Aljabar Linear adalah cabang matematika yang mempelajari vektor, ruang vektor (atau ruang linear), transformasi linear, dan sistem persamaan linear. Bidang ini fundamental karena menjadi landasan bagi banyak disiplin ilmu modern, mulai dari ilmu komputer (terutama grafika komputer dan pembelajaran mesin) hingga fisika kuantum dan teknik sipil. Memahami konsep dasarnya sangat penting untuk memecahkan masalah kompleks yang melibatkan banyak variabel secara efisien.
Inti dari Aljabar Linear adalah representasi masalah dalam bentuk matriks dan vektor. Matriks memungkinkan kita untuk mengorganisir data dan operasi dalam satu struktur yang ringkas. Operasi pada matriks, seperti penjumlahan, perkalian, inversi, dan determinan, merepresentasikan transformasi atau solusi dari sistem persamaan.
Vektor adalah objek geometris yang memiliki besaran (magnitudo) dan arah. Dalam konteks Aljabar Linear, vektor sering direpresentasikan sebagai daftar bilangan, atau kolom angka. Vektor-vektor ini hidup dalam Ruang Vektor, yang merupakan himpunan objek yang memenuhi beberapa aksioma tertentu mengenai penjumlahan vektor dan perkalian skalar.
Konsep seperti kombinasi linear, basis, dan dimensi mendefinisikan struktur dari ruang vektor tersebut. Kombinasi linear adalah penjumlahan vektor-vektor yang masing-masing dikalikan dengan skalar. Jika sebuah vektor dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari sekumpulan vektor lain, maka vektor tersebut dikatakan berada dalam rentang (span) vektor-vektor tersebut.
Gambar di atas mengilustrasikan vektor v yang dimulai dari titik asal (0,0) dalam sistem koordinat. Dalam representasi matriks, vektor ini mungkin ditulis sebagai kolom [x; y].
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang. Matriks berukuran $m \times n$ memiliki $m$ baris dan $n$ kolom. Dalam Aljabar Linear, matriks sering digunakan untuk merepresentasikan Transformasi Linear. Transformasi linear adalah fungsi antara dua ruang vektor yang mempertahankan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar.
Ketika sebuah matriks dikalikan dengan vektor, hasilnya adalah vektor baru yang merupakan hasil transformasi dari vektor semula. Contoh transformasi meliputi rotasi, penskalaan (scaling), dan refleksi dalam ruang dimensi manapun.
Salah satu aplikasi paling klasik adalah menyelesaikan Sistem Persamaan Linear. Sistem seperti:
2x + 3y = 8
x - y = 1
Dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, di mana $A$ adalah matriks koefisien, $\mathbf{x}$ adalah vektor variabel, dan $\mathbf{b}$ adalah vektor konstanta. Solusi untuk sistem ini sering dicari menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan atau dengan mencari invers dari matriks $A$ (jika ada).
Konsep Nilai Eigen (Eigenvalue) dan Vektor Eigen (Eigenvector) sangat vital, terutama dalam analisis dinamika sistem dan stabilisasi. Ketika sebuah transformasi linear diterapkan pada vektor eigen, vektor hasil transformasinya hanya berupa perkalian skalar dari vektor aslinya. Dengan kata lain, arah vektor eigen tidak berubah setelah transformasi, hanya panjangnya yang diskalakan oleh nilai eigen yang bersangkutan.
Secara matematis, hubungan ini dinyatakan sebagai $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$, di mana $A$ adalah matriks, $\mathbf{v}$ adalah vektor eigen, dan $\lambda$ (lambda) adalah nilai eigen skalar. Menemukan vektor dan nilai eigen melibatkan pemecahan persamaan karakteristik $\det(A - \lambda I) = 0$.
Aljabar Linear bukan hanya teori matematika murni. Dalam Pembelajaran Mesin, data sering direpresentasikan sebagai matriks besar, dan algoritma seperti dekomposisi nilai singular (SVD) sangat bergantung pada prinsip Aljabar Linear untuk reduksi dimensi dan analisis data. Demikian pula, dalam Grafika Komputer, semua operasi visualisasi 3D—mulai dari memutar objek hingga memproyeksikannya ke layar 2D—dilakukan melalui perkalian matriks transformasi. Penguasaan materi Aljabar Linear memberikan alat yang ampuh untuk memodelkan dan menganalisis fenomena dunia nyata.