Penyelesaian Persamaan Kuadrat: Panduan Lengkap dan Mudah

Mengungkap Rahasia di Balik Persamaan Kuadrat dan Berbagai Metode Penyelesaiannya

Pendahuluan

Matematika adalah fondasi yang kokoh untuk memahami banyak fenomena di alam semesta dan sistem buatan manusia. Di dalamnya, persamaan kuadrat merupakan salah satu konsep yang sangat fundamental, berfungsi sebagai jembatan antara aljabar murni dan aplikasi praktis di berbagai disiplin ilmu. Dari menghitung lintasan roket hingga mengoptimalkan keuntungan bisnis, dari mendesain lengkungan arsitektur hingga menganalisis sinyal elektronik, persamaan kuadrat memiliki peran yang tidak tergantikan.

Memahami cara menyelesaikan persamaan kuadrat bukan hanya tentang menemukan angka-angka tertentu, tetapi juga tentang mengembangkan kemampuan analisis masalah, pemikiran logis, dan penalaran sistematis. Keterampilan ini tidak hanya relevan di kelas matematika, tetapi juga dalam kehidupan sehari-hari dan karir profesional. Artikel ini dirancang sebagai panduan komprehensif, bertujuan untuk membongkar misteri persamaan kuadrat dan membuatnya dapat diakses oleh siapa saja yang ingin menguasainya, baik Anda seorang pelajar yang baru pertama kali bertemu konsep ini, mahasiswa yang ingin mendalami, atau seorang profesional yang ingin menyegarkan kembali pengetahuannya.

Kami akan memulai dengan definisi dasar, bentuk umum, dan kemudian menyelami berbagai metode penyelesaian yang ada: mulai dari metode pemfaktoran yang intuitif, melengkapkan kuadrat sempurna yang elegan, hingga rumus ABC yang serbaguna dan metode grafik yang memberikan perspektif visual. Setiap metode akan dijelaskan secara rinci dengan contoh-contoh langkah demi langkah yang jelas. Selain itu, kami juga akan membahas konsep penting seperti diskriminan yang menentukan jenis akar, sifat-sifat akar yang memungkinkan kita menganalisis persamaan tanpa menyelesaikannya secara penuh, serta aplikasi nyata persamaan kuadrat di berbagai bidang. Kami juga akan membahas kesalahan umum yang sering terjadi dan memberikan tips untuk menghindari. Akhirnya, serangkaian soal latihan beserta pembahasannya akan disajikan untuk memperkuat pemahaman Anda. Mari kita mulai perjalanan ini untuk menaklukkan persamaan kuadrat!

Apa Itu Persamaan Kuadrat?

Untuk memulai perjalanan kita, penting untuk memiliki pemahaman yang solid tentang definisi dasar dari persamaan kuadrat. Secara formal, persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Ini berarti variabel tertinggi dalam persamaan tersebut memiliki pangkat dua. Persamaan ini memiliki karakteristik khusus yang membedakannya dari persamaan linear atau polinomial berderajat lebih tinggi.

y = ax² + bx + c x₁ x₂ Kurva Parabola dari Persamaan Kuadrat

Ilustrasi grafis sebuah persamaan kuadrat yang membentuk parabola. Titik potong dengan sumbu X (akar-akar persamaan) ditunjukkan sebagai x₁ dan x₂.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Setiap persamaan kuadrat dapat ditulis dalam bentuk umum atau standar, yang merupakan kunci untuk menerapkan berbagai metode penyelesaian. Bentuk umum tersebut adalah:

ax² + bx + c = 0

Mari kita pilah setiap komponen dalam bentuk umum ini:

Contoh persamaan kuadrat meliputi: x² - 5x + 6 = 0, 3x² + 2x - 1 = 0, x² - 9 = 0, dan -2x² + 4x = 0.

Akar-akar Persamaan Kuadrat (Penyelesaian)

Nilai-nilai x yang membuat persamaan kuadrat menjadi benar (yaitu, ketika disubstitusikan ke dalam persamaan menghasilkan 0) disebut sebagai "akar-akar", "penyelesaian", atau "nilai-nilai nol" dari persamaan kuadrat. Karena ini adalah persamaan berderajat dua, ia dapat memiliki:

Tujuan utama kita adalah menemukan akar-akar ini menggunakan berbagai metode yang akan kita bahas selanjutnya.

Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Menemukan akar-akar persamaan kuadrat adalah inti dari banyak masalah matematika dan aplikasi dunia nyata. Ada beberapa metode yang berbeda untuk mencapai tujuan ini, masing-masing dengan kelebihan dan kekurangan tersendiri. Pemilihan metode seringkali tergantung pada bentuk persamaan dan kenyamanan pengguna. Mari kita selidiki setiap metode secara mendalam.

1. Metode Pemfaktoran

Metode pemfaktoran adalah pendekatan yang elegan dan seringkali merupakan cara tercepat untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, terutama jika persamaan tersebut relatif sederhana untuk difaktorkan. Metode ini didasarkan pada sifat fundamental dari bilangan real: jika hasil kali dua faktor adalah nol, maka setidaknya salah satu dari faktor tersebut harus nol. Secara matematis, jika A × B = 0, maka A = 0 atau B = 0 (atau keduanya).

Langkah-langkah umum untuk pemfaktoran:

  1. Atur ke Bentuk Standar: Pastikan persamaan kuadrat Anda dalam bentuk ax² + bx + c = 0. Semua suku harus berada di satu sisi persamaan, dan sisi lainnya harus nol.
  2. Faktorkan Ekspresi Kuadratik: Ubah ekspresi kuadratik ax² + bx + c menjadi hasil kali dua faktor linear. Bentuk umumnya adalah (px + q)(rx + s) = 0.
  3. Tentukan Akar-akar: Atur setiap faktor linear yang Anda peroleh sama dengan nol, lalu selesaikan untuk x. Ini akan memberikan Anda akar-akar persamaan.

a. Pemfaktoran untuk Persamaan dengan a = 1

Ini adalah kasus pemfaktoran yang paling sederhana, di mana persamaan berbentuk x² + bx + c = 0. Kita perlu menemukan dua bilangan, sebut saja p dan q, yang memenuhi dua kondisi:

  1. Ketika dijumlahkan, menghasilkan koefisien b (yaitu, p + q = b).
  2. Ketika dikalikan, menghasilkan konstanta c (yaitu, p × q = c).
Setelah menemukan p dan q, persamaan dapat difaktorkan menjadi (x + p)(x + q) = 0.

Contoh 1: Selesaikan persamaan kuadrat x² + 7x + 12 = 0 dengan pemfaktoran.
  1. Persamaan sudah dalam bentuk standar: x² + 7x + 12 = 0. Di sini, a = 1, b = 7, dan c = 12.
  2. Kita perlu mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan menghasilkan b = 7 dan jika dikalikan menghasilkan c = 12. Mari kita daftar pasangan faktor dari 12:
    • 1 dan 12 (jumlah 13)
    • 2 dan 6 (jumlah 8)
    • 3 dan 4 (jumlah 7) – Inilah pasangan yang kita cari!
    Jadi, bilangan-bilangan tersebut adalah 3 dan 4.
  3. Faktorkan ekspresi kuadratik: (x + 3)(x + 4) = 0.
  4. Atur setiap faktor sama dengan nol dan selesaikan untuk x:
    • x + 3 = 0 → x₁ = -3
    • x + 4 = 0 → x₂ = -4
Oleh karena itu, akar-akar persamaan x² + 7x + 12 = 0 adalah x = -3 dan x = -4.

b. Pemfaktoran untuk Persamaan dengan a ≠ 1 (Metode AC atau Metode Silang)

Ketika koefisien a tidak sama dengan 1, pemfaktoran bisa menjadi sedikit lebih menantang. Salah satu teknik yang efektif adalah Metode AC atau Metode Silang. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

  1. Atur ke Bentuk Standar: Pastikan persamaan dalam bentuk ax² + bx + c = 0.
  2. Hitung Produk AC: Kalikan koefisien a dengan konstanta c untuk mendapatkan ac.
  3. Temukan Dua Bilangan (p dan q): Cari dua bilangan p dan q sedemikian rupa sehingga:
    • Hasil kali p × q = ac.
    • Jumlah p + q = b (koefisien suku tengah).
  4. Tulis Ulang Suku Tengah: Ganti suku tengah bx dengan px + qx. Persamaan akan menjadi ax² + px + qx + c = 0.
  5. Faktorkan dengan Pengelompokan (Factoring by Grouping): Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir, lalu faktorkan faktor persekutuan terbesar dari masing-masing kelompok. Anda harus mendapatkan faktor binomial yang sama di kedua kelompok.
  6. Faktorkan Binomial Umum: Faktorkan binomial umum tersebut.
  7. Tentukan Akar-akar: Atur setiap faktor sama dengan nol dan selesaikan untuk x.
Contoh 2: Selesaikan persamaan kuadrat 3x² - 10x - 8 = 0 dengan pemfaktoran.
  1. Persamaan sudah dalam bentuk standar: 3x² - 10x - 8 = 0. Di sini, a = 3, b = -10, dan c = -8.
  2. Hitung produk AC: a × c = 3 × (-8) = -24.
  3. Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -24 dan jika dijumlahkan menghasilkan b = -10. Pasangan faktor dari -24:
    • -1 dan 24 (jumlah 23)
    • 1 dan -24 (jumlah -23)
    • -2 dan 12 (jumlah 10)
    • 2 dan -12 (jumlah -10) – Ini dia!
    Jadi, bilangan-bilangan tersebut adalah 2 dan -12.
  4. Tulis ulang suku tengah: Ganti -10x dengan +2x - 12x. 3x² + 2x - 12x - 8 = 0.
  5. Faktorkan dengan pengelompokan:
    • Kelompokkan (3x² + 2x) dan (-12x - 8).
    • Faktorkan x dari kelompok pertama: x(3x + 2).
    • Faktorkan -4 dari kelompok kedua: -4(3x + 2). Jadi, persamaan menjadi: x(3x + 2) - 4(3x + 2) = 0.
  6. Faktorkan binomial umum (3x + 2): (3x + 2)(x - 4) = 0.
  7. Atur setiap faktor sama dengan nol:
    • 3x + 2 = 0 → 3x = -2 → x₁ = -2/3
    • x - 4 = 0 → x₂ = 4
Jadi, akar-akar persamaan 3x² - 10x - 8 = 0 adalah x = -2/3 dan x = 4.
Metode Pemfaktoran x² + 5x + 6 = 0 (x + 2)(x + 3) = 0 x + 2 = 0 atau x + 3 = 0 x₁ = -2, x₂ = -3

Visualisasi langkah-langkah pemfaktoran sederhana untuk menemukan akar-akar persamaan kuadrat x² + 5x + 6 = 0.

2. Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode melengkapkan kuadrat sempurna adalah teknik yang sangat penting dalam aljabar karena menjadi dasar penurunan rumus kuadratik (rumus ABC) dan juga digunakan dalam konteks lain seperti menemukan titik puncak parabola. Metode ini bekerja dengan mengubah satu sisi persamaan menjadi sebuah "kuadrat sempurna" – yaitu, sebuah ekspresi yang merupakan hasil kuadrat dari suatu binomial, seperti (x + k)² atau (x - k)².

Konsep utamanya adalah memanfaatkan identitas aljabar: (x + k)² = x² + 2kx + k². Jika kita memiliki x² + bx, kita bisa melengkapinya menjadi kuadrat sempurna dengan menambahkan (b/2)². Maka x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)².

Langkah-langkah untuk melengkapkan kuadrat sempurna:

  1. Atur ke Bentuk Standar Awal: Pastikan persamaan dalam bentuk ax² + bx + c = 0.
  2. Pastikan a = 1: Jika koefisien a dari x² bukan 1, bagi seluruh persamaan dengan a. Ini akan menghasilkan persamaan baru dalam bentuk x² + (b/a)x + (c/a) = 0. Untuk tujuan langkah-langkah selanjutnya, kita akan menganggap persamaan sudah dalam bentuk x² + Bx + C = 0 (di mana B = b/a dan C = c/a).
  3. Pindahkan Konstanta: Pindahkan konstanta C ke sisi kanan persamaan: x² + Bx = -C.
  4. Tambahkan (B/2)² ke Kedua Sisi: Hitung (B/2)² (yaitu, setengah dari koefisien x, lalu dikuadratkan). Tambahkan nilai ini ke kedua sisi persamaan. Ini adalah langkah "melengkapkan kuadrat sempurna". Persamaan akan menjadi: x² + Bx + (B/2)² = -C + (B/2)².
  5. Faktorkan Sisi Kiri: Sisi kiri persamaan sekarang merupakan kuadrat sempurna, yang dapat difaktorkan menjadi (x + B/2)². Jadi: (x + B/2)² = -C + (B/2)².
  6. Ambil Akar Kuadrat dari Kedua Sisi: Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan. Ingatlah untuk selalu menyertakan tanda plus-minus (±) di sisi kanan, karena ada dua kemungkinan akar kuadrat. x + B/2 = ±√(-C + (B/2)²).
  7. Selesaikan untuk x: Kurangi B/2 dari kedua sisi untuk mendapatkan dua nilai x.
Contoh 3: Selesaikan persamaan kuadrat x² - 8x + 15 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
  1. Persamaan sudah dalam bentuk standar dan a = 1. Di sini b = -8, c = 15.
  2. Pindahkan konstanta c ke sisi kanan: x² - 8x = -15.
  3. Identifikasi koefisien x, yaitu B = -8. Hitung (B/2)² = (-8/2)² = (-4)² = 16. Tambahkan 16 ke kedua sisi persamaan: x² - 8x + 16 = -15 + 16.
  4. Faktorkan sisi kiri menjadi kuadrat sempurna: (x - 4)² = 1.
  5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi: x - 4 = ±√1 x - 4 = ±1.
  6. Selesaikan untuk x:
    • Untuk +1: x₁ - 4 = 1 → x₁ = 1 + 4 → x₁ = 5
    • Untuk -1: x₂ - 4 = -1 → x₂ = -1 + 4 → x₂ = 3
Jadi, akar-akar persamaan x² - 8x + 15 = 0 adalah x = 5 dan x = 3. (Hasil ini konsisten dengan metode pemfaktoran jika Anda mencobanya.)
Contoh 4 (dengan a ≠ 1): Selesaikan persamaan kuadrat 2x² + 12x + 10 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
  1. Persamaan dalam bentuk standar, tapi a = 2.
  2. Bagi seluruh persamaan dengan a = 2: (2x² / 2) + (12x / 2) + (10 / 2) = 0 / 2 x² + 6x + 5 = 0. Sekarang, B = 6 dan C = 5.
  3. Pindahkan konstanta C ke sisi kanan: x² + 6x = -5.
  4. Identifikasi koefisien x, yaitu B = 6. Hitung (B/2)² = (6/2)² = 3² = 9. Tambahkan 9 ke kedua sisi persamaan: x² + 6x + 9 = -5 + 9.
  5. Faktorkan sisi kiri: (x + 3)² = 4.
  6. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi: x + 3 = ±√4 x + 3 = ±2.
  7. Selesaikan untuk x:
    • Untuk +2: x₁ + 3 = 2 → x₁ = 2 - 3 → x₁ = -1
    • Untuk -2: x₂ + 3 = -2 → x₂ = -2 - 3 → x₂ = -5
Jadi, akar-akar persamaan 2x² + 12x + 10 = 0 adalah x = -1 dan x = -5.
Melengkapkan Kuadrat Sempurna x² + 6x = -5 x² + 6x + (6/2)² = -5 + (6/2)² (x + 3)² = 4 x + 3 = ±2 x₁ = -1, x₂ = -5

Langkah-langkah visual untuk metode melengkapkan kuadrat sempurna pada persamaan x² + 6x + 5 = 0.

3. Metode Rumus ABC (Rumus Kuadratik)

Metode rumus ABC, sering disebut rumus kuadratik, adalah metode yang paling universal dan ampuh untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Rumus ini dapat digunakan untuk setiap persamaan kuadrat, terlepas dari apakah persamaan tersebut dapat difaktorkan, apakah akarnya real atau kompleks, atau apakah koefisiennya adalah bilangan bulat, pecahan, atau irasional. Keindahan rumus ABC terletak pada konsistensinya—ia selalu memberikan solusi yang benar.

Rumus ini sebenarnya diturunkan dari metode melengkapkan kuadrat sempurna yang diterapkan pada bentuk umum persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Berikut adalah rumus ABC:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

Mari kita pahami komponen-komponennya:

Langkah-langkah penggunaan rumus ABC:

  1. Atur ke Bentuk Standar: Pastikan persamaan dalam bentuk ax² + bx + c = 0.
  2. Identifikasi Koefisien: Tentukan nilai-nilai a, b, dan c dari persamaan. Perhatikan baik-baik tanda positif atau negatifnya.
  3. Substitusikan ke Rumus: Masukkan nilai-nilai a, b, dan c ke dalam rumus ABC.
  4. Sederhanakan dan Hitung: Lakukan perhitungan aritmetika untuk menyederhanakan ekspresi dan menemukan dua nilai x.
Contoh 5: Selesaikan persamaan kuadrat 2x² + 7x + 3 = 0 menggunakan rumus ABC.
  1. Persamaan sudah dalam bentuk standar.
  2. Identifikasi koefisien: a = 2, b = 7, c = 3.
  3. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus ABC: x = [-7 ± √(7² - 4 × 2 × 3)] / (2 × 2)
  4. Sederhanakan perhitungan: x = [-7 ± √(49 - 24)] / 4 x = [-7 ± √25] / 4 x = [-7 ± 5] / 4
  5. Selesaikan untuk dua nilai x:
    • x₁ = (-7 + 5) / 4 = -2 / 4 = -1/2
    • x₂ = (-7 - 5) / 4 = -12 / 4 = -3
Jadi, akar-akar persamaan 2x² + 7x + 3 = 0 adalah x = -1/2 dan x = -3. (Ini adalah hasil yang sama dengan yang kita dapatkan menggunakan metode pemfaktoran pada Contoh 2, menunjukkan konsistensi antar metode).
Contoh 6: Selesaikan persamaan kuadrat x² - 4x + 1 = 0 menggunakan rumus ABC.
  1. Persamaan sudah dalam bentuk standar.
  2. Identifikasi koefisien: a = 1, b = -4, c = 1.
  3. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus ABC: x = [-(-4) ± √((-4)² - 4 × 1 × 1)] / (2 × 1)
  4. Sederhanakan perhitungan: x = [4 ± √(16 - 4)] / 2 x = [4 ± √12] / 2 x = [4 ± 2√3] / 2 (Sederhanakan akar kuadrat: √12 = √(4 × 3) = 2√3)
  5. Selesaikan untuk dua nilai x:
    • x₁ = (4 + 2√3) / 2 = 2 + √3
    • x₂ = (4 - 2√3) / 2 = 2 - √3
Dalam contoh ini, akar-akar persamaan adalah bilangan irasional. Ini adalah jenis persamaan yang akan sangat sulit, bahkan mustahil, untuk diselesaikan dengan pemfaktoran sederhana. Rumus ABC menunjukkan kekuatannya dalam menangani semua jenis akar.
Rumus ABC (Kuadratik) -b ± √b² - 4ac 2a x = Rumus Kuadratik

Visualisasi rumus ABC (kuadratik) yang merupakan metode paling umum dan universal untuk penyelesaian persamaan kuadrat.

4. Metode Grafik

Metode grafik menawarkan cara visual untuk menemukan akar-akar persamaan kuadrat. Akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah nilai-nilai x di mana grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c memotong atau menyinggung sumbu X. Ini adalah titik-titik di mana y = 0.

Grafik dari setiap fungsi kuadrat adalah parabola. Arah pembukaan parabola (ke atas atau ke bawah) ditentukan oleh tanda koefisien a:

Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan metode grafik:

  1. Ubah Persamaan menjadi Fungsi: Ubah persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 menjadi fungsi kuadrat y = ax² + bx + c.
  2. Tentukan Titik Puncak (Vertex): Titik puncak parabola adalah titik terendah (jika a > 0) atau tertinggi (jika a < 0). Koordinat x dari titik puncak dapat ditemukan dengan rumus x = -b / 2a. Setelah menemukan nilai x, substitusikan kembali ke fungsi untuk menemukan nilai y. Titik puncak memberikan titik sentral untuk grafik Anda.
  3. Buat Tabel Nilai: Pilih beberapa nilai x yang berbeda, termasuk nilai x dari titik puncak, beberapa nilai x yang lebih kecil dari puncak, dan beberapa nilai x yang lebih besar dari puncak. Hitung nilai y yang sesuai untuk setiap x menggunakan fungsi y = ax² + bx + c. Minimal 5-7 titik disarankan untuk mendapatkan bentuk parabola yang akurat.
  4. Plot Titik-titik: Gambar sistem koordinat Kartesius (sumbu X dan Y) dan plot semua pasangan titik (x, y) yang Anda dapatkan dari tabel.
  5. Gambar Parabola: Hubungkan titik-titik yang diplot dengan kurva halus untuk membentuk parabola.
  6. Identifikasi Akar-akar: Perhatikan di mana parabola memotong atau menyinggung sumbu X. Nilai x pada titik-titik ini adalah akar-akar persamaan kuadrat Anda.
Contoh 7: Selesaikan persamaan kuadrat x² - 6x + 8 = 0 dengan metode grafik.
  1. Ubah menjadi fungsi kuadrat: y = x² - 6x + 8.
  2. Tentukan titik puncak: x = -b / 2a = -(-6) / (2 × 1) = 6 / 2 = 3. Substitusikan x = 3 ke dalam fungsi: y = (3)² - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. Jadi, titik puncaknya adalah (3, -1).
  3. Buat tabel nilai x dan y:
    xPerhitungan y = x² - 6x + 8y
    11² - 6(1) + 8 = 1 - 6 + 83
    22² - 6(2) + 8 = 4 - 12 + 80
    33² - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8-1
    44² - 6(4) + 8 = 16 - 24 + 80
    55² - 6(5) + 8 = 25 - 30 + 83
  4. Plot titik-titik (1,3), (2,0), (3,-1), (4,0), (5,3) pada grafik.
  5. Gambar parabola yang menghubungkan titik-titik ini.
  6. Dari grafik, kita akan melihat bahwa parabola memotong sumbu X pada x = 2 dan x = 4.
Jadi, akar-akar persamaan x² - 6x + 8 = 0 adalah x = 2 dan x = 4.

Metode grafik sangat baik untuk memvisualisasikan solusi dan memahami bagaimana perubahan koefisien mempengaruhi bentuk dan posisi parabola. Namun, kekurangannya adalah akurasinya terbatas. Jika akar-akarnya adalah bilangan irasional atau pecahan yang tidak "cantik", akan sulit untuk membaca nilai-nilai eksak dari grafik. Untuk akar yang tepat, metode aljabar (pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus ABC) lebih unggul.

Diskriminan (D): Penentu Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Dalam rumus ABC, ada bagian yang sangat krusial dan memiliki nama khusus: diskriminan. Diskriminan adalah ekspresi di bawah tanda akar kuadrat, yaitu b² - 4ac. Kita melambangkannya dengan huruf kapital D. Nilai diskriminan ini memberikan informasi yang sangat berharga tentang sifat atau jenis akar-akar persamaan kuadrat tanpa perlu menyelesaikan seluruh persamaan.

D = b² - 4ac

Mengapa diskriminan begitu penting? Karena akar kuadrat hanya terdefinisi untuk bilangan non-negatif di dalam sistem bilangan real. Oleh karena itu, tanda dari D menentukan apakah akar-akarnya real atau kompleks, dan jika real, apakah mereka berbeda atau sama. Ada tiga kemungkinan kasus untuk nilai diskriminan:

1. Jika D > 0 (Diskriminan Positif)

Ketika nilai diskriminan lebih besar dari nol (D > 0), persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda. Ini berarti ada dua nilai x yang berbeda yang akan membuat persamaan menjadi benar. Secara grafis, ini menunjukkan bahwa parabola yang merepresentasikan fungsi kuadrat akan memotong sumbu X di dua titik yang berbeda.

Contoh 8: Tentukan jenis akar dari x² + 5x + 6 = 0.

Identifikasi koefisien: a = 1, b = 5, c = 6.

Hitung diskriminan:

D = b² - 4ac = 5² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1.

Karena D = 1, yang lebih besar dari nol (D > 0) dan merupakan kuadrat sempurna, persamaan ini memiliki dua akar real dan rasional yang berbeda. (Akar-akarnya adalah -2 dan -3).

2. Jika D = 0 (Diskriminan Nol)

Jika nilai diskriminan sama dengan nol (D = 0), persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang sama, sering disebut "akar kembar" atau "akar ganda". Ini berarti hanya ada satu nilai x yang membuat persamaan menjadi benar, tetapi secara teknis dihitung dua kali. Secara grafis, parabola akan menyinggung sumbu X tepat di satu titik, yaitu titik puncaknya berada di sumbu X.

Contoh 9: Tentukan jenis akar dari x² - 4x + 4 = 0.

Identifikasi koefisien: a = 1, b = -4, c = 4.

Hitung diskriminan:

D = b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0.

Karena D = 0, persamaan ini memiliki dua akar real yang sama. (Jika Anda memfaktorkannya, Anda akan mendapatkan (x - 2)(x - 2) = 0, yang berarti x = 2 adalah akar kembar).

3. Jika D < 0 (Diskriminan Negatif)

Jika nilai diskriminan lebih kecil dari nol (D < 0), persamaan kuadrat tidak memiliki akar real. Ini berarti tidak ada nilai x real yang dapat membuat persamaan menjadi benar. Dalam kasus ini, akar-akarnya adalah bilangan kompleks (atau imajiner) konjugat. Secara grafis, parabola tidak akan memotong maupun menyinggung sumbu X sama sekali; seluruh kurva berada di atas sumbu X (jika a > 0) atau di bawah sumbu X (jika a < 0).

Contoh 10: Tentukan jenis akar dari x² + 2x + 5 = 0.

Identifikasi koefisien: a = 1, b = 2, c = 5.

Hitung diskriminan:

D = b² - 4ac = 2² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16.

Karena D = -16, yang kurang dari nol (D < 0), persamaan ini tidak memiliki akar real. Akar-akarnya adalah bilangan kompleks.

Pemahaman tentang diskriminan sangat penting karena memungkinkan kita untuk dengan cepat menganalisis sifat akar-akar persamaan kuadrat tanpa harus melalui proses penyelesaian yang lengkap, menghemat waktu dan usaha, terutama dalam soal-soal pilihan ganda atau evaluasi cepat.

X Y D > 0 D = 0 D < 0 Jenis Akar Berdasarkan Diskriminan

Ilustrasi grafis tentang bagaimana nilai diskriminan (D) menentukan jumlah dan jenis akar real dari persamaan kuadrat. Kurva biru (D > 0) memotong sumbu X di dua titik. Kurva merah (D = 0) menyinggung sumbu X di satu titik. Kurva hijau (D < 0) tidak memotong sumbu X.

Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat (Jumlah dan Hasil Kali Akar)

Selain mampu menyelesaikan persamaan kuadrat untuk menemukan akar-akarnya, kita juga bisa memperoleh informasi penting tentang hubungan antar akar tanpa perlu menghitung nilai akar-akarnya secara eksplisit. Konsep ini dikenal sebagai sifat-sifat akar (atau teorema Vieta), yang menghubungkan koefisien persamaan kuadrat dengan jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Sifat-sifat ini sangat berguna untuk pemeriksaan, menyusun persamaan baru, atau memecahkan masalah yang lebih kompleks.

Untuk persamaan kuadrat dalam bentuk standar ax² + bx + c = 0, dengan akar-akar x₁ dan x₂, berlaku dua sifat utama:

1. Jumlah Akar (x₁ + x₂)

Jumlah dari dua akar persamaan kuadrat diberikan oleh rumus:

x₁ + x₂ = -b / a

Penurunan Rumus:

Kita tahu dari rumus ABC bahwa akar-akar persamaan kuadrat adalah:

x₁ = [-b + √(b² - 4ac)] / 2a

x₂ = [-b - √(b² - 4ac)] / 2a

Jika kita menjumlahkan kedua akar ini:

x₁ + x₂ = ([-b + √(b² - 4ac)] / 2a) + ([-b - √(b² - 4ac)] / 2a)

Karena penyebutnya sama, kita bisa menjumlahkan pembilangnya:

x₁ + x₂ = [-b + √(b² - 4ac) - b - √(b² - 4ac)] / 2a

Suku √(b² - 4ac) dan -√(b² - 4ac) akan saling menghilangkan:

x₁ + x₂ = (-b - b) / 2a

x₁ + x₂ = -2b / 2a

Sederhanakan dengan membagi 2 dari pembilang dan penyebut:

x₁ + x₂ = -b / a

2. Hasil Kali Akar (x₁ × x₂)

Hasil kali dari dua akar persamaan kuadrat diberikan oleh rumus:

x₁ × x₂ = c / a

Penurunan Rumus:

Menggunakan akar-akar dari rumus ABC lagi:

x₁ × x₂ = ([-b + √(b² - 4ac)] / 2a) × ([-b - √(b² - 4ac)] / 2a)

Ini adalah bentuk (P + Q)(P - Q) = P² - Q², di mana P = -b dan Q = √(b² - 4ac):

x₁ × x₂ = ((-b)² - (√(b² - 4ac))²) / (2a)²

x₁ × x₂ = (b² - (b² - 4ac)) / 4a²

x₁ × x₂ = (b² - b² + 4ac) / 4a²

x₁ × x₂ = 4ac / 4a²

Sederhanakan dengan membagi 4a dari pembilang dan penyebut:

x₁ × x₂ = c / a

Penerapan Sifat-sifat Akar

Sifat-sifat ini memiliki banyak kegunaan praktis:

Contoh 11 (Menemukan Jumlah dan Hasil Kali): Diketahui persamaan kuadrat 5x² + 15x - 20 = 0. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jumlah dan hasil kali akar-akarnya.

Dari persamaan, identifikasi koefisien: a = 5, b = 15, c = -20.

  • Jumlah akar (x₁ + x₂): x₁ + x₂ = -b / a = -15 / 5 = -3.
  • Hasil kali akar (x₁ × x₂): x₁ × x₂ = c / a = -20 / 5 = -4.
Dengan cepat kita mengetahui bahwa jika persamaan ini memiliki akar real, jumlahnya adalah -3 dan hasil kalinya adalah -4.

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Sifat-sifat akar juga sangat berguna untuk menyusun persamaan kuadrat baru jika kita mengetahui akar-akarnya. Ada dua cara utama:

a. Menggunakan Rumus Faktorisasi

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat, maka persamaan tersebut haruslah habis dibagi oleh (x - x₁) dan (x - x₂). Oleh karena itu, persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk:

(x - x₁)(x - x₂) = 0

Setelah ini, Anda cukup menjabarkan dan menyederhanakan ekspresi tersebut.

Contoh 12: Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 3 dan -7.

Misalkan x₁ = 3 dan x₂ = -7.

Gunakan rumus faktorisasi:

(x - x₁)(x - x₂) = 0

(x - 3)(x - (-7)) = 0

(x - 3)(x + 7) = 0

Jabarkan hasil kali binomial:

x(x + 7) - 3(x + 7) = 0

x² + 7x - 3x - 21 = 0

Sederhanakan:

x² + 4x - 21 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -7.

b. Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

Metode ini langsung menggunakan sifat-sifat akar. Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat, maka persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk:

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ × x₂) = 0

Ini adalah bentuk umum jika a = 1. Jika a bukan 1, maka seluruh persamaan dapat dikalikan dengan a. Metode ini sangat efisien, terutama ketika akar-akar melibatkan ekspresi yang lebih kompleks.

Contoh 13: Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 3 dan -7 (menggunakan metode ini).

Misalkan x₁ = 3 dan x₂ = -7.

  • Hitung jumlah akar: x₁ + x₂ = 3 + (-7) = -4.
  • Hitung hasil kali akar: x₁ × x₂ = 3 × (-7) = -21.

Substitusikan nilai jumlah dan hasil kali ke dalam rumus:

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ × x₂) = 0

x² - (-4)x + (-21) = 0

x² + 4x - 21 = 0

Hasilnya sama persis dengan metode sebelumnya, tetapi seringkali lebih cepat karena menghindari perkalian binomial.
Contoh 14 (Aplikasi Lanjutan Sifat Akar): Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan x² - 5x + 3 = 0, carilah nilai dari (x₁ + 1)(x₂ + 1) tanpa menemukan x₁ dan x₂ terlebih dahulu.

Dari persamaan, a = 1, b = -5, c = 3.

  • Jumlah akar: x₁ + x₂ = -b / a = -(-5) / 1 = 5.
  • Hasil kali akar: x₁ × x₂ = c / a = 3 / 1 = 3.

Sekarang, jabarkan ekspresi yang diminta:

(x₁ + 1)(x₂ + 1) = x₁x₂ + x₁ + x₂ + 1

Substitusikan nilai jumlah dan hasil kali akar yang sudah kita temukan:

(x₁ + 1)(x₂ + 1) = (3) + (5) + 1

(x₁ + 1)(x₂ + 1) = 9

Ini menunjukkan betapa kuatnya sifat-sifat akar dalam menyelesaikan masalah yang tampak rumit secara efisien, tanpa harus menghadapi bilangan irasional atau perhitungan yang panjang jika akar-akarnya sendiri tidak "rapi".

Aplikasi Persamaan Kuadrat dalam Kehidupan Nyata

Persamaan kuadrat bukan sekadar latihan teoritis dalam buku teks matematika; ia adalah alat pemodelan yang sangat kuat yang ditemukan di berbagai bidang ilmu pengetahuan, teknik, ekonomi, dan bahkan seni. Kemampuannya untuk menggambarkan hubungan non-linear, terutama yang melibatkan kuadrat dari suatu variabel, menjadikannya fundamental untuk memahami dan memecahkan banyak masalah dunia nyata.

1. Fisika dan Rekayasa

Salah satu bidang di mana persamaan kuadrat muncul paling sering adalah fisika, khususnya dalam studi gerak. Ketika sebuah objek dilemparkan atau diluncurkan, lintasannya seringkali membentuk parabola, yang secara matematis dijelaskan oleh fungsi kuadrat.

Contoh 15 (Fisika - Gerak Proyektil): Sebuah meriam menembakkan proyektil dengan lintasan yang dapat dimodelkan oleh fungsi ketinggian h(t) = -2t² + 16t, di mana h(t) adalah ketinggian dalam meter dan t adalah waktu dalam detik. Kapan proyektil akan kembali menyentuh tanah?

Ketika proyektil menyentuh tanah, ketinggiannya adalah nol, yaitu h(t) = 0.

0 = -2t² + 16t

Ini adalah persamaan kuadrat. Kita bisa menyelesaikannya dengan pemfaktoran:

0 = -2t(t - 8)

Atur setiap faktor sama dengan nol:

  • -2t = 0 → t = 0 (Ini adalah saat proyektil mulai ditembakkan)
  • t - 8 = 0 → t = 8

Jadi, proyektil akan kembali menyentuh tanah setelah 8 detik.

Contoh 16 (Fisika - Ketinggian Spesifik): Seorang pemain basket melempar bola ke keranjang. Ketinggian bola (dalam meter) pada waktu t (dalam detik) diberikan oleh h(t) = -5t² + 10t + 2. Setelah berapa lama bola akan mencapai ketinggian 6 meter?

Kita ingin mencari t ketika h(t) = 6.

6 = -5t² + 10t + 2

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan bentuk standar ax² + bx + c = 0:

5t² - 10t + 6 - 2 = 0

5t² - 10t + 4 = 0

Gunakan rumus ABC karena pemfaktoran mungkin sulit: a = 5, b = -10, c = 4.

t = [-(-10) ± √((-10)² - 4 × 5 × 4)] / (2 × 5)

t = [10 ± √(100 - 80)] / 10

t = [10 ± √20] / 10

t = [10 ± 2√5] / 10

Sederhanakan:

t = 1 ± (√5 / 5)

Sekarang hitung dua nilai untuk t:

  • t₁ = 1 + (√5 / 5) ≈ 1 + 0.447 = 1.447 detik
  • t₂ = 1 - (√5 / 5) ≈ 1 - 0.447 = 0.553 detik

Ini berarti bola mencapai ketinggian 6 meter dua kali: sekali saat naik (sekitar 0.553 detik) dan sekali lagi saat turun (sekitar 1.447 detik).

2. Ekonomi dan Bisnis

Dalam dunia bisnis dan ekonomi, persamaan kuadrat digunakan untuk memodelkan hubungan antara harga, biaya, pendapatan, dan keuntungan, serta untuk membantu dalam pengambilan keputusan strategis.

Contoh 17 (Ekonomi - Titik Impas): Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang. Fungsi pendapatan mereka adalah R(x) = 150x - x² dan fungsi biaya total adalah C(x) = 30x + 1800. Tentukan jumlah unit barang yang harus diproduksi agar perusahaan mencapai titik impas (pendapatan = biaya).

Setel R(x) = C(x):

150x - x² = 30x + 1800

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat standar:

0 = x² + 30x - 150x + 1800

x² - 120x + 1800 = 0

Gunakan rumus ABC: a = 1, b = -120, c = 1800.

x = [-(-120) ± √((-120)² - 4 × 1 × 1800)] / (2 × 1)

x = [120 ± √(14400 - 7200)] / 2

x = [120 ± √7200] / 2

Kita tahu √7200 = √(3600 × 2) = 60√2.

x = [120 ± 60√2] / 2

Sederhanakan:

x = 60 ± 30√2

Hitung dua nilai x (jumlah unit harus positif):

  • x₁ = 60 + 30√2 ≈ 60 + 30(1.414) = 60 + 42.42 = 102.42
  • x₂ = 60 - 30√2 ≈ 60 - 42.42 = 17.58

Karena unit barang harus berupa bilangan bulat, perusahaan akan mencapai titik impas jika memproduksi sekitar 18 unit atau 102 unit barang.

3. Geometri dan Matematika Lainnya

Persamaan kuadrat juga sering muncul dalam masalah geometri yang melibatkan luas, keliling, atau dimensi objek, serta dalam konsep matematika yang lebih abstrak.

Contoh 18 (Geometri): Sebuah taman berbentuk persegi panjang memiliki luas 240 m². Jika panjang taman adalah 8 meter lebih panjang dari lebarnya, tentukan dimensi (panjang dan lebar) taman tersebut.

Misalkan lebar taman adalah l meter. Maka, panjang taman adalah p = l + 8 meter.

Rumus luas persegi panjang adalah Luas = panjang × lebar.

240 = (l + 8) × l

Jabarkan:

240 = l² + 8l

Pindahkan 240 ke sisi kanan untuk mendapatkan bentuk standar:

l² + 8l - 240 = 0

Kita bisa mencoba pemfaktoran. Cari dua bilangan yang jika dikalikan -240 dan jika dijumlahkan 8. Bilangan-bilangan tersebut adalah 20 dan -12 (karena 20 × -12 = -240 dan 20 - 12 = 8).

(l + 20)(l - 12) = 0

Atur setiap faktor sama dengan nol:

  • l + 20 = 0 → l = -20 (Nilai ini tidak mungkin, karena lebar tidak bisa negatif)
  • l - 12 = 0 → l = 12

Jadi, lebar taman adalah 12 meter.

Panjang taman adalah p = l + 8 = 12 + 8 = 20 meter.

Dimensi taman tersebut adalah panjang 20 meter dan lebar 12 meter.

Contoh 19 (Geometri - Luas dan Keliling): Suatu taman berbentuk persegi panjang akan dipagari dengan kawat sepanjang 60 meter. Jika luas taman yang diinginkan adalah 200 m², berapa dimensi taman tersebut?

Misalkan panjang taman adalah p dan lebar taman adalah l.

Keliling (panjang kawat) adalah 2p + 2l = 60. Bagi dengan 2: p + l = 30 → l = 30 - p.

Luas taman adalah p × l = 200.

Substitusikan l = 30 - p ke dalam persamaan luas:

p × (30 - p) = 200

Jabarkan:

30p - p² = 200

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan bentuk standar:

p² - 30p + 200 = 0

Selesaikan dengan pemfaktoran. Cari dua bilangan yang jika dikalikan 200 dan jika dijumlahkan -30. Bilangan-bilangan tersebut adalah -10 dan -20.

(p - 10)(p - 20) = 0

Atur setiap faktor sama dengan nol:

  • p - 10 = 0 → p₁ = 10
  • p - 20 = 0 → p₂ = 20

Jika p = 10, maka l = 30 - 10 = 20.

Jika p = 20, maka l = 30 - 20 = 10.

Dalam kedua kasus, dimensi taman adalah 10 meter kali 20 meter.

Kesalahan Umum dan Tips dalam Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Meskipun persamaan kuadrat adalah salah satu topik yang paling sering diajarkan dalam matematika, ada beberapa kesalahan umum yang sering dilakukan oleh pelajar. Menyadari perangkap ini dan mengikuti beberapa tips praktis dapat secara signifikan meningkatkan akurasi dan efisiensi Anda dalam menyelesaikan persamaan kuadrat.

Kesalahan Umum yang Sering Terjadi:

  1. Tidak Memastikan Bentuk Standar ax² + bx + c = 0: Ini adalah kesalahan fundamental. Banyak siswa mencoba memfaktorkan atau menerapkan rumus ABC ketika persamaan belum diatur agar satu sisi sama dengan nol. Pastikan semua suku berada di satu sisi, dan sisi lainnya adalah nol, sebelum memulai metode penyelesaian apa pun. Misalnya, jika Anda memiliki x² + 5x = -6, jangan langsung memfaktorkan; ubah dulu menjadi x² + 5x + 6 = 0.
  2. Kesalahan Tanda Negatif: Kesalahan tanda adalah biang keladi dari banyak jawaban yang salah. Ini terjadi di berbagai tempat:
    • Mengabaikan tanda negatif pada b saat menghitung -b di rumus ABC.
    • Salah menghitung b²; ingat, kuadrat dari bilangan negatif selalu positif (misalnya, (-5)² = 25, bukan -25).
    • Salah tanda saat menghitung -4ac, terutama jika a atau c (atau keduanya) negatif.
    • Kesalahan saat mendistribusikan faktor negatif dalam pemfaktoran.
  3. Kesalahan Penghitungan Diskriminan (b² - 4ac): Ini adalah bagian paling sensitif dari rumus ABC. Hitunglah dengan sangat hati-hati. Pastikan Anda mengalikan 4 dengan a dan c terlebih dahulu sebelum melakukan pengurangan.
  4. Melupakan Tanda Plus-Minus (±) Saat Mengambil Akar Kuadrat: Ketika mengambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan (misalnya, saat melengkapkan kuadrat sempurna atau menggunakan rumus ABC), ingatlah bahwa ada dua kemungkinan akar: positif dan negatif. Jika Anda memiliki x² = 9, solusinya adalah x = ±3 (yaitu, x = 3 dan x = -3), bukan hanya x = 3.
  5. Membagi dengan Variabel: Jangan pernah membagi kedua sisi persamaan dengan variabel x (atau ekspresi yang mengandung x) kecuali Anda yakin x ≠ 0. Melakukan hal ini dapat menyebabkan Anda kehilangan salah satu solusi. Contoh: Jika Anda memiliki x² + 2x = 0 dan Anda membagi dengan x, Anda mendapatkan x + 2 = 0, yang memberi x = -2. Anda kehilangan solusi x = 0. Solusi yang benar adalah dengan memfaktorkan: x(x + 2) = 0, yang menghasilkan x = 0 atau x = -2.
  6. Kesalahan Aljabar Dasar: Kesalahan dalam penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian sederhana dapat merusak seluruh penyelesaian. Ini termasuk kesalahan saat menjabarkan ekspresi atau mengelompokkan suku.

Tips untuk Kesuksesan dalam Menyelesaikan Persamaan Kuadrat:

  1. Selalu Mulai dengan Bentuk Standar: Jadikan ini kebiasaan pertama Anda. Pindahkan semua suku ke satu sisi persamaan sehingga ax² + bx + c = 0.
  2. Identifikasi a, b, c dengan Jelas: Sebelum memulai metode apa pun, tuliskan nilai-nilai a, b, dan c (termasuk tanda-tandanya) di samping persamaan Anda. Ini meminimalkan kesalahan identifikasi.
  3. Hitung Diskriminan Terlebih Dahulu (untuk Rumus ABC): Jika Anda menggunakan rumus ABC, menghitung D = b² - 4ac sebagai langkah pertama sangat membantu. Ini tidak hanya memberi Anda nilai di bawah akar, tetapi juga memberi tahu Anda jenis akar yang Anda harapkan, yang bisa menjadi pemeriksaan cepat. Jika D negatif, Anda tahu tidak ada akar real.
  4. Gunakan Pemfaktoran Jika Mudah: Jika persamaan kuadratnya sederhana (terutama jika a = 1 dan konstantanya memiliki faktor yang jelas), pemfaktoran adalah metode tercepat. Jangan ragu untuk mencobanya terlebih dahulu.
  5. Pelajari Melengkapkan Kuadrat Sempurna: Meskipun terkadang lebih panjang, metode ini melatih keterampilan aljabar yang esensial dan merupakan dasar di balik rumus ABC. Pemahaman mendalam tentang metode ini akan meningkatkan pemahaman aljabar Anda secara keseluruhan.
  6. Rumus ABC adalah Jaring Pengaman Anda: Jika Anda kesulitan memfaktorkan, atau jika persamaannya melibatkan bilangan desimal/pecahan yang rumit, rumus ABC adalah pilihan yang paling dapat diandalkan. Ia selalu bekerja.
  7. Periksa Jawaban Anda: Setelah Anda menemukan akar-akar, substitusikan kembali setiap akar ke dalam persamaan asli ax² + bx + c = 0. Jika sisi kiri menjadi nol, akar Anda benar. Ini adalah langkah validasi yang sangat penting.
  8. Sederhanakan Akar Kuadrat: Jika Anda mendapatkan akar kuadrat yang tidak sempurna (misalnya √20), pastikan untuk menyederhanakannya (misalnya 2√5) untuk memberikan jawaban dalam bentuk paling sederhana.
  9. Gunakan Kalkulator dengan Bijak: Kalkulator berguna untuk perhitungan numerik, tetapi pastikan Anda memahami langkah-langkah aljabar yang terlibat. Jangan biarkan kalkulator menggantikan pemahaman konseptual Anda.

Dengan menerapkan tips ini dan melakukan latihan yang konsisten, Anda akan membangun kepercayaan diri dan kemahiran dalam menyelesaikan berbagai jenis persamaan kuadrat.

Latihan Soal dan Pembahasan

Bagian ini dirancang untuk menguji dan memperkuat pemahaman Anda tentang metode penyelesaian persamaan kuadrat yang telah kita bahas. Cobalah selesaikan setiap soal terlebih dahulu, kemudian bandingkan jawaban dan langkah-langkah Anda dengan pembahasan yang diberikan. Ingat, proses berpikir dan langkah-langkah yang benar sama pentingnya dengan jawaban akhir.

Soal Latihan 1 (Pemfaktoran, a=1):

Selesaikan persamaan x² - 9x + 14 = 0 menggunakan metode pemfaktoran.

Pembahasan Soal 1:
  1. Bentuk Standar: Persamaan sudah dalam bentuk standar x² - 9x + 14 = 0.
  2. Identifikasi Koefisien: a=1, b=-9, c=14.
  3. Cari Dua Bilangan: Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan c = 14 dan jika dijumlahkan menghasilkan b = -9. Faktor-faktor dari 14: (1, 14), (2, 7), (-1, -14), (-2, -7). Pasangan (-2, -7) memenuhi kriteria: (-2) × (-7) = 14 dan (-2) + (-7) = -9.
  4. Faktorkan Persamaan: (x - 2)(x - 7) = 0.
  5. Tentukan Akar-akar:
    • x - 2 = 0 → x₁ = 2
    • x - 7 = 0 → x₂ = 7
Jadi, akar-akar persamaan x² - 9x + 14 = 0 adalah x = 2 dan x = 7.

Soal Latihan 2 (Pemfaktoran, a ≠ 1):

Selesaikan persamaan 4x² + 8x - 5 = 0 menggunakan metode pemfaktoran.

Pembahasan Soal 2:
  1. Bentuk Standar: Persamaan sudah dalam bentuk standar 4x² + 8x - 5 = 0.
  2. Identifikasi Koefisien: a=4, b=8, c=-5.
  3. Hitung Produk AC: a × c = 4 × (-5) = -20.
  4. Cari Dua Bilangan: Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -20 dan jika dijumlahkan menghasilkan b = 8. Pasangan bilangan tersebut adalah 10 dan -2 (karena 10 × -2 = -20 dan 10 + (-2) = 8).
  5. Tulis Ulang Suku Tengah: Ganti 8x dengan 10x - 2x. 4x² + 10x - 2x - 5 = 0.
  6. Faktorkan dengan Pengelompokan:
    • Kelompok pertama: 4x² + 10x = 2x(2x + 5).
    • Kelompok kedua: -2x - 5 = -1(2x + 5).
    • Persamaan menjadi: 2x(2x + 5) - 1(2x + 5) = 0.
  7. Faktorkan Binomial Umum: (2x - 1)(2x + 5) = 0.
  8. Tentukan Akar-akar:
    • 2x - 1 = 0 → 2x = 1 → x₁ = 1/2
    • 2x + 5 = 0 → 2x = -5 → x₂ = -5/2
Jadi, akar-akar persamaan 4x² + 8x - 5 = 0 adalah x = 1/2 dan x = -5/2.

Soal Latihan 3 (Melengkapkan Kuadrat Sempurna):

Selesaikan persamaan x² + 10x - 24 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

Pembahasan Soal 3:
  1. Bentuk Standar & Koefisien a=1: Persamaan sudah dalam bentuk standar x² + 10x - 24 = 0 dan a=1.
  2. Pindahkan Konstanta: x² + 10x = 24.
  3. Lengkapkan Kuadrat Sempurna: Koefisien x adalah b = 10. Hitung (b/2)² = (10/2)² = 5² = 25. Tambahkan 25 ke kedua sisi: x² + 10x + 25 = 24 + 25 x² + 10x + 25 = 49.
  4. Faktorkan Sisi Kiri: (x + 5)² = 49.
  5. Ambil Akar Kuadrat: x + 5 = ±√49 x + 5 = ±7.
  6. Selesaikan untuk x:
    • Untuk +7: x₁ + 5 = 7 → x₁ = 7 - 5 → x₁ = 2
    • Untuk -7: x₂ + 5 = -7 → x₂ = -7 - 5 → x₂ = -12
Jadi, akar-akar persamaan x² + 10x - 24 = 0 adalah x = 2 dan x = -12.

Soal Latihan 4 (Melengkapkan Kuadrat Sempurna, a ≠ 1):

Selesaikan persamaan 3x² - 18x + 15 = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

Pembahasan Soal 4:
  1. Bentuk Standar: Persamaan sudah dalam bentuk standar 3x² - 18x + 15 = 0.
  2. Pastikan a=1: Bagi seluruh persamaan dengan a = 3. (3x² / 3) - (18x / 3) + (15 / 3) = 0 / 3 x² - 6x + 5 = 0. Sekarang koefisien x adalah b = -6, dan konstanta adalah c = 5.
  3. Pindahkan Konstanta: x² - 6x = -5.
  4. Lengkapkan Kuadrat Sempurna: Koefisien x adalah b = -6. Hitung (b/2)² = (-6/2)² = (-3)² = 9. Tambahkan 9 ke kedua sisi: x² - 6x + 9 = -5 + 9 x² - 6x + 9 = 4.
  5. Faktorkan Sisi Kiri: (x - 3)² = 4.
  6. Ambil Akar Kuadrat: x - 3 = ±√4 x - 3 = ±2.
  7. Selesaikan untuk x:
    • Untuk +2: x₁ - 3 = 2 → x₁ = 2 + 3 → x₁ = 5
    • Untuk -2: x₂ - 3 = -2 → x₂ = -2 + 3 → x₂ = 1
Jadi, akar-akar persamaan 3x² - 18x + 15 = 0 adalah x = 5 dan x = 1.

Soal Latihan 5 (Rumus ABC):

Selesaikan persamaan 3x² - 5x - 2 = 0 menggunakan rumus ABC.

Pembahasan Soal 5:
  1. Bentuk Standar: Persamaan sudah dalam bentuk standar 3x² - 5x - 2 = 0.
  2. Identifikasi Koefisien: a = 3, b = -5, c = -2.
  3. Substitusikan ke Rumus ABC: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a x = [-(-5) ± √((-5)² - 4 × 3 × (-2))] / (2 × 3) x = [5 ± √(25 + 24)] / 6 x = [5 ± √49] / 6 x = [5 ± 7] / 6.
  4. Selesaikan untuk x:
    • x₁ = (5 + 7) / 6 = 12 / 6 = 2
    • x₂ = (5 - 7) / 6 = -2 / 6 = -1/3
Jadi, akar-akar persamaan 3x² - 5x - 2 = 0 adalah x = 2 dan x = -1/3.

Soal Latihan 6 (Diskriminan):

Tanpa menyelesaikan persamaan, tentukan jenis akar dari x² - 12x + 36 = 0.

Pembahasan Soal 6:
  1. Identifikasi Koefisien: a = 1, b = -12, c = 36.
  2. Hitung Diskriminan: D = b² - 4ac D = (-12)² - 4(1)(36) D = 144 - 144 D = 0.
Karena D = 0, persamaan ini memiliki dua akar real yang sama (akar kembar).

Soal Latihan 7 (Sifat Akar):

Jika m dan n adalah akar-akar dari persamaan 2x² - 8x + 6 = 0, tentukan nilai dari (m + n)² - 2mn.

Pembahasan Soal 7:
  1. Identifikasi Koefisien: a = 2, b = -8, c = 6.
  2. Hitung Jumlah dan Hasil Kali Akar:
    • Jumlah akar (m + n) = -b / a = -(-8) / 2 = 8 / 2 = 4.
    • Hasil kali akar (mn) = c / a = 6 / 2 = 3.
  3. Substitusikan ke Ekspresi yang Diminta: Ekspresi adalah (m + n)² - 2mn. Substitusikan m + n = 4 dan mn = 3: (4)² - 2(3) 16 - 6 10.
Jadi, nilai dari (m + n)² - 2mn adalah 10.

Soal Latihan 8 (Aplikasi - Geometri):

Sebuah kebun bunga berbentuk persegi panjang memiliki keliling 40 meter. Jika luas kebun bunga tersebut adalah 96 m², tentukan panjang dan lebar kebun bunga.

Pembahasan Soal 8:
  1. Definisikan Variabel: Misalkan panjang kebun adalah p meter dan lebar adalah l meter.
  2. Formulasikan Persamaan dari Keliling: Keliling = 2p + 2l = 40. Bagi dengan 2: p + l = 20. Maka, l = 20 - p.
  3. Formulasikan Persamaan dari Luas: Luas = p × l = 96.
  4. Substitusikan dan Bentuk Persamaan Kuadrat: Substitusikan l = 20 - p ke dalam persamaan luas: p(20 - p) = 96 20p - p² = 96.
  5. Atur ke Bentuk Standar: p² - 20p + 96 = 0.
  6. Selesaikan Persamaan (Pemfaktoran): Cari dua bilangan yang jika dikalikan 96 dan dijumlahkan -20. Bilangan-bilangan tersebut adalah -8 dan -12. (p - 8)(p - 12) = 0.
  7. Tentukan Akar-akar (Panjang):
    • p - 8 = 0 → p₁ = 8
    • p - 12 = 0 → p₂ = 12
  8. Tentukan Lebar yang Sesuai: Jika p = 8 meter, maka l = 20 - 8 = 12 meter. Jika p = 12 meter, maka l = 20 - 12 = 8 meter.
Jadi, dimensi kebun bunga tersebut adalah panjang 12 meter dan lebar 8 meter.

Soal Latihan 9 (Aplikasi - Usia):

Usia seorang anak sekarang adalah dua kali usia adiknya. Empat tahun yang lalu, hasil kali usia mereka adalah 48. Berapakah usia mereka sekarang?

Pembahasan Soal 9:
  1. Definisikan Variabel: Misalkan usia adik sekarang adalah x tahun. Maka, usia anak sekarang adalah 2x tahun.
  2. Usia Empat Tahun Lalu: Usia adik empat tahun lalu = x - 4 tahun. Usia anak empat tahun lalu = 2x - 4 tahun.
  3. Formulasikan Persamaan: Hasil kali usia mereka empat tahun lalu adalah 48: (x - 4)(2x - 4) = 48.
  4. Jabarkan dan Atur ke Bentuk Standar: 2x² - 4x - 8x + 16 = 48 2x² - 12x + 16 = 48 2x² - 12x + 16 - 48 = 0 2x² - 12x - 32 = 0. Bagi dengan 2 untuk menyederhanakan: x² - 6x - 16 = 0.
  5. Selesaikan Persamaan (Pemfaktoran): Cari dua bilangan yang jika dikalikan -16 dan dijumlahkan -6. Bilangan-bilangan tersebut adalah -8 dan 2. (x - 8)(x + 2) = 0.
  6. Tentukan Akar-akar:
    • x - 8 = 0 → x₁ = 8
    • x + 2 = 0 → x₂ = -2 (Usia tidak bisa negatif, jadi abaikan ini).
  7. Tentukan Usia Sekarang: Usia adik sekarang = x = 8 tahun. Usia anak sekarang = 2x = 2 × 8 = 16 tahun.
Jadi, usia adik sekarang adalah 8 tahun dan usia anak adalah 16 tahun.

Related Posts

🏠 Homepage