Persamaan Kuadrat yang Akar-Akarnya 4 dan 6: Panduan Lengkap Membangun dan Memahami

Persamaan kuadrat adalah salah satu topik fundamental dalam aljabar yang memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknik. Kemampuannya untuk memodelkan hubungan non-linear menjadikannya alat yang sangat penting dalam matematika. Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi secara mendalam bagaimana membentuk sebuah persamaan kuadrat ketika akar-akarnya diketahui. Kita akan fokus pada kasus spesifik di mana akar-akarnya adalah 4 dan 6, namun akan diperluas dengan pembahasan komprehensif mengenai konsep-konsep terkait, metode penyelesaian, sifat-sifat akar, serta aplikasi praktisnya.

Untuk memahami mengapa demikian dan bagaimana cara mencapainya, mari kita selami dunia persamaan kuadrat ini lebih dalam.

1. Dasar-Dasar Persamaan Kuadrat

Sebelum kita membentuk persamaan kuadrat dari akar-akarnya, penting untuk mengingat kembali apa itu persamaan kuadrat dan komponen-komponennya.

1.1. Definisi Persamaan Kuadrat

Sebuah persamaan disebut persamaan kuadrat jika ia dapat ditulis dalam bentuk umum:

Di mana:

• x adalah variabel yang tidak diketahui.
• a, b, dan c adalah koefisien, dengan a tidak boleh sama dengan nol (a ≠ 0).
• a adalah koefisien kuadrat (mengikuti x²).
• b adalah koefisien linear (mengikuti x).
• c adalah konstanta atau suku bebas.

Istilah "kuadrat" mengacu pada pangkat tertinggi variabel (x²), yang adalah dua.

1.2. Apa itu "Akar" atau "Solusi" Persamaan Kuadrat?

Akar-akar atau solusi dari sebuah persamaan kuadrat adalah nilai-nilai x yang membuat persamaan tersebut menjadi pernyataan yang benar (yaitu, sisi kiri sama dengan nol). Sebuah persamaan kuadrat, secara fundamental, memiliki paling banyak dua akar. Akar-akar ini bisa berupa:

• Dua akar real yang berbeda.
• Dua akar real yang sama (sering disebut akar kembar).
• Dua akar kompleks yang berbeda.

Dalam konteks masalah kita, "akar-akarnya 4 dan 6" berarti bahwa jika kita mengganti x dengan 4 atau 6 ke dalam persamaan kuadrat yang dicari, hasilnya akan menjadi nol.

2. Dua Metode Utama untuk Membentuk Persamaan Kuadrat dari Akarnya

Ada dua metode utama yang bisa kita gunakan untuk membangun persamaan kuadrat ketika akar-akarnya (misalnya, x₁ dan x₂) sudah diketahui. Kedua metode ini berasal dari sifat-sifat fundamental persamaan kuadrat.

2.1. Metode 1: Menggunakan Bentuk Faktor (Perkalian Faktor)

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat, maka persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk faktor sebagai berikut:

Konsep di balik metode ini sangat sederhana: jika sebuah produk dari dua faktor adalah nol, maka setidaknya salah satu faktor harus nol. Jadi, jika (x - x₁) = 0, maka x = x₁. Dan jika (x - x₂) = 0, maka x = x₂. Ini persis definisi akar-akar.

Penerapan Metode 1 untuk Akar 4 dan 6

Diberikan akar-akar x₁ = 4 dan x₂ = 6.

1. Substitusikan akar-akar ke dalam bentuk faktor:
   (x - 4)(x - 6) = 0
2. Perkalian Aljabar (FOIL - First, Outer, Inner, Last): Untuk mengubah bentuk faktor menjadi bentuk standar ax² + bx + c = 0, kita perlu mengalikan kedua binomial tersebut.
   • First (Pertama): x * x = x²
   • Outer (Luar): x * (-6) = -6x
   • Inner (Dalam): (-4) * x = -4x
   • Last (Terakhir): (-4) * (-6) = +24
3. Gabungkan suku-suku sejenis:
   x² - 6x - 4x + 24 = 0
   x² - 10x + 24 = 0

Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4 dan 6 adalah x² - 10x + 24 = 0.

Contoh Tambahan Penerapan Metode 1:

Contoh 1.1: Akar-akar -2 dan 5

1. Bentuk faktor: (x - (-2))(x - 5) = 0 → (x + 2)(x - 5) = 0
2. Perkalian: x * x + x * (-5) + 2 * x + 2 * (-5) = 0
3. Sederhanakan: x² - 5x + 2x - 10 = 0 → x² - 3x - 10 = 0

Contoh 1.2: Akar-akar 1/2 dan 3

1. Bentuk faktor: (x - 1/2)(x - 3) = 0
2. Perkalian: x² - 3x - (1/2)x + 3/2 = 0
3. Sederhanakan: x² - (7/2)x + 3/2 = 0
4. Untuk menghilangkan pecahan, kalikan seluruh persamaan dengan 2: 2x² - 7x + 3 = 0

2.2. Metode 2: Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar (Rumus Vieta)

Metode ini didasarkan pada hubungan antara akar-akar (x₁ dan x₂) dan koefisien (a, b, c) dari persamaan kuadrat umum ax² + bx + c = 0. Rumus ini dikenal sebagai Rumus Vieta.

Dari bentuk umum ax² + bx + c = 0, jika kita bagi seluruh persamaan dengan a (asumsi a ≠ 0), kita mendapatkan:

Menurut rumus Vieta:

• Jumlah akar-akar (Sum of Roots): x₁ + x₂ = -b/a
• Hasil kali akar-akar (Product of Roots): x₁ * x₂ = c/a

Dengan demikian, persamaan kuadrat dapat dibentuk dari jumlah dan hasil kali akarnya dalam bentuk:

Perhatikan tanda negatif di depan jumlah akar, yang sering menjadi sumber kesalahan.

Penerapan Metode 2 untuk Akar 4 dan 6

Diberikan akar-akar x₁ = 4 dan x₂ = 6.

1. Hitung Jumlah Akar:
   x₁ + x₂ = 4 + 6 = 10
2. Hitung Hasil Kali Akar:
   x₁ * x₂ = 4 * 6 = 24
3. Substitusikan ke dalam rumus umum:
   x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ * x₂) = 0
   x² - (10)x + (24) = 0
   x² - 10x + 24 = 0

Hasilnya sama persis dengan metode perkalian faktor: x² - 10x + 24 = 0.

Contoh Tambahan Penerapan Metode 2:

Contoh 2.1: Akar-akar -3 dan -7

1. Jumlah akar: x₁ + x₂ = (-3) + (-7) = -10
2. Hasil kali akar: x₁ * x₂ = (-3) * (-7) = 21
3. Persamaan: x² - (-10)x + (21) = 0 → x² + 10x + 21 = 0

Contoh 2.2: Akar-akar 2 + √3 dan 2 - √3

1. Jumlah akar: x₁ + x₂ = (2 + √3) + (2 - √3) = 4
2. Hasil kali akar: x₁ * x₂ = (2 + √3)(2 - √3) = 2² - (√3)² = 4 - 3 = 1
3. Persamaan: x² - (4)x + (1) = 0 → x² - 4x + 1 = 0

2.3. Perbandingan Kedua Metode

Kedua metode memberikan hasil yang sama dan sama-sama valid. Pilihan metode tergantung pada preferensi pribadi dan konteks soal. Metode bentuk faktor lebih intuitif dan langsung jika Anda merasa nyaman dengan perkalian binomial. Metode jumlah dan hasil kali akar (Vieta) lebih efisien jika jumlah dan hasil kali akar dapat dihitung dengan cepat, terutama untuk akar-akar yang lebih kompleks (seperti akar-akar irasional atau kompleks).

3. Mendalami Sifat-sifat Persamaan Kuadrat

Setelah kita memahami cara membentuk persamaan kuadrat, mari kita telusuri lebih jauh sifat-sifat yang terkandung di dalamnya.

3.1. Diskriminan (D)

Diskriminan adalah bagian dari rumus kuadrat yang memberikan informasi tentang jenis akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu. Diskriminan dilambangkan dengan D dan dihitung menggunakan rumus:

Untuk persamaan x² - 10x + 24 = 0, kita memiliki a = 1, b = -10, dan c = 24.

Interpretasi nilai diskriminan:

• Jika D > 0: Persamaan memiliki dua akar real yang berbeda. (Dalam kasus kita, D = 4, yang > 0. Ini berarti akar-akar 4 dan 6 adalah dua akar real yang berbeda).
• Jika D = 0: Persamaan memiliki dua akar real yang sama (akar kembar).
• Jika D < 0: Persamaan memiliki dua akar kompleks (imajiner) yang berbeda (konjugat).

3.2. Rumus Kuadrat (Rumus ABC) untuk Mencari Akar

Jika kita diberikan sebuah persamaan kuadrat dan diminta untuk mencari akar-akarnya, kita dapat menggunakan rumus kuadrat, yang sering disebut Rumus ABC:

Atau, lebih singkat, x₁,₂ = [-b ± √D] / 2a.

Mari kita verifikasi akar-akar 4 dan 6 menggunakan rumus ini untuk persamaan x² - 10x + 24 = 0 (dengan a=1, b=-10, c=24, D=4):

Maka:

• x₁ = (10 + 2) / 2 = 12 / 2 = 6
• x₂ = (10 - 2) / 2 = 8 / 2 = 4

Terbukti bahwa akar-akar dari persamaan x² - 10x + 24 = 0 memang adalah 6 dan 4 (atau 4 dan 6, urutannya tidak penting).

4. Grafik Persamaan Kuadrat: Parabola

Persamaan kuadrat bukan hanya sekadar angka; ia juga memiliki representasi visual yang indah dalam bentuk grafik. Grafik dari fungsi kuadrat (y = ax² + bx + c) adalah sebuah parabola.

Untuk persamaan y = x² - 10x + 24:

• Arah Pembukaan: Karena a = 1 (positif), parabola akan membuka ke atas.
• Titik Potong Sumbu X (Akar-akar): Ini adalah titik di mana y = 0. Sesuai dengan akar-akar yang kita ketahui, parabola akan memotong sumbu X di x = 4 dan x = 6.
• Titik Potong Sumbu Y: Ini adalah titik di mana x = 0. Jika x = 0, maka y = (0)² - 10(0) + 24 = 24. Jadi, parabola memotong sumbu Y di (0, 24).
• Sumbu Simetri: Garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Rumusnya adalah x = -b / 2a. Untuk persamaan kita: x = -(-10) / (2 * 1) = 10 / 2 = 5. Sumbu simetri berada di x = 5, tepat di tengah antara akar 4 dan 6.
• Titik Puncak (Vertex): Titik terendah (jika parabola membuka ke atas) atau tertinggi (jika parabola membuka ke bawah) pada parabola. Koordinat x dari titik puncak sama dengan sumbu simetri, yaitu x = 5. Untuk mencari koordinat y, substitusikan x = 5 ke persamaan: y = (5)² - 10(5) + 24 = 25 - 50 + 24 = -1. Jadi, titik puncaknya adalah (5, -1).

5. Variasi dan Kasus Khusus dalam Pembentukan Persamaan Kuadrat

5.1. Persamaan Kuadrat dengan Koefisien Utama (a ≠ 1)

Sejauh ini, kita asumsikan koefisien a = 1. Namun, bagaimana jika ada koefisien a yang berbeda? Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0. Jika kita hanya diberikan akar-akar x₁ dan x₂, ada banyak persamaan kuadrat yang mungkin, misalnya 2x² - 20x + 48 = 0 juga memiliki akar 4 dan 6 (cukup bagi dengan 2 dan Anda akan mendapatkan x² - 10x + 24 = 0).

Untuk secara unik menentukan koefisien a (jika bukan 1), kita memerlukan informasi tambahan, biasanya sebuah titik lain (p, q) yang dilalui oleh parabola tersebut.

Jika akar-akar adalah x₁ dan x₂, maka persamaan kuadrat dalam bentuk faktor adalah:

Untuk menemukan a, substitusikan koordinat titik (p, q) ke dalam persamaan ini dan selesaikan untuk a.

Contoh 5.1: Akar-akar 4 dan 6, serta melalui titik (3, -6)

1. Gunakan bentuk faktor dengan 'a': a(x - 4)(x - 6) = 0
2. Substitusikan titik (3, -6): (di sini x=3 dan y=-6. Ingat, persamaan kuadrat ini adalah fungsi y = a(x - x₁)(x - x₂)) -6 = a(3 - 4)(3 - 6) -6 = a(-1)(-3) -6 = 3a a = -2
3. Substitusikan nilai 'a' kembali ke bentuk faktor: -2(x - 4)(x - 6) = 0 -2(x² - 10x + 24) = 0 -2x² + 20x - 48 = 0

Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4 dan 6 dan melalui titik (3, -6) adalah -2x² + 20x - 48 = 0.

5.2. Persamaan Kuadrat dengan Akar Kembar

Jika sebuah persamaan kuadrat memiliki akar kembar, misalnya x₁ = x₂ = k, maka persamaan tersebut dapat dibentuk sebagai:

Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar:

• Jumlah akar: k + k = 2k
• Hasil kali akar: k * k = k²

Sehingga persamaan menjadi: x² - (2k)x + (k²) = 0.

Contoh 5.2: Akar kembar 5

1. Menggunakan bentuk faktor: (x - 5)(x - 5) = 0 (x - 5)² = 0 x² - 10x + 25 = 0
2. Menggunakan jumlah dan hasil kali akar: Jumlah = 5 + 5 = 10 Hasil kali = 5 * 5 = 25 Persamaan: x² - 10x + 25 = 0

5.3. Persamaan Kuadrat dengan Akar Imajiner (Kompleks)

Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah bilangan kompleks, mereka selalu muncul dalam pasangan konjugat, misalnya p + qi dan p - qi. Dalam kasus ini, metode jumlah dan hasil kali akar lebih efisien.

Contoh 5.3: Akar-akar 1 + 2i dan 1 - 2i

1. Jumlah akar: (1 + 2i) + (1 - 2i) = 1 + 1 + 2i - 2i = 2
2. Hasil kali akar: (1 + 2i)(1 - 2i) = 1² - (2i)² = 1 - (4i²) = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5
3. Persamaan: x² - (2)x + (5) = 0 x² - 2x + 5 = 0

6. Sejarah Singkat Persamaan Kuadrat

Pemahaman tentang persamaan kuadrat bukanlah penemuan tunggal, melainkan hasil akumulasi pengetahuan dari berbagai peradaban selama ribuan tahun.

• Babilonia Kuno (sekitar 2000 SM): Bukti tertulis menunjukkan bahwa bangsa Babilonia sudah mampu menyelesaikan masalah yang setara dengan persamaan kuadrat. Mereka menggunakan metode geometris dan tabel untuk menemukan solusi, meskipun tidak dalam bentuk aljabar modern. Masalah mereka seringkali berkaitan dengan pembagian lahan atau perhitungan area.
• Mesir Kuno (sekitar 1650 SM): Papirus Rhind berisi masalah-masalah yang juga menyiratkan pemahaman dasar tentang persamaan kuadrat, meskipun pendekatannya lebih ke arah coba-coba atau aturan praktis.
• India Kuno (sekitar 500 SM - 1200 M): Matematikawan India memberikan kontribusi signifikan. Brahmagupta (abad ke-7) adalah salah satu yang pertama kali menyajikan rumus umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang mencakup bilangan negatif, meskipun ia masih berjuang dengan interpretasi akar negatif. Bhaskara II (abad ke-12) kemudian memberikan penjelasan yang lebih lengkap dan sistematis.
• Yunani Kuno (sekitar 300 SM): Euclid, dalam karyanya "Elements," mengembangkan metode geometris untuk menyelesaikan beberapa jenis persamaan kuadrat. Namun, mereka cenderung menghindari bilangan irasional dan solusi negatif, membatasi lingkup penyelesaiannya.
• Dunia Islam (abad ke-9 M): Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, seorang matematikawan Persia, menulis buku "Al-Jabr w'al Muqabala" (Dari judul inilah kata "aljabar" berasal). Ia memberikan metode sistematis untuk menyelesaikan berbagai jenis persamaan kuadrat, yang ia klasifikasikan menjadi enam bentuk dasar, menggunakan metode aljabar dan geometris. Meskipun ia tidak menggunakan notasi modern dan masih tidak mengakui akar negatif, karyanya adalah tonggak penting dalam sejarah aljabar.
• Eropa Abad Pertengahan dan Renaisans (abad ke-16 M): Matematikawan seperti Gerolamo Cardano dan Niccolò Fontana Tartaglia di Italia membuat kemajuan dalam menemukan akar-akar persamaan kubik dan kuadratik. François Viète (abad ke-16), seorang matematikawan Prancis, adalah orang yang mengemukakan hubungan antara akar-akar dan koefisien suatu polinomial, yang sekarang dikenal sebagai rumus Vieta, sebuah konsep kunci yang kita gunakan hari ini.

Perjalanan dari masalah praktis sederhana hingga perumusan aljabar yang elegan menunjukkan evolusi pemikiran matematika yang panjang dan berliku, di mana persamaan kuadrat selalu menjadi salah satu fokus utamanya.

7. Aplikasi Persamaan Kuadrat dalam Kehidupan Nyata

Persamaan kuadrat bukan sekadar konsep abstrak di buku pelajaran. Ia memiliki banyak aplikasi praktis dalam berbagai disiplin ilmu:

7.1. Fisika dan Teknik

• Gerak Proyektil: Lintasan objek yang dilempar (seperti bola yang ditendang, panah yang ditembakkan, atau proyektil meriam) di bawah pengaruh gravitasi (mengabaikan hambatan udara) selalu mengikuti bentuk parabola. Persamaan kuadrat digunakan untuk menghitung ketinggian maksimum, jangkauan, atau waktu tempuh proyektil.

  Contoh: Sebuah bola ditendang dengan kecepatan awal v₀ pada sudut θ. Ketinggiannya pada waktu t dapat dimodelkan oleh h(t) = v₀t sin(θ) - (1/2)gt², di mana g adalah percepatan gravitasi. Ini adalah persamaan kuadrat dalam t.

• Jembatan Gantung dan Busur Arsitektur: Bentuk kabel pada jembatan gantung seringkali mengikuti kurva parabola. Arsitektur busur dan kubah juga sering memanfaatkan sifat-sifat parabola untuk kekuatan struktural.
• Optik dan Antena Satelit: Reflektor parabola (seperti pada antena satelit atau cermin teleskop) memiliki sifat unik di mana semua sinar cahaya atau gelombang radio yang datang sejajar dengan sumbu parabola akan memantul ke satu titik fokus. Desain ini menggunakan persamaan kuadrat.

7.2. Ekonomi dan Bisnis

• Maksimisasi Keuntungan: Dalam ekonomi, fungsi keuntungan (selisih antara pendapatan total dan biaya total) seringkali dimodelkan oleh persamaan kuadrat. Menemukan titik puncak parabola memungkinkan perusahaan untuk menentukan harga atau kuantitas produksi yang akan memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya.

  Contoh: Sebuah perusahaan menjual x unit produk. Fungsi pendapatan mungkin R(x) = ax - bx² dan fungsi biaya C(x) = cx + d. Fungsi keuntungan adalah P(x) = R(x) - C(x), yang seringkali menjadi persamaan kuadrat dalam x. Titik puncak parabola keuntungan akan memberikan jumlah unit yang harus dijual untuk mencapai keuntungan maksimum.

• Penawaran dan Permintaan: Dalam beberapa model ekonomi, kurva penawaran atau permintaan dapat memiliki bentuk kuadratik.

7.3. Matematika Lainnya dan Ilmu Komputer

• Optimisasi: Banyak masalah optimisasi, di mana Anda mencoba mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi, dapat melibatkan persamaan kuadrat. Ini relevan dalam berbagai algoritma komputasi.
• Pemrosesan Gambar dan Grafika Komputer: Kurva Bezier, yang sering digunakan dalam grafika komputer untuk menggambar bentuk halus, melibatkan polinomial, termasuk kuadratik.
• Statistika: Dalam regresi kuadratik, persamaan kuadrat digunakan untuk memodelkan hubungan non-linear antara variabel.

Dari lintasan roket hingga desain lensa dan prediksi pasar saham, persamaan kuadrat adalah tulang punggung matematis yang memungkinkan kita untuk memahami dan memanipulasi dunia di sekitar kita.

8. Latihan Soal dan Pembahasan Mendalam

Untuk memperkuat pemahaman, mari kita kerjakan beberapa soal latihan dengan pembahasan lengkap.

Latihan 8.1: Membentuk Persamaan Kuadrat

Soal: Bentuklah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah -5 dan 2/3.

Pembahasan:

Kita akan menggunakan kedua metode untuk memverifikasi hasilnya.

Metode 1: Menggunakan Bentuk Faktor

1. Akar-akar: x₁ = -5 dan x₂ = 2/3
2. Substitusikan ke bentuk faktor: (x - (-5))(x - 2/3) = 0 (x + 5)(x - 2/3) = 0
3. Kalikan faktor-faktornya: x * x + x * (-2/3) + 5 * x + 5 * (-2/3) = 0 x² - (2/3)x + 5x - 10/3 = 0
4. Gabungkan suku-suku sejenis: x² + (5 - 2/3)x - 10/3 = 0 x² + (15/3 - 2/3)x - 10/3 = 0 x² + (13/3)x - 10/3 = 0
5. Untuk menghilangkan pecahan, kalikan seluruh persamaan dengan 3: 3(x² + (13/3)x - 10/3) = 3 * 0 3x² + 13x - 10 = 0

Jadi, persamaan kuadratnya adalah 3x² + 13x - 10 = 0.

Metode 2: Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

1. Akar-akar: x₁ = -5 dan x₂ = 2/3
2. Hitung jumlah akar: Jumlah = x₁ + x₂ = -5 + 2/3 = -15/3 + 2/3 = -13/3
3. Hitung hasil kali akar: Hasil kali = x₁ * x₂ = (-5) * (2/3) = -10/3
4. Substitusikan ke rumus x² - (Jumlah)x + (Hasil kali) = 0: x² - (-13/3)x + (-10/3) = 0 x² + (13/3)x - 10/3 = 0
5. Kalikan seluruh persamaan dengan 3 untuk menghilangkan pecahan: 3x² + 13x - 10 = 0

Kedua metode memberikan hasil yang sama, yaitu 3x² + 13x - 10 = 0.

Latihan 8.2: Menemukan Akar dari Persamaan Kuadrat

Soal: Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat 2x² - 5x - 3 = 0.

Pembahasan:

Kita akan mencoba metode faktorisasi terlebih dahulu, jika memungkinkan, lalu metode rumus kuadrat.

Metode 1: Faktorisasi

Persamaan: 2x² - 5x - 3 = 0

Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya a * c = 2 * (-3) = -6 dan jika dijumlahkan hasilnya b = -5. Bilangan-bilangan tersebut adalah -6 dan 1 (karena -6 * 1 = -6 dan -6 + 1 = -5).

Kita pecah suku tengah -5x menjadi -6x + 1x:

Kelompokkan dan faktorkan:

Untuk menemukan akar-akar, atur setiap faktor sama dengan nol:

• 2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x₁ = -1/2
• x - 3 = 0 → x₂ = 3

Jadi, akar-akarnya adalah -1/2 dan 3.

Metode 2: Menggunakan Rumus Kuadrat (Rumus ABC)

Persamaan: 2x² - 5x - 3 = 0. Di sini, a = 2, b = -5, c = -3.

Hitung Diskriminan terlebih dahulu:

Karena D = 49 > 0, kita tahu bahwa akan ada dua akar real yang berbeda.

Gunakan Rumus ABC:

Maka:

• x₁ = (5 + 7) / 4 = 12 / 4 = 3
• x₂ = (5 - 7) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Kedua metode mengkonfirmasi bahwa akar-akar persamaan 2x² - 5x - 3 = 0 adalah 3 dan -1/2.

Latihan 8.3: Aplikasi Persamaan Kuadrat

Soal: Sebuah proyektil diluncurkan ke atas dengan ketinggian h (dalam meter) pada waktu t (dalam detik) diberikan oleh fungsi h(t) = 40t - 5t². Berapa lama waktu yang dibutuhkan proyektil untuk mencapai tanah kembali?

Pembahasan:

Ketika proyektil mencapai tanah kembali, ketinggiannya adalah nol (h(t) = 0).

Jadi, kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat:

Ini adalah persamaan kuadrat dengan a = -5, b = 40, dan c = 0.

Metode 1: Faktorisasi

Kita bisa memfaktorkan 5t dari kedua suku:

Atur setiap faktor sama dengan nol:

• 5t = 0 → t₁ = 0 (Ini adalah waktu saat proyektil diluncurkan dari tanah)
• 8 - t = 0 → t₂ = 8

Jadi, proyektil mencapai tanah kembali setelah 8 detik.

Metode 2: Menggunakan Rumus Kuadrat

a = -5, b = 40, c = 0.

Hitung Diskriminan:

Gunakan Rumus ABC:

Maka:

• t₁ = (-40 + 40) / -10 = 0 / -10 = 0
• t₂ = (-40 - 40) / -10 = -80 / -10 = 8

Kedua solusi valid secara matematis. t=0 mewakili saat proyektil berada di tanah pada awal peluncuran. t=8 mewakili saat proyektil kembali ke tanah setelah diluncurkan.

Maka, waktu yang dibutuhkan proyektil untuk mencapai tanah kembali adalah 8 detik.

Kesimpulan

Melalui pembahasan mendalam ini, kita telah melihat bahwa persamaan kuadrat yang akar-akarnya 4 dan 6 adalah x² - 10x + 24 = 0. Kita mencapainya dengan dua metode utama: menggunakan bentuk faktor (perkalian binomial) dan menggunakan rumus jumlah serta hasil kali akar (rumus Vieta). Kedua metode ini adalah alat yang ampuh dalam aljabar dan memberikan hasil yang konsisten.

Pemahaman tentang persamaan kuadrat melampaui sekadar menemukan solusinya. Ini melibatkan apresiasi terhadap struktur matematisnya, kemampuannya untuk memodelkan fenomena dunia nyata (dari fisika proyektil hingga ekonomi), dan representasi grafisnya sebagai parabola yang elegan. Dengan menguasai konsep-konsep ini, kita dapat membuka pintu untuk memahami lebih banyak lagi masalah matematika dan ilmiah yang kompleks.

Persamaan kuadrat, dengan sejarahnya yang kaya dan aplikasinya yang tak terhingga, tetap menjadi salah satu pilar utama matematika, esensial untuk siapa pun yang ingin memahami dunia dengan lensa kuantitatif.