kuadrat umumnya memiliki dua solusi.√(b² - 4ac): Ekspresi di bawah tanda akar kuadrat, b² - 4ac, adalah komponen yang sangat penting. Ini dikenal sebagai diskriminan. Nilai diskriminan ini menentukan sifat akar-akar persamaan kuadrat, apakah real, irasional, atau kompleks. Kita akan membahas diskriminan secara lebih rinci di bagian selanjutnya.Menggunakan rumus kuadrat adalah proses yang sangat sistematis. Ikuti langkah-langkah berikut:
ax² + bx + c = 0. Kemudian, dengan hati-hati identifikasi nilai-nilai a, b, dan c. Perhatikan tanda positif atau negatifnya.a, b, dan c yang telah Anda identifikasi ke dalam rumus kuadrat. Berhati-hatilah saat melakukan substitusi, terutama dengan bilangan negatif.b² - 4ac. Ini akan menentukan langkah selanjutnya dan sifat akar Anda.+ dan satu dengan -) untuk mendapatkan kedua nilai x.Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x² + 5x + 6 = 0.
x² + 5x + 6 = 0, kita punya:
a = 1b = 5c = 6x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
x = [-5 ± √(5² - 4 * 1 * 6)] / (2 * 1)
b² - 4ac = 5² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
√1 = 1.
x = [-5 ± 1] / 2
Pisahkan untuk mendapatkan kedua akar:
x₁ = (-5 + 1) / 2 = -4 / 2 = -2x₂ = (-5 - 1) / 2 = -6 / 2 = -3Jadi, akar-akar persamaan x² + 5x + 6 = 0 adalah x₁ = -2 dan x₂ = -3. Hasil ini konsisten dengan yang kita dapatkan menggunakan metode pemfaktoran.
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat 3x² - 6x + 2 = 0.
3x² - 6x + 2 = 0, kita punya:
a = 3b = -6c = 2b.
x = [-(-6) ± √((-6)² - 4 * 3 * 2)] / (2 * 3)
b² - 4ac = (-6)² - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12
√12. Kita bisa menyederhanakannya: √12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3.
x = [6 ± 2√3] / 6
Untuk menyederhanakan lebih lanjut, bagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan 2:
x = [ (6/2) ± (2√3)/2 ] / (6/2)
x = [3 ± √3] / 3
Pisahkan untuk mendapatkan kedua akar:
x₁ = (3 + √3) / 3x₂ = (3 - √3) / 3Jadi, akar-akar persamaan 3x² - 6x + 2 = 0 adalah x₁ = (3 + √3) / 3 dan x₂ = (3 - √3) / 3. Rumus kuadrat dengan mudah menangani akar irasional, yang tidak bisa diselesaikan dengan pemfaktoran biasa.
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x² + 2x + 5 = 0.
x² + 2x + 5 = 0, kita punya:
a = 1b = 2c = 5x = [-2 ± √(2² - 4 * 1 * 5)] / (2 * 1)
b² - 4ac = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
√(-16). Karena kita mengambil akar kuadrat dari bilangan negatif, hasilnya akan melibatkan bilangan imajiner i, di mana √-1 = i.
√(-16) = √(16 * -1) = √16 * √-1 = 4i
Lanjutkan perhitungan:
x = [-2 ± 4i] / 2
Bagi setiap suku di pembilang dengan 2:
x = (-2/2) ± (4i/2)
x = -1 ± 2i
Pisahkan untuk mendapatkan kedua akar:
x₁ = -1 + 2ix₂ = -1 - 2iJadi, akar-akar persamaan x² + 2x + 5 = 0 adalah x₁ = -1 + 2i dan x₂ = -1 - 2i. Ini adalah pasangan akar kompleks konjugat. Rumus kuadrat adalah metode paling efektif untuk menemukan akar-akar kompleks.
Rumus kuadrat adalah alat yang sangat ampuh dan fleksibel. Meskipun mungkin terlihat sedikit rumit pada pandangan pertama, dengan latihan yang konsisten, Anda akan menemukan bahwa itu adalah cara yang sangat efisien dan dapat diandalkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun.
Seperti yang telah disinggung dalam pembahasan Rumus Kuadrat, ekspresi di bawah tanda akar, yaitu b² - 4ac, memiliki peran yang sangat sentral dan nama khusus: Diskriminan. Diskriminan biasanya dilambangkan dengan huruf kapital D (atau kadang-kadang simbol Yunani delta, Δ). Nilai diskriminan ini sangat penting karena ia "mendiskriminasi" atau membedakan jenis-jenis akar yang dimiliki oleh suatu persamaan kuadrat tanpa perlu menyelesaikan seluruh persamaan untuk menemukan nilai x.
Pemahaman yang kuat tentang diskriminan memungkinkan kita untuk memprediksi sifat dari akar-akar suatu persamaan (apakah mereka bilangan real atau kompleks, dan apakah mereka berbeda atau kembar) bahkan sebelum kita memulai proses perhitungan yang panjang untuk menemukan akar-akarnya. Ini adalah alat diagnostik yang sangat berharga dalam aljabar.
D > 0 (Diskriminan Positif)Jika nilai diskriminan lebih besar dari nol (D > 0), maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda. Ini berarti bahwa ada dua nilai x yang berbeda yang merupakan bilangan real dan akan memenuhi persamaan. Secara geometris, grafik fungsi kuadrat akan memotong sumbu-x di dua titik yang jelas dan berbeda.
Lebih lanjut, kita bisa membedakan sifat akar real ini:
D adalah bilangan kuadrat sempurna (misalnya 1, 4, 9, 16, 25, dll.), maka akar-akarnya akan berupa bilangan rasional. Artinya, mereka dapat dinyatakan sebagai pecahan bilangan bulat.D bukan bilangan kuadrat sempurna (misalnya 2, 3, 5, 6, 7, dll.), maka akar-akarnya akan berupa bilangan irasional. Artinya, mereka tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan sederhana.Tentukan sifat akar-akar dari persamaan x² - 5x + 4 = 0.
x² - 5x + 4 = 0, kita memiliki a=1, b=-5, c=4.D = b² - 4ac
D = (-5)² - 4(1)(4)
D = 25 - 16
D = 9
Karena D = 9, dan 9 > 0, persamaan ini memiliki dua akar real yang berbeda. Lebih spesifik, karena 9 adalah bilangan kuadrat sempurna (√9 = 3), akar-akarnya akan rasional.
Jika kita hitung akarnya menggunakan rumus kuadrat untuk verifikasi:
x = [-b ± √D] / 2a
x = [-(-5) ± √9] / (2*1)
x = [5 ± 3] / 2
x₁ = (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4
x₂ = (5 - 3) / 2 = 2 / 2 = 1Akar-akarnya adalah 4 dan 1. Keduanya adalah bilangan real dan berbeda, sesuai dengan prediksi dari diskriminan.
D = 0 (Diskriminan Nol)Jika nilai diskriminan sama dengan nol (D = 0), maka persamaan kuadrat memiliki satu akar real (atau sering disebut dua akar real yang kembar). Ini berarti kedua solusi untuk x memiliki nilai yang sama. Secara geometris, grafik fungsi kuadrat hanya menyentuh sumbu-x di satu titik tunggal; titik puncaknya berada tepat di sumbu-x.
Tentukan sifat akar-akar dari persamaan x² - 4x + 4 = 0.
x² - 4x + 4 = 0, kita memiliki a=1, b=-4, c=4.D = b² - 4ac
D = (-4)² - 4(1)(4)
D = 16 - 16
D = 0
Karena D = 0, persamaan ini memiliki satu akar real (kembar). Ini juga berarti persamaan ini adalah bentuk kuadrat sempurna.
Jika kita hitung akarnya menggunakan rumus kuadrat untuk verifikasi:
x = [-(-4) ± √0] / (2*1)
x = [4 ± 0] / 2
x₁ = (4 + 0) / 2 = 2
x₂ = (4 - 0) / 2 = 2Akar-akarnya adalah 2 dan 2 (kembar), keduanya real. Hal ini sesuai dengan prediksi dari diskriminan. Persamaan ini juga dapat difaktorkan sebagai
(x - 2)(x - 2) = (x - 2)² = 0.
D < 0 (Diskriminan Negatif)Jika nilai diskriminan kurang dari nol (D < 0), maka persamaan kuadrat memiliki dua akar kompleks konjugat. Ini berarti tidak ada nilai x real yang memenuhi persamaan tersebut. Akar-akarnya akan melibatkan unit imajiner i (di mana i = √-1). Secara geometris, grafik fungsi kuadrat tidak akan memotong atau menyentuh sumbu-x sama sekali; seluruh grafik akan berada di atas sumbu-x (jika a > 0) atau di bawah sumbu-x (jika a < 0).
Tentukan sifat akar-akar dari persamaan 2x² + 3x + 5 = 0.
2x² + 3x + 5 = 0, kita memiliki a=2, b=3, c=5.D = b² - 4ac
D = (3)² - 4(2)(5)
D = 9 - 40
D = -31
Karena D = -31, dan -31 < 0, persamaan ini memiliki dua akar kompleks konjugat.
Jika kita hitung akarnya menggunakan rumus kuadrat untuk verifikasi:
x = [-b ± √D] / 2a
x = [-3 ± √(-31)] / (2*2)
x = [-3 ± i√31] / 4
x₁ = (-3 + i√31) / 4
x₂ = (-3 - i√31) / 4Akar-akarnya adalah bilangan kompleks, yang sepenuhnya sesuai dengan prediksi diskriminan negatif.
Penting! Pemahaman diskriminan sangat krusial tidak hanya untuk matematika murni tetapi juga dalam banyak aplikasi fisika dan rekayasa. Misalnya, dalam fisika, jika Anda memodelkan lintasan proyektil dan diskriminannya negatif, itu bisa berarti proyektil tidak akan pernah mencapai ketinggian tertentu atau tidak pernah kembali ke tanah, yang dalam konteks fisika nyata tanpa batasan lain, mengindikasikan adanya kesalahan dalam model atau asumsi awal Anda. Diskriminan berfungsi sebagai indikator awal yang kuat tentang kelayakan solusi.
Selain menemukan nilai-nilai akar itu sendiri, ada hubungan yang sangat menarik dan berguna antara akar-akar persamaan kuadrat dan koefisien-koefisiennya. Hubungan ini dikenal sebagai Rumus Vieta, dinamakan sesuai nama matematikawan Prancis François Viète. Rumus Vieta memungkinkan kita untuk mengetahui jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tanpa harus menghitung nilai akar-akarnya secara eksplisit terlebih dahulu. Ini adalah alat yang sangat efisien dan seringkali menghemat waktu dalam pemecahan masalah.
Untuk persamaan kuadrat dalam bentuk standar ax² + bx + c = 0, dan misalkan x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan tersebut, maka Rumus Vieta menyatakan hubungan berikut:
x₁ + x₂ = -b/ax₁ * x₂ = c/aRumus ini memiliki berbagai kegunaan praktis, termasuk:
a, b, atau c) yang hilang.Kita telah menemukan akar-akar dari persamaan x² + 5x + 6 = 0 adalah x₁ = -2 dan x₂ = -3.
Koefisien dari persamaan ini adalah a=1, b=5, c=6.
x₁ + x₂ = (-2) + (-3) = -5-b/a = -(5)/1 = -5Hasilnya cocok: -5 = -5.
x₁ * x₂ = (-2) * (-3) = 6c/a = 6/1 = 6Hasilnya cocok: 6 = 6.
Karena kedua hubungan Vieta terpenuhi, ini mengkonfirmasi bahwa akar-akar yang kita temukan benar.
Buatlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah -2 dan 4.
Misalkan akar-akarnya adalah x₁ = -2 dan x₂ = 4.
x₁ + x₂ = -2 + 4 = 2
x₁ * x₂ = (-2) * 4 = -8
b dan c (dengan asumsi a=1 untuk persamaan paling sederhana):
x₁ + x₂ = -b/a:
2 = -b/1
-b = 2
b = -2
x₁ * x₂ = c/a:
-8 = c/1
c = -8
a=1, b=-2, dan c=-8 ke dalam bentuk umum ax² + bx + c = 0:
1x² + (-2)x + (-8) = 0
x² - 2x - 8 = 0
Metode Alternatif (Menggunakan Bentuk Faktor):
Anda juga bisa membentuk persamaan kuadrat langsung dari akar-akarnya menggunakan bentuk faktor (x - x₁)(x - x₂) = 0:
(x - (-2))(x - 4) = 0
(x + 2)(x - 4) = 0
Kemudian, kalikan kedua faktor:
x(x - 4) + 2(x - 4) = 0
x² - 4x + 2x - 8 = 0
x² - 2x - 8 = 0
Kedua cara tersebut memberikan hasil yang sama. Persamaan kuadrat yang dicari adalah x² - 2x - 8 = 0.
Salah satu akar persamaan 2x² + kx - 6 = 0 adalah -3. Tentukan nilai k dan akar yang lain.
Koefisien persamaan ini adalah a=2, b=k, c=-6. Akar yang diketahui adalah x₁ = -3. Misalkan akar yang lain adalah x₂.
c dan a diketahui.
x₁ * x₂ = c/a
(-3) * x₂ = -6 / 2
-3x₂ = -3
x₂ = 1
Jadi, akar yang lain dari persamaan tersebut adalah 1.
k.
x₁ + x₂ = -b/a
(-3) + 1 = -k / 2
-2 = -k / 2
-4 = -k
k = 4
Jadi, nilai k = 4 dan akar yang lain adalah x₂ = 1. Persamaan lengkapnya adalah 2x² + 4x - 6 = 0.
Rumus Vieta adalah alat yang sangat efisien dan seringkali dapat sangat mempercepat penyelesaian soal-soal yang berkaitan dengan akar dan koefisien persamaan kuadrat. Menguasainya akan memberikan Anda keunggulan dalam analisis dan pemecahan masalah aljabar.
Pemahaman visual tentang persamaan kuadrat, yang diwakili oleh grafiknya (sebuah fungsi parabola), dapat sangat membantu dalam memahami makna dan sifat akar-akar. Grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c selalu membentuk sebuah kurva yang dikenal sebagai parabola.
Poin paling krusial untuk dipahami adalah: Akar-akar persamaan kuadrat adalah titik-titik di mana grafik fungsi kuadrat memotong atau menyentuh sumbu-x. Ini adalah definisi geometris dari akar. Pada titik-titik ini, nilai y (ketinggian grafik) adalah 0, yang secara aljabar sesuai dengan kondisi ax² + bx + c = 0 yang kita cari solusinya.
Beberapa poin penting tentang hubungan antara grafik fungsi kuadrat dan akar-akar persamaannya:
a > 0 (positif), parabola akan terbuka ke atas, menyerupai huruf "U", dan memiliki titik minimum.a < 0 (negatif), parabola akan terbuka ke bawah, menyerupai huruf "∩", dan memiliki titik maksimum.D > 0 (dua akar real berbeda), parabola akan memotong sumbu-x di dua titik berbeda.D = 0 (satu akar real kembar), parabola akan menyentuh sumbu-x tepat di satu titik. Titik ini adalah titik puncak parabola yang terletak di sumbu-x.D < 0 (tidak ada akar real, dua akar kompleks konjugat), parabola tidak akan memotong maupun menyentuh sumbu-x sama sekali. Seluruh grafik akan berada di atas sumbu-x (jika a > 0) atau di bawah sumbu-x (jika a < 0).x = -b/2a. Penting untuk dicatat bahwa nilai -b/2a ini juga merupakan titik tengah antara kedua akar x₁ dan x₂, sesuai dengan rumus (x₁ + x₂) / 2 = (-b/a) / 2 = -b/2a.(-b/2a, f(-b/2a)). Nilai x pada titik puncak adalah -b/2a (persamaan sumbu simetri), dan nilai y-nya adalah nilai minimum atau maksimum dari fungsi kuadrat.(0, c). Ini dapat dengan mudah dilihat dengan mensubstitusikan x=0 ke dalam fungsi y = ax² + bx + c, yang akan menghasilkan y = a(0)² + b(0) + c = c.Dengan memvisualisasikan grafik, Anda dapat lebih mudah memahami mengapa ada kasus dua akar, satu akar, atau tidak ada akar real. Ini juga memperkuat hubungan yang mendalam antara aljabar dan geometri, memberikan pemahaman yang lebih holistik dan intuitif tentang persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat bukan sekadar konsep abstrak yang hanya ditemukan dalam buku pelajaran matematika. Ia adalah alat fundamental yang sangat ampuh dan serbaguna, digunakan secara ekstensif untuk memodelkan dan menyelesaikan berbagai masalah nyata di dunia di sekitar kita. Dari alam hingga rekayasa, dari ekonomi hingga olahraga, pemahaman tentang cara mencari akar persamaan kuadrat memungkinkan kita untuk memecahkan teka-teki praktis dan membuat keputusan yang tepat dalam berbagai disiplin ilmu.
Salah satu aplikasi paling klasik dan paling mudah dipahami dari persamaan kuadrat adalah dalam fisika, khususnya untuk menggambarkan gerak proyektil. Gerak proyektil adalah gerakan suatu benda yang dilempar atau ditembakkan ke udara dan bergerak di bawah pengaruh gravitasi. Ketinggian (h) suatu proyektil yang diluncurkan dengan kecepatan awal (v₀) dari ketinggian awal (h₀) pada sudut tertentu, dapat dimodelkan oleh persamaan kuadrat dalam variabel waktu (t):
h(t) = -½gt² + v₀t + h₀
Di mana:
g adalah percepatan gravitasi (sekitar 9.8 m/s² di Bumi). Tanda negatif menunjukkan bahwa gravitasi menarik benda ke bawah.v₀ adalah kecepatan awal benda (kecepatan vertikal).h₀ adalah ketinggian awal tempat benda diluncurkan.Dengan mencari akar persamaan ini (yaitu, mengatur h(t) = 0), kita dapat mengetahui kapan proyektil akan kembali menyentuh tanah atau permukaan referensi lainnya. Ini sangat penting dalam bidang balistik, olahraga, dan banyak lagi.
Sebuah bola dilempar ke atas dari ketinggian 1 meter dengan kecepatan awal 10 m/s. Jika kita menggunakan percepatan gravitasi adalah 9.8 m/s², berapa lama waktu yang dibutuhkan bola untuk kembali ke tanah?
Berdasarkan rumus gerak proyektil, persamaan ketinggian bola (h) sebagai fungsi waktu (t) adalah h(t) = -½gt² + v₀t + h₀. Dengan g=9.8, v₀=10, dan h₀=1, persamaan menjadi:
h(t) = -½(9.8)t² + 10t + 1
h(t) = -4.9t² + 10t + 1
Kita ingin mencari nilai t saat bola menyentuh tanah, yaitu ketika h(t) = 0.
-4.9t² + 10t + 1 = 0
Menggunakan Rumus Kuadrat dengan a=-4.9, b=10, c=1:
t = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
t = [-10 ± √(10² - 4*(-4.9)*1)] / (2*(-4.9))
t = [-10 ± √(100 + 19.6)] / (-9.8)
t = [-10 ± √119.6] / (-9.8)
t ≈ [-10 ± 10.936] / (-9.8)
Dua kemungkinan nilai t adalah:
t₁ = (-10 + 10.936) / (-9.8) = 0.936 / (-9.8) ≈ -0.095 detik. Nilai waktu negatif tidak relevan dalam konteks fisik ini karena waktu diukur setelah pelemparan.t₂ = (-10 - 10.936) / (-9.8) = -20.936 / (-9.8) ≈ 2.136 detik.Jadi, bola akan kembali menyentuh tanah sekitar 2.136 detik setelah dilempar.
Insinyur sipil, mekanik, dan arsitek sering menggunakan persamaan kuadrat dalam desain dan analisis struktur. Bentuk parabola, yang merupakan grafik dari fungsi kuadrat, sangat efisien dalam mendistribusikan beban secara merata dan sering ditemukan dalam:
Dalam dunia ekonomi dan bisnis, persamaan kuadrat adalah alat penting untuk memodelkan berbagai skenario dan membantu dalam pengambilan keputusan:
C(x) = ax² + bx + c, di mana x adalah jumlah unit yang diproduksi.P(x) = -ax² + bx + c. Pengusaha ingin menemukan jumlah produksi x yang memaksimalkan keuntungan atau mencapai titik impas (keuntungan nol).Fungsi keuntungan harian (P) suatu perusahaan, bergantung pada jumlah barang (x) yang diproduksi (dalam ratusan unit), diberikan oleh P(x) = -x² + 100x - 1500. Berapa jumlah barang yang harus diproduksi untuk mencapai keuntungan nol (titik impas)?
Kita ingin mencari nilai x saat P(x) = 0.
-x² + 100x - 1500 = 0
Untuk memudahkan perhitungan, kita bisa kalikan seluruh persamaan dengan -1:
x² - 100x + 1500 = 0
Menggunakan Rumus Kuadrat dengan a=1, b=-100, c=1500:
x = [-(-100) ± √((-100)² - 4*1*1500)] / (2*1)
x = [100 ± √(10000 - 6000)] / 2
x = [100 ± √4000] / 2
Sederhanakan √4000: √4000 = √(400 * 10) = √400 * √10 = 20√10.
x = [100 ± 20√10] / 2
Bagi semua suku dengan 2:
x = 50 ± 10√10
Dengan √10 ≈ 3.16:
x₁ = 50 - 10(3.16) = 50 - 31.6 = 18.4x₂ = 50 + 10(3.16) = 50 + 31.6 = 81.6Karena jumlah barang biasanya harus berupa bilangan bulat, perusahaan mencapai titik impas (keuntungan nol) ketika memproduksi sekitar 18 atau 82 unit barang (mengingat x adalah dalam ratusan unit, berarti sekitar 1800 atau 8200 unit).
Persamaan kuadrat sering muncul dalam masalah yang melibatkan luas, volume, atau dimensi geometris. Ini terjadi ketika salah satu dimensi (panjang, lebar, tinggi) diekspresikan dalam kaitannya dengan dimensi lain, dan hasil perkaliannya membentuk persamaan kuadrat.
Sebuah kebun berbentuk persegi panjang memiliki panjang 5 meter lebih dari lebarnya. Jika luas kebun tersebut adalah 84 m², berapa panjang dan lebar kebun tersebut?
Misalkan lebar kebun adalah w meter. Karena panjangnya 5 meter lebih dari lebarnya, maka panjangnya adalah w + 5 meter.
Rumus luas persegi panjang adalah Panjang × Lebar. Kita tahu luasnya 84 m².
Panjang × Lebar = Luas
(w + 5) * w = 84
Distribusikan w:
w² + 5w = 84
Ubah ke bentuk standar persamaan kuadrat dengan memindahkan 84 ke sisi kiri:
w² + 5w - 84 = 0
Kita bisa menggunakan pemfaktoran di sini. Kita mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya 5 dan jika dikalikan hasilnya -84. Bilangan tersebut adalah 12 dan -7.
(w + 12)(w - 7) = 0
Dua kemungkinan nilai w adalah:
w + 12 = 0 → w = -12. Lebar tidak bisa berupa bilangan negatif, jadi solusi ini tidak relevan secara fisik.w - 7 = 0 → w = 7.Jadi, lebar kebun adalah 7 meter. Panjangnya adalah w + 5 = 7 + 5 = 12 meter.
Kita bisa cek hasilnya: Luas = Panjang × Lebar = 12 m × 7 m = 84 m², sesuai dengan informasi soal.
Dari contoh-contoh di atas, jelas terlihat bahwa persamaan kuadrat adalah bagian integral dari pemecahan masalah di berbagai aspek kehidupan nyata. Menguasai cara mencari akar-akarnya tidak hanya penting untuk ujian matematika, tetapi juga merupakan keterampilan hidup yang berharga dalam berbagai profesi dan situasi.
Mencari akar persamaan kuadrat bisa menjadi tugas yang lebih mudah, cepat, dan efisien jika Anda menerapkan beberapa tips dan trik berikut. Ini akan membantu Anda tidak hanya menyelesaikan soal dengan benar tetapi juga mengembangkan intuisi matematis yang lebih baik.
a, b, dan c dapat dibagi dengan suatu faktor persekutuan terbesar (FPB). Menyederhanakan persamaan akan membuat angka-angka yang Anda kerjakan menjadi lebih kecil dan lebih mudah diatur, sehingga meminimalkan risiko kesalahan perhitungan.
Misalnya, daripada menyelesaikan 4x² + 12x + 8 = 0, yang melibatkan angka besar, Anda bisa membagi seluruh persamaan dengan 4 untuk mendapatkan x² + 3x + 2 = 0. Persamaan yang disederhanakan ini jauh lebih mudah difaktorkan atau diselesaikan dengan rumus kuadrat.
b dan c adalah hasil jumlah dan kali dari dua bilangan bulat yang jelas). Ini paling efisien untuk akar rasional.D = b² - 4ac). Ini akan memberi Anda informasi berharga tentang jenis akar yang diharapkan (dua real berbeda, satu real kembar, atau dua kompleks konjugat), yang dapat membimbing Anda dalam memilih metode atau mengecek hasil akhir Anda.-b, dan bahwa (-b)² selalu positif), pastikan Anda melakukan substitusi dan perhitungan dengan teliti.Jika Anda menemukan akar x=2 untuk x² - 5x + 6 = 0, Anda dapat mengeceknya: (2)² - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0. Karena 0 = 0, maka x=2 adalah akar yang benar.
2 + √7 atau -1 + 3i; itu adalah jawaban yang sepenuhnya valid dalam konteks matematika.Dengan menerapkan tips ini secara konsisten dan rajin berlatih, Anda akan menjadi mahir dalam mencari akar persamaan kuadrat dan menggunakan pengetahuan ini dalam berbagai konteks, baik akademis maupun praktis.
Mencari akar persamaan kuadrat adalah keterampilan fundamental dalam matematika yang membuka pintu untuk memahami dan menyelesaikan berbagai masalah di dunia nyata. Sepanjang artikel ini, kita telah menjelajahi berbagai aspek penting terkait persamaan kuadrat dan metode-metode ampuh untuk menemukan solusinya.
Kita telah membahas tiga metode utama yang dapat Anda gunakan:
(x + k)² = d. Metode ini sangat berguna untuk pemahaman konseptual, sebagai dasar penurunan rumus kuadrat, dan efektif untuk semua jenis akar.Selain metode pencarian akar, kita juga telah mendalami pentingnya Diskriminan (D = b² - 4ac). Diskriminan memungkinkan kita untuk memprediksi sifat akar-akar persamaan (apakah akan ada dua akar real berbeda, satu akar real kembar, atau dua akar kompleks konjugat) tanpa perlu menyelesaikan seluruh persamaan. Pemahaman ini sangat berharga untuk analisis awal dan validasi hasil yang Anda peroleh.
Tidak kalah penting, kita telah melihat bagaimana Rumus Vieta menghubungkan jumlah dan hasil kali akar-akar dengan koefisien persamaan, menyediakan cara alternatif yang elegan untuk memverifikasi jawaban atau bahkan membentuk persamaan kuadrat baru dari akar-akar yang diketahui. Terakhir, visualisasi melalui Grafik Fungsi Kuadrat (Parabola) memberikan pemahaman geometris yang intuitif tentang akar-akar sebagai titik potong grafik dengan sumbu-x, memperkuat koneksi antara aljabar dan visualisasi.
Persamaan kuadrat bukan hanya latihan akademis semata; ia memiliki aplikasi praktis yang tak terhitung jumlahnya dalam bidang-bidang seperti fisika (gerak proyektil), rekayasa (desain struktural), ekonomi (optimisasi keuntungan), dan geometri (penentuan dimensi). Dengan menguasai metode-metode ini, Anda tidak hanya meningkatkan kemampuan matematika Anda tetapi juga memperoleh alat yang sangat ampuh untuk menganalisis dan memecahkan masalah di berbagai bidang kehidupan.
Kunci keberhasilan dalam matematika adalah latihan yang konsisten dan pemahaman konseptual yang mendalam. Cobalah berbagai contoh soal, gunakan metode yang berbeda untuk memecahkan masalah yang sama, dan selalu periksa kembali jawaban Anda. Semakin banyak Anda berlatih, semakin intuitif dan cepat Anda akan mencari akar persamaan kuadrat, dan semakin kuat fondasi matematika Anda secara keseluruhan.
Semoga panduan lengkap tentang cara mencari akar persamaan kuadrat ini bermanfaat bagi Anda dalam perjalanan belajar matematika! Teruslah berlatih dan bereksplorasi.