Persamaan kuadrat adalah salah satu fondasi penting dalam aljabar yang sering muncul dalam berbagai disiplin ilmu, mulai dari matematika murni, fisika, teknik, hingga ekonomi. Memahami cara memfaktorkan persamaan kuadrat bukan hanya sekadar keterampilan matematis, melainkan juga kunci untuk memecahkan berbagai masalah di dunia nyata. Artikel ini akan membawa Anda melalui perjalanan komprehensif untuk menguasai teknik pemfaktoran persamaan kuadrat, mulai dari konsep dasar hingga metode-metode yang lebih kompleks, disertai dengan contoh-contoh praktis yang mudah diikuti.
Baik Anda seorang pelajar yang sedang mempersiapkan ujian, mahasiswa yang mendalami kalkulus, atau sekadar individu yang ingin menyegarkan kembali ingatan tentang aljabar, panduan ini dirancang untuk Anda. Kami akan mengupas tuntas berbagai strategi pemfaktoran, menjelaskan kapan dan bagaimana menggunakannya, serta memberikan tips untuk menghindari kesalahan umum. Mari kita mulai petualangan kita dalam dunia pemfaktoran persamaan kuadrat!
Sebelum kita menyelami lebih dalam tentang pemfaktoran, penting untuk memahami terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan persamaan kuadrat. Secara definisi, persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Ini berarti pangkat tertinggi dari variabel dalam persamaan tersebut adalah dua.
Bentuk umum atau standar dari persamaan kuadrat adalah:
ax² + bx + c = 0Di mana:
x adalah variabel yang tidak diketahui.a, b, dan c adalah koefisien atau konstanta bilangan real.a tidak boleh sama dengan nol (a ≠ 0). Jika a = 0, maka persamaan tersebut akan menjadi bx + c = 0, yang merupakan persamaan linear (berderajat satu), bukan persamaan kuadrat.c adalah suku konstanta atau konstanta bebas.Mari kita lihat beberapa contoh persamaan kuadrat:
x² + 5x + 6 = 0 (di sini, a=1, b=5, c=6)2x² - 3x - 2 = 0 (di sini, a=2, b=-3, c=-2)x² - 9 = 0 (di sini, a=1, b=0, c=-9)3x² + 7x = 0 (di sini, a=3, b=7, c=0)Tujuan utama ketika kita "memecahkan" atau "menyelesaikan" persamaan kuadrat adalah untuk menemukan nilai-nilai x yang membuat persamaan itu benar. Nilai-nilai x ini sering disebut sebagai "akar-akar" atau "solusi" dari persamaan tersebut.
Ada beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, seperti menggunakan rumus kuadrat (rumus ABC), melengkapi kuadrat sempurna, dan pemfaktoran. Dari ketiga metode tersebut, pemfaktoran seringkali menjadi yang paling efisien dan elegan, terutama untuk persamaan yang relatif sederhana.
Pada dasarnya, memfaktorkan adalah proses memecah suatu ekspresi menjadi produk dari dua atau lebih ekspresi yang lebih sederhana. Untuk persamaan kuadrat, kita mencoba menuliskannya sebagai produk dari dua ekspresi linear. Misalnya, jika kita memiliki persamaan x² + 5x + 6 = 0, kita bisa memfaktorkannya menjadi (x + 2)(x + 3) = 0. Dari sini, mencari akar-akarnya menjadi sangat mudah.
Inti dari pemecahan persamaan kuadrat melalui pemfaktoran terletak pada sebuah prinsip matematika yang sangat fundamental: Properti Hasil Kali Nol (Zero Product Property). Properti ini menyatakan bahwa jika hasil kali dua atau lebih faktor adalah nol, maka setidaknya salah satu dari faktor-faktor tersebut harus nol.
Secara matematis, jika A × B = 0, maka A = 0 atau B = 0 (atau keduanya).
Bagaimana ini berlaku untuk persamaan kuadrat?
Misalkan kita telah berhasil memfaktorkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 menjadi bentuk (px + q)(rx + s) = 0. Berdasarkan Properti Hasil Kali Nol, ini berarti:
px + q = 0rx + s = 0Dengan menyamakan setiap faktor dengan nol, kita dapat dengan mudah menyelesaikan untuk x dan menemukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Contoh:
Jika (x + 2)(x - 3) = 0
Maka:
x + 2 = 0 => x = -2
ATAU
x - 3 = 0 => x = 3
Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x = -2 dan x = 3.Memahami properti ini adalah kunci untuk melihat mengapa pemfaktoran adalah metode yang valid dan ampuh untuk menemukan solusi persamaan kuadrat. Tanpa properti ini, pemfaktoran tidak akan memiliki kekuatan untuk menyelesaikan persamaan.
Metode pemfaktoran pertama yang paling dasar, dan seringkali merupakan langkah awal yang harus selalu diperiksa, adalah memfaktorkan keluar Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) atau Greatest Common Factor (GCF). Metode ini sangat relevan ketika suku konstanta c dalam persamaan ax² + bx + c = 0 adalah nol, atau ketika semua suku memiliki faktor yang sama.
Anda harus selalu mencari FPB terlebih dahulu, terlepas dari apakah c adalah nol atau tidak. Namun, metode ini paling menonjol dan seringkali menjadi satu-satunya metode yang diperlukan ketika persamaan kuadrat tidak memiliki suku konstanta, yaitu ketika c = 0. Dalam kasus ini, persamaannya berbentuk ax² + bx = 0.
3x² + 6x = 0Ini adalah persamaan kuadrat dengan a=3, b=6, dan c=0.
3x² dan 6x.3 dan 6 adalah 3.x. Pangkat terendah dari x adalah x¹ (dari 6x).3x.3x:
3x² / 3x = x6x / 3x = 23x(x + 2) = 0.3x = 0 => x = 0x + 2 = 0 => x = -2Jadi, akar-akar persamaan 3x² + 6x = 0 adalah x = 0 dan x = -2.
5y² - 15y = 05y² dan -15y.5 dan -15 adalah 5.y. Pangkat terendah dari y adalah y¹.5y.5y:
5y² / 5y = y-15y / 5y = -35y(y - 3) = 0.5y = 0 => y = 0y - 3 = 0 => y = 3Akar-akarnya adalah y = 0 dan y = 3.
4x² + 8x + 12 = 0 (FPB sebelum metode lain)Meskipun persamaan ini memiliki suku konstanta (c=12), kita tetap bisa mencari FPB terlebih dahulu untuk menyederhanakan.
4x², 8x, 12.4, 8, dan 12 adalah 4.12 tidak memiliki x).4.4:
4x² / 4 = x²8x / 4 = 2x12 / 4 = 34(x² + 2x + 3) = 0.x² + 2x + 3 = 0. Karena 4 tidak sama dengan nol, kita bisa abaikan faktor 4. Sekarang kita perlu memfaktorkan trinomial di dalam kurung. Ini akan kita pelajari di metode selanjutnya. Jika trinomial tersebut tidak bisa difaktorkan (misalnya, diskriminannya negatif), maka persamaan aslinya tidak memiliki akar real.Pentingnya FPB: Selalu periksa FPB terlebih dahulu. Ini menyederhanakan persamaan dan membuat langkah-langkah pemfaktoran berikutnya menjadi jauh lebih mudah.
a = 1)Ini adalah salah satu bentuk pemfaktoran yang paling umum dan relatif mudah. Kita berbicara tentang persamaan kuadrat dalam bentuk x² + bx + c = 0, di mana koefisien a dari x² adalah 1. Tujuan kita adalah mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan c, dan jika dijumlahkan menghasilkan b.
Ketika kita memfaktorkan x² + bx + c, kita mencari dua ekspresi binomial dalam bentuk (x + p)(x + q). Jika kita mengalikan kedua binomial ini (menggunakan metode FOIL - First, Outer, Inner, Last), kita akan mendapatkan:
(x + p)(x + q) = x² + qx + px + pq
= x² + (p + q)x + pqDengan membandingkan hasil ini dengan bentuk umum x² + bx + c, kita dapat melihat bahwa:
b = p + q (jumlah kedua bilangan)c = pq (hasil kali kedua bilangan)Jadi, kuncinya adalah menemukan dua bilangan, p dan q, yang memenuhi kedua kondisi ini secara bersamaan.
x² + bx + c = 0:a = 1. Jika tidak, coba faktorkan FPB terlebih dahulu (kembali ke Metode 1).b dan c.p dan q) yang memenuhi dua kondisi berikut:
p × q = c (hasil kalinya sama dengan c)p + q = b (jumlahnya sama dengan b)(x + p)(x + q) = 0.x² + 7x + 10 = 0a = 1.b = 7, c = 10.p dan q sedemikian rupa sehingga p × q = 10 dan p + q = 7.
10:
1 × 10 (Jumlah: 1 + 10 = 11, bukan 7)2 × 5 (Jumlah: 2 + 5 = 7, INI DIA!)p = 2 dan q = 5 (atau sebaliknya).
(x + 2)(x + 5) = 0.x + 2 = 0 => x = -2x + 5 = 0 => x = -5Akar-akarnya adalah x = -2 dan x = -5.
x² - 8x + 12 = 0a = 1.b = -8, c = 12.p dan q sedemikian rupa sehingga p × q = 12 dan p + q = -8.
12) dan jumlahnya negatif (-8), kedua bilangan harus negatif.12:
-1 × -12 (Jumlah: -1 + -12 = -13)-2 × -6 (Jumlah: -2 + -6 = -8, INI DIA!)-3 × -4 (Jumlah: -3 + -4 = -7)p = -2 dan q = -6.
(x - 2)(x - 6) = 0.x - 2 = 0 => x = 2x - 6 = 0 => x = 6Akar-akarnya adalah x = 2 dan x = 6.
x² + 2x - 15 = 0a = 1.b = 2, c = -15.p dan q sedemikian rupa sehingga p × q = -15 dan p + q = 2.
-15), salah satu bilangan harus positif dan yang lainnya negatif. Karena jumlahnya positif (2), bilangan positif harus memiliki nilai absolut yang lebih besar.-15:
-1 × 15 (Jumlah: 14)1 × -15 (Jumlah: -14)-3 × 5 (Jumlah: 2, INI DIA!)3 × -5 (Jumlah: -2)p = -3 dan q = 5.
(x - 3)(x + 5) = 0.x - 3 = 0 => x = 3x + 5 = 0 => x = -5Akar-akarnya adalah x = 3 dan x = -5.
x² - 4x - 21 = 0a = 1.b = -4, c = -21.p dan q sedemikian rupa sehingga p × q = -21 dan p + q = -4.
-21), salah satu bilangan harus positif dan yang lainnya negatif. Karena jumlahnya negatif (-4), bilangan negatif harus memiliki nilai absolut yang lebih besar.-21:
1 × -21 (Jumlah: -20)-1 × 21 (Jumlah: 20)3 × -7 (Jumlah: -4, INI DIA!)-3 × 7 (Jumlah: 4)p = 3 dan q = -7.
(x + 3)(x - 7) = 0.x + 3 = 0 => x = -3x - 7 = 0 => x = 7Akar-akarnya adalah x = -3 dan x = 7.
Tips Penting untuk Trinomial Sederhana:
- Jika
cpositif danbpositif, kedua faktor (pdanq) akan positif.- Jika
cpositif danbnegatif, kedua faktor (pdanq) akan negatif.- Jika
cnegatif, satu faktor akan positif dan yang lainnya negatif. Tanda daribakan menentukan faktor mana yang memiliki nilai absolut lebih besar (jikabpositif, faktor positif lebih besar; jikabnegatif, faktor negatif lebih besar).
a ≠ 1)Ketika koefisien a dari x² bukan 1 (yaitu a > 1 atau a < 0), pemfaktoran menjadi sedikit lebih rumit. Persamaan kuadrat dalam bentuk ax² + bx + c = 0 memerlukan pendekatan yang lebih sistematis. Ada beberapa metode untuk menangani kasus ini, dan yang paling populer adalah Metode AC (Pemisahan Suku Tengah) dan Metode Coba-coba (Trial and Error). Kami akan fokus pada Metode AC karena lebih terstruktur.
Sebelum mencoba metode ini, selalu periksa apakah ada FPB di antara a, b, dan c. Jika ada, faktorkan FPB tersebut terlebih dahulu untuk menyederhanakan persamaan. Ini akan membuat proses pemfaktoran menjadi jauh lebih mudah.
Contoh: 2x² + 10x + 12 = 0
FPB dari 2, 10, dan 12 adalah 2.
2(x² + 5x + 6) = 0
Sekarang kita hanya perlu memfaktorkan x² + 5x + 6 (yang merupakan trinomial sederhana).Metode ini dinamakan "Metode AC" karena langkah pertamanya adalah mengalikan koefisien a dan c. Ini adalah metode yang sangat andal dan sistematis.
ax² + bx + c = 0 dengan Metode AC:AC: Kalikan koefisien a dengan konstanta c.p dan q): Temukan sepasang bilangan bulat p dan q yang memenuhi dua kondisi:
p × q = ac (hasil kalinya sama dengan hasil ac)p + q = b (jumlahnya sama dengan koefisien b)ac, bukan c.
bx dengan px + qx. Persamaan akan menjadi ax² + px + qx + c = 0. (Urutan px dan qx tidak masalah, tapi terkadang salah satu urutan lebih memudahkan pengelompokan).(ax² + px) + (qx + c) = 0. Faktorkan FPB dari setiap pasangan suku.
Faktor_1(ekspresi_binomial_1) + Faktor_2(ekspresi_binomial_2) = 0.p dan q dengan benar, ekspresi_binomial_1 dan ekspresi_binomial_2 harus identik.(binomial_umum)(faktor_1 + faktor_2) = 0.2x² + 7x + 3 = 0Di sini, a=2, b=7, c=3.
ac: 2 × 3 = 6.p dan q: Kita mencari dua bilangan yang dikalikan menghasilkan 6 dan dijumlahkan menghasilkan 7.
6: (1, 6), (2, 3)1 + 6 = 7. (INI DIA!)p=1 dan q=6.
7x dengan 1x + 6x.
2x² + 1x + 6x + 3 = 0(2x² + 1x) + (6x + 3) = 0(2x² + 1x), FPB adalah x. Hasilnya: x(2x + 1).(6x + 3), FPB adalah 3. Hasilnya: 3(2x + 1).x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0(2x + 1) adalah faktor umum.
(2x + 1)(x + 3) = 02x + 1 = 0 => 2x = -1 => x = -1/2x + 3 = 0 => x = -3Akar-akarnya adalah x = -1/2 dan x = -3.
3x² - 10x + 8 = 0Di sini, a=3, b=-10, c=8.
ac: 3 × 8 = 24.p dan q: Dikali 24, dijumlah -10.
ac positif dan b negatif, kedua bilangan harus negatif.24: (-1, -24), (-2, -12), (-3, -8), (-4, -6)-4 + -6 = -10. (INI DIA!)p=-4 dan q=-6.
-10x dengan -4x - 6x.
3x² - 4x - 6x + 8 = 0(3x² - 4x) + (-6x + 8) = 0(3x² - 4x), FPB adalah x. Hasilnya: x(3x - 4).(-6x + 8), FPB adalah -2 (penting untuk mengeluarkan negatif agar binomial cocok). Hasilnya: -2(3x - 4).x(3x - 4) - 2(3x - 4) = 0(3x - 4)(x - 2) = 03x - 4 = 0 => 3x = 4 => x = 4/3x - 2 = 0 => x = 2Akar-akarnya adalah x = 4/3 dan x = 2.
6x² + x - 12 = 0Di sini, a=6, b=1, c=-12.
ac: 6 × (-12) = -72.p dan q: Dikali -72, dijumlah 1.
ac negatif, satu bilangan positif dan satu negatif. Karena b positif, bilangan positif harus lebih besar.-72 yang jumlahnya 1:
-1, 72 (sum 71)-2, 36 (sum 34)-3, 24 (sum 21)-4, 18 (sum 14)-6, 12 (sum 6)-8, 9 (sum 1, INI DIA!)p=-8 dan q=9.
x dengan -8x + 9x.
6x² - 8x + 9x - 12 = 0(6x² - 8x) + (9x - 12) = 0(6x² - 8x), FPB adalah 2x. Hasilnya: 2x(3x - 4).(9x - 12), FPB adalah 3. Hasilnya: 3(3x - 4).2x(3x - 4) + 3(3x - 4) = 0(3x - 4)(2x + 3) = 03x - 4 = 0 => 3x = 4 => x = 4/32x + 3 = 0 => 2x = -3 => x = -3/2Akar-akarnya adalah x = 4/3 dan x = -3/2.
Metode ini kurang sistematis dibandingkan Metode AC, tetapi bagi sebagian orang, ini mungkin lebih intuitif setelah banyak berlatih. Anda secara harfiah "mencoba dan menguji" berbagai kombinasi faktor.
ax² + bx + c = 0 dengan Coba-coba:ax² + bx + c = 0.a: Tentukan semua pasangan faktor dari koefisien a. Ini akan menjadi koefisien x di dua faktor binomial.c: Tentukan semua pasangan faktor dari konstanta c. Ini akan menjadi konstanta di dua faktor binomial.( __ x + __ )( __ x + __ ) = 0a di posisi koefisien x, dan faktor-faktor c di posisi konstanta. Periksa hasil kali "Inner" dan "Outer" (dari FOIL) untuk melihat apakah jumlahnya sama dengan bx. Ingat juga untuk memperhatikan tanda positif/negatif.2x² + 7x + 3 = 0 (menggunakan Coba-coba)Di sini, a=2, b=7, c=3.
a=2 adalah (1, 2).c=3 adalah (1, 3).( __ x + __ )( __ x + __ ) = 0x harus 1 dan 2 (atau 2 dan 1).
Konstanta harus 1 dan 3 (atau 3 dan 1).
Karena semua positif, semua tanda dalam binomial akan positif.(1x + 1)(2x + 3)
1x × 3 = 3x1 × 2x = 2x3x + 2x = 5x (Tidak sama dengan 7x)(1x + 3)(2x + 1)
1x × 1 = 1x3 × 2x = 6x1x + 6x = 7x (INI DIA!)Jadi, faktor-faktornya adalah (x + 3)(2x + 1) = 0.
Selesaikan: x = -3 dan x = -1/2.
Seperti yang Anda lihat, Metode Coba-coba bisa cepat jika Anda beruntung atau memiliki banyak pengalaman, tetapi Metode AC lebih terjamin untuk mencapai solusi.
Ada beberapa jenis persamaan kuadrat yang memiliki pola khusus, dan mengenali pola ini dapat mempercepat proses pemfaktoran secara signifikan. Dua bentuk khusus yang paling penting adalah Perbedaan Dua Kuadrat dan Trinomial Kuadrat Sempurna.
Bentuk ini berlaku untuk persamaan kuadrat yang tidak memiliki suku tengah (yaitu, b = 0) dan kedua suku adalah kuadrat sempurna yang dikurangi. Bentuk umumnya adalah a² - b².
x² - y² = (x - y)(x + y)Atau dalam konteks persamaan kuadrat: (sesuatu)² - (sesuatu_lain)² = 0
A² - B² = 0. Periksa apakah kedua suku adalah kuadrat sempurna dan ada tanda minus di antaranya.A dan B).(A - B)(A + B) = 0.x² - 9 = 0x² adalah (x)² dan 9 adalah (3)².A = x, B = 3.(x - 3)(x + 3) = 0.x - 3 = 0 => x = 3x + 3 = 0 => x = -3Akar-akarnya adalah x = 3 dan x = -3.
4y² - 25 = 04y² adalah (2y)² dan 25 adalah (5)².A = 2y, B = 5.(2y - 5)(2y + 5) = 0.2y - 5 = 0 => 2y = 5 => y = 5/22y + 5 = 0 => 2y = -5 => y = -5/2Akar-akarnya adalah y = 5/2 dan y = -5/2.
16m² - 49 = 016m² adalah (4m)² dan 49 adalah (7)².A = 4m, B = 7.(4m - 7)(4m + 7) = 0.4m - 7 = 0 => 4m = 7 => m = 7/44m + 7 = 0 => 4m = -7 => m = -7/4Akar-akarnya adalah m = 7/4 dan m = -7/4.
Trinomial kuadrat sempurna adalah trinomial yang merupakan hasil dari kuadrat sebuah binomial. Mengenali pola ini juga dapat sangat mempercepat pemfaktoran.
A² + 2AB + B² = (A + B)²
A² - 2AB + B² = (A - B)²ax²) dan suku terakhir (c) adalah kuadrat sempurna. Artinya, a harus kuadrat sempurna dan c juga harus kuadrat sempurna.A) dan suku terakhir (B).A dan B, lalu kalikan hasilnya dengan 2 (yaitu, 2AB). Jika hasil ini sama dengan suku tengah (bx) dari persamaan asli, maka itu adalah trinomial kuadrat sempurna.(A + B)² = 0.(A - B)² = 0.x² + 6x + 9 = 0x² adalah (x)². Suku terakhir 9 adalah (3)².A = x, B = 3.2AB = 2 × x × 3 = 6x. Ini sama dengan suku tengah dalam persamaan.(A + B)²: (x + 3)² = 0.x + 3 = 0 => x = -3 (ini adalah akar ganda)Akar-akarnya adalah x = -3.
4x² - 12x + 9 = 04x² adalah (2x)². Suku terakhir 9 adalah (3)².A = 2x, B = 3.2AB = 2 × 2x × 3 = 12x. Suku tengah adalah -12x. Jadi, kita akan menggunakan pola (A - B)².(A - B)²: (2x - 3)² = 0.2x - 3 = 0 => 2x = 3 => x = 3/2 (ini adalah akar ganda)Akar-akarnya adalah x = 3/2.
25y² + 20y + 4 = 025y² adalah (5y)². Suku terakhir 4 adalah (2)².A = 5y, B = 2.2AB = 2 × 5y × 2 = 20y. Ini sama dengan suku tengah dalam persamaan.(A + B)²: (5y + 2)² = 0.5y + 2 = 0 => 5y = -2 => y = -2/5 (akar ganda)Akar-akarnya adalah y = -2/5.
Kadang-kadang, persamaan kuadrat akan memiliki koefisien a yang negatif, seperti -x² + 5x - 6 = 0. Meskipun Anda bisa memfaktorkannya secara langsung, seringkali lebih mudah untuk mengubah koefisien a menjadi positif terlebih dahulu.
-1. Ingat untuk mengalikan setiap suku di kedua sisi persamaan.-x² - 2x + 8 = 0-1:
(-1) × (-x² - 2x + 8) = (-1) × 0
x² + 2x - 8 = 0a=1) dengan b=2 dan c=-8.
-8 dan dijumlahkan menghasilkan 2.
(-2, 4). (-2 × 4 = -8, -2 + 4 = 2)(x - 2)(x + 4) = 0.x - 2 = 0 => x = 2x + 4 = 0 => x = -4Akar-akarnya adalah x = 2 dan x = -4.
Setelah Anda menguasai berbagai metode pemfaktoran, langkah selanjutnya adalah menggunakan faktor-faktor tersebut untuk menemukan solusi atau akar-akar dari persamaan kuadrat. Seperti yang telah kita bahas di bagian Properti Hasil Kali Nol, kuncinya adalah menyamakan setiap faktor dengan nol.
ax² + bx + c = 0. Jika belum, susun ulang suku-sukunya agar menjadi bentuk ini.(faktor_1)(faktor_2) = 0.x.x yang Anda temukan kembali ke persamaan asli untuk memastikan bahwa persamaan tersebut menjadi benar (sisi kiri sama dengan nol).3x² + 5x = 23x² + 5x - 2 = 0a=3). Kita akan gunakan Metode AC.
a=3, b=5, c=-2.ac = 3 × (-2) = -6.-6 dan dijumlahkan 5. Pasangan bilangan adalah -1 dan 6.3x² - 1x + 6x - 2 = 0(3x² - x) + (6x - 2) = 0
x(3x - 1) + 2(3x - 1) = 0(3x - 1)(x + 2) = 03x - 1 = 0x + 2 = 03x - 1 = 0 => 3x = 1 => x = 1/3x + 2 = 0 => x = -2x = 1/3:
3(1/3)² + 5(1/3) = 2
3(1/9) + 5/3 = 2
1/3 + 5/3 = 2
6/3 = 2
2 = 2 (Benar!)x = -2:
3(-2)² + 5(-2) = 2
3(4) - 10 = 2
12 - 10 = 2
2 = 2 (Benar!)Akar-akar persamaan 3x² + 5x = 2 adalah x = 1/3 dan x = -2.
Memfaktorkan adalah keterampilan yang membutuhkan latihan, dan seperti keterampilan lainnya, ada beberapa jebakan umum yang harus dihindari dan tips yang dapat membantu Anda menjadi lebih mahir.
ax² + bx + c = 0 sebelum mencoba memfaktorkan.b dan c saat mencari pasangan bilangan.
c positif, kedua faktor memiliki tanda yang sama dengan b.c negatif, kedua faktor memiliki tanda yang berlawanan (satu positif, satu negatif).px dan qx. Terkadang, ini dapat membantu mendapatkan FPB yang lebih mudah dilihat.2x² + 10x + 12 tanpa mengeluarkan 2 terlebih dahulu.p dan q. Selalu periksa apakah p × q = c DAN p + q = b (atau ac dan b untuk Metode AC).ax² + bx + c = 0, misalnya k(A'x² + B'x + C') = 0, pastikan Anda memahami bahwa k tidak mempengaruhi akar persamaan selama k ≠ 0. Jadi, Anda bisa fokus memfaktorkan A'x² + B'x + C' = 0.Meskipun pemfaktoran adalah metode yang elegan dan efisien, tidak semua persamaan kuadrat dapat difaktorkan dengan mudah, terutama menggunakan bilangan bulat. Ada kalanya persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan sama sekali dalam himpunan bilangan real, atau hanya dapat difaktorkan menggunakan bilangan irasional atau kompleks.
Untuk mengetahui apakah suatu persamaan kuadrat memiliki solusi real dan apakah ia dapat difaktorkan dengan mudah (khususnya ke dalam faktor-faktor dengan koefisien bilangan bulat), kita dapat menggunakan konsep diskriminan. Diskriminan adalah bagian dari rumus kuadrat, dan nilainya dapat memberi tahu kita banyak tentang sifat akar-akar persamaan kuadrat.
Rumus kuadrat untuk ax² + bx + c = 0 adalah:
x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2aDiskriminan, dilambangkan dengan simbol delta (Δ) atau D, adalah bagian di bawah akar kuadrat:
Δ = b² - 4acΔ > 0 (Diskriminan Positif):
Δ adalah kuadrat sempurna (misalnya, 1, 4, 9, 16, 25, ...), maka persamaan kuadrat dapat difaktorkan dengan bilangan bulat. Ini adalah kasus di mana metode pemfaktoran yang kita bahas akan bekerja dengan baik.Δ bukan kuadrat sempurna (misalnya, 2, 3, 5, 6, 7, 8, ...), maka persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor dengan koefisien bilangan bulat. Dalam kasus ini, akar-akarnya adalah bilangan irasional, dan lebih baik menyelesaikannya menggunakan rumus kuadrat atau melengkapi kuadrat sempurna.Δ = 0 (Diskriminan Nol):
x² + 6x + 9 = 0 memiliki Δ = 6² - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0, dan faktornya adalah (x + 3)² = 0.Δ < 0 (Diskriminan Negatif):
Mari kita lihat beberapa contoh untuk melihat bagaimana diskriminan dapat membantu:
x² + 5x + 6 = 0
a=1, b=5, c=6Δ = b² - 4ac = 5² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1Δ = 1 (positif dan kuadrat sempurna), persamaan ini dapat difaktorkan (dan kita tahu faktornya (x+2)(x+3)).2x² - 3x - 2 = 0
a=2, b=-3, c=-2Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4(2)(-2) = 9 - (-16) = 9 + 16 = 25Δ = 25 (positif dan kuadrat sempurna), persamaan ini dapat difaktorkan.x² + 2x + 3 = 0 (dari Contoh 3 Metode 1, setelah FPB)
a=1, b=2, c=3Δ = b² - 4ac = 2² - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8Δ = -8 (negatif), persamaan ini tidak memiliki akar real dan tidak dapat difaktorkan dalam bilangan real.x² + 4x + 2 = 0
a=1, b=4, c=2Δ = b² - 4ac = 4² - 4(1)(2) = 16 - 8 = 8Δ = 8 (positif tapi bukan kuadrat sempurna), persamaan ini memiliki dua akar real, tetapi tidak dapat difaktorkan dengan bilangan bulat. Anda perlu menggunakan rumus kuadrat untuk menemukan akar-akarnya, yang akan melibatkan sqrt(8) atau 2sqrt(2).Memahami diskriminan adalah alat yang sangat berharga. Ini membantu Anda memutuskan apakah pemfaktoran adalah metode yang tepat untuk digunakan, atau apakah Anda harus beralih ke rumus kuadrat untuk menemukan solusi.
Persamaan kuadrat bukan hanya konsep abstrak di buku pelajaran matematika; mereka adalah alat yang ampuh untuk memodelkan dan menyelesaikan masalah di berbagai bidang kehidupan dan ilmu pengetahuan.
Contoh Sederhana Aplikasi:
Seorang insinyur ingin merancang sebuah jembatan. Untuk tujuan estetika dan keamanan, ia menginginkan lengkungan jembatan mengikuti lintasan parabola yang dapat dimodelkan oleh persamaan
h = -x² + 6x, di manahadalah ketinggian jembatan danxadalah jarak horizontal dari titik awal. Untuk mengetahui di mana jembatan akan menyentuh tanah (ketinggianh=0), kita harus menyelesaikan:-x² + 6x = 0Faktorkan FPB:
-x(x - 6) = 0Akar-akarnya:
-x = 0 => x = 0danx - 6 = 0 => x = 6.Ini berarti jembatan akan menyentuh tanah pada jarak 0 meter (titik awal) dan 6 meter (ujung lainnya).
Contoh ini menunjukkan bagaimana pemfaktoran persamaan kuadrat secara langsung memberikan informasi yang berguna dan relevan untuk pemecahan masalah di dunia nyata.
Memfaktorkan persamaan kuadrat adalah keterampilan fundamental dalam aljabar yang membuka pintu untuk memahami dan menyelesaikan berbagai masalah matematika dan aplikasi dunia nyata. Dari metode dasar FPB hingga teknik yang lebih canggih seperti Metode AC dan pengenalan bentuk khusus, setiap pendekatan memiliki tempat dan kegunaannya.
Kita telah membahas:
ax² + bx + c = 0.a = 1).a ≠ 1) menggunakan Metode AC dan sekilas Metode Coba-coba.a yang negatif.b² - 4ac) dapat memprediksi apakah suatu persamaan dapat difaktorkan dan sifat akar-akarnya.Menguasai pemfaktoran membutuhkan latihan yang konsisten. Jangan berkecil hati jika pada awalnya terasa menantang. Dengan setiap soal yang Anda selesaikan, pemahaman Anda akan semakin mendalam dan kecepatan Anda akan meningkat. Ingatlah untuk selalu memeriksa pekerjaan Anda dan jangan ragu untuk mencoba metode yang berbeda jika salah satu tidak berhasil. Keterampilan ini tidak hanya akan membantu Anda berhasil dalam kursus matematika, tetapi juga akan melatih kemampuan berpikir logis dan pemecahan masalah Anda secara keseluruhan.
Teruslah berlatih, dan Anda akan segera menjadi seorang ahli dalam memfaktorkan persamaan kuadrat!