Sebuah ilustrasi umum mengenai struktur matriks dan kaitannya dengan operasi vektor.
Aljabar Linear adalah cabang matematika yang mempelajari vektor, ruang vektor (atau ruang linear), transformasi linear, dan sistem persamaan linear. Ini adalah salah satu bidang paling fundamental dan penting dalam matematika modern karena aplikasinya yang luas, mulai dari ilmu komputer, fisika, hingga ekonomi dan rekayasa. Inti dari Aljabar Linear adalah cara yang efisien untuk merepresentasikan dan memanipulasi data yang terstruktur, yang mana representasi utamanya adalah matriks.
Konsep ruang vektor memungkinkan kita untuk menggeneralisasi ide tentang titik dan arah dalam ruang dua atau tiga dimensi ke dimensi yang lebih tinggi. Dalam konteks pemrograman dan analisis data, "vektor" bisa merujuk pada deret angka, dan "ruang" bisa merujuk pada ruang fitur multidimensi. Pemahaman yang kuat tentang konsep dasar ini sangat krusial sebelum menyelami pembahasan yang lebih kompleks seperti nilai eigen dan vektor eigen.
Matriks adalah susunan persegi atau persegi panjang dari bilangan, simbol, atau ekspresi yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks berfungsi sebagai alat serbaguna untuk menyimpan data, merepresentasikan transformasi geometris (seperti rotasi dan penskalaan), dan menyelesaikan sistem persamaan linear simultan.
Operasi dasar pada matriks meliputi penjumlahan dan pengurangan matriks (yang hanya bisa dilakukan jika dimensinya sama), perkalian skalar, dan yang paling penting, perkalian matriks. Perkalian matriks (misalnya, $A \times B$) adalah operasi yang non-komutatif, artinya $A \times B$ umumnya tidak sama dengan $B \times A$. Aturan perkalian ini sangat spesifik: jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua.
Selain operasi aritmatika, beberapa konsep matriks yang fundamental meliputi:
Salah satu motivasi historis utama Aljabar Linear adalah memecahkan sistem persamaan linear. Sebuah sistem seperti: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 5 \end{cases} $$ Dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks sebagai $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, di mana $A$ adalah matriks koefisien, $\mathbf{x}$ adalah vektor variabel, dan $\mathbf{b}$ adalah vektor konstanta.
Metode penyelesaian yang sering digunakan adalah eliminasi Gauss atau menggunakan invers matriks ($\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$). Dalam komputasi modern, metode iteratif seperti metode Jacobi atau Gauss-Seidel sering digunakan untuk sistem yang sangat besar, sementara eliminasi Gauss-Jordan tetap menjadi dasar untuk pemahaman teoritis dan penyelesaian sistem skala kecil hingga menengah.
Nilai eigen ($\lambda$) dan vektor eigen ($\mathbf{v}$) adalah konsep yang sangat kuat dalam Aljabar Linear. Secara intuitif, ketika sebuah transformasi linear (diwakili oleh matriks $A$) diterapkan pada vektor eigen ($\mathbf{v}$), hasilnya hanyalah vektor yang sama yang diskalakan oleh suatu faktor (nilai eigen $\lambda$), tanpa mengubah arahnya. Hubungannya dinyatakan sebagai $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$.
Konsep ini sangat fundamental dalam banyak aplikasi: