Memahami Pertidaksamaan Kuadrat: Konsep, Metode Penyelesaian, dan Aplikasi

1. Pengantar Pertidaksamaan Kuadrat

Dalam matematika, kita mengenal dua jenis ekspresi utama: persamaan dan pertidaksamaan. Persamaan menyatakan kesetaraan antara dua ekspresi, biasanya ditandai dengan tanda sama dengan (=). Misalnya, x^2 - 5x + 6 = 0 adalah persamaan kuadrat. Sebaliknya, pertidaksamaan menyatakan hubungan ketidaksetaraan antara dua ekspresi, menggunakan tanda-tanda seperti kurang dari (<), lebih dari (>), kurang dari atau sama dengan (≤), atau lebih dari atau sama dengan (≥).

1.1. Apa Itu Fungsi Kuadrat dan Persamaan Kuadrat?

Sebelum melangkah lebih jauh ke pertidaksamaan kuadrat, penting untuk merefresh pemahaman kita tentang fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat. Fungsi kuadrat adalah fungsi yang memiliki bentuk umum f(x) = ax^2 + bx + c, di mana a, b, dan c adalah konstanta riil, dengan syarat a ≠ 0. Grafik dari fungsi kuadrat ini selalu berbentuk parabola.

Jika kita mengatur fungsi kuadrat menjadi nol, kita akan mendapatkan persamaan kuadrat: ax^2 + bx + c = 0. Solusi atau akar-akar dari persamaan kuadrat ini adalah nilai-nilai x yang membuat persamaan menjadi benar, yaitu titik-titik di mana grafik parabola memotong sumbu-x.

1.2. Definisi Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang mengandung variabel dengan pangkat tertinggi dua (kuadrat) dan tidak mengandung variabel lain dengan pangkat lebih tinggi dari dua. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

• ax^2 + bx + c > 0
• ax^2 + bx + c < 0
• ax^2 + bx + c ≥ 0
• ax^2 + bx + c ≤ 0

Di mana a, b, dan c adalah bilangan riil, dan a ≠ 0. Tujuan utama dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah untuk menemukan semua nilai x yang memenuhi ketidaksetaraan yang diberikan. Himpunan semua nilai x ini disebut sebagai himpunan penyelesaian.

1.3. Mengapa Pertidaksamaan Kuadrat Penting?

Pertidaksamaan kuadrat bukan sekadar latihan matematis abstrak. Konsep ini memiliki relevansi tinggi dalam berbagai disiplin ilmu:

• Fisika: Dalam kinematika, pertidaksamaan kuadrat dapat digunakan untuk menentukan rentang waktu di mana suatu objek berada di atas ketinggian tertentu dalam gerak parabola. Misalnya, menentukan kapan sebuah proyektil berada di udara atau kapan kecepatannya melebihi batas tertentu.
• Ekonomi dan Bisnis: Pengusaha mungkin menggunakan pertidaksamaan kuadrat untuk menentukan rentang produksi yang menghasilkan keuntungan positif (pendapatan melebihi biaya) atau kapan harga jual harus ditetapkan agar permintaan tetap stabil.
• Teknik: Dalam desain struktur atau sistem, pertidaksamaan kuadrat dapat membantu memastikan bahwa suatu parameter (misalnya tegangan, tekanan) tetap dalam batas aman yang diizinkan.
• Geometri dan Optimasi: Menemukan daerah di mana suatu luas atau volume memenuhi kriteria tertentu.
• Ilmu Komputer: Beberapa algoritma melibatkan kondisi yang dapat diformulasikan sebagai pertidaksamaan kuadrat.

Dengan demikian, menguasai pertidaksamaan kuadrat tidak hanya memperkuat dasar aljabar tetapi juga membuka pintu untuk pemecahan masalah yang lebih kompleks di dunia nyata.

2. Metode Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat. Tiga metode yang paling umum dan efektif adalah metode garis bilangan, metode grafik, dan metode tabel tanda. Masing-masing memiliki kelebihan dan bisa dipilih tergantung pada preferensi dan konteks masalah.

2.1. Metode Garis Bilangan

Metode garis bilangan adalah pendekatan yang paling sering diajarkan dan sangat visual. Ini melibatkan penentuan akar-akar persamaan kuadrat terkait dan pengujian tanda pada interval-interval yang dibentuk oleh akar-akar tersebut pada garis bilangan.

Langkah-langkah Metode Garis Bilangan:

1. Ubah ke Bentuk Baku: Pastikan pertidaksamaan berada dalam salah satu bentuk standar (ax^2 + bx + c > 0, < 0, ≥ 0, atau ≤ 0). Jika perlu, pindahkan semua suku ke satu sisi sehingga sisi lainnya adalah nol. Pastikan koefisien a positif untuk memudahkan analisis tanda; jika a negatif, kalikan seluruh pertidaksamaan dengan -1 dan balikkan tanda pertidaksamaan.
2. Cari Akar-akar Persamaan Kuadrat: Temukan nilai-nilai x yang membuat ekspresi kuadrat menjadi nol. Ini adalah akar-akar dari persamaan ax^2 + bx + c = 0. Akar-akar ini bisa ditemukan dengan faktorisasi, rumus kuadrat (x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a), atau melengkapi kuadrat. Nilai-nilai ini disebut sebagai pembuat nol fungsi kuadrat.
3. Gambar Garis Bilangan: Buat sebuah garis bilangan dan tandai posisi akar-akar yang telah ditemukan. Akar-akar ini akan membagi garis bilangan menjadi beberapa interval.
4. Uji Titik pada Setiap Interval: Pilih satu nilai uji (test point) dari setiap interval yang terbentuk pada garis bilangan. Substitusikan nilai uji tersebut ke dalam ekspresi kuadrat ax^2 + bx + c dan tentukan tanda (positif atau negatif) dari hasilnya.
5. Tentukan Daerah Penyelesaian: Berdasarkan tanda yang diinginkan dalam pertidaksamaan asli (apakah > 0, < 0, dll.), tentukan interval mana yang memenuhi kondisi tersebut.
6. Tulis Himpunan Penyelesaian: Nyatakan himpunan penyelesaian dalam notasi interval atau notasi himpunan. Perhatikan apakah tanda pertidaksamaan adalah tegas (<, >) yang berarti titik akar tidak termasuk (gunakan kurung buka ( )), atau tidak tegas (≤, ≥) yang berarti titik akar termasuk (gunakan kurung siku [ ]).

Contoh Soal 2.1.1: Pertidaksamaan Sederhana

Selesaikan pertidaksamaan x^2 - 5x + 6 > 0.

Penyelesaian:

1. Bentuk Baku: Pertidaksamaan sudah dalam bentuk baku x^2 - 5x + 6 > 0. Koefisien a = 1 (positif).
2. Cari Akar-akar: Faktorkan persamaan x^2 - 5x + 6 = 0.

   (x - 2)(x - 3) = 0

   Maka, akar-akarnya adalah x = 2 dan x = 3.
3. Gambar Garis Bilangan:
   Garis bilangan terbagi menjadi tiga interval: (-∞, 2), (2, 3), dan (3, ∞).
4. Uji Titik:
   • Interval x < 2 (misal x = 0):

     (0)^2 - 5(0) + 6 = 6

     Hasilnya positif (+).
   • Interval 2 < x < 3 (misal x = 2.5):

     (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25

     Hasilnya negatif (-).
   • Interval x > 3 (misal x = 4):

     (4)^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2

     Hasilnya positif (+).
5. Tentukan Daerah Penyelesaian: Karena pertidaksamaan yang dicari adalah > 0 (positif), maka kita pilih interval yang menghasilkan tanda positif.
   Daerah positif adalah x < 2 atau x > 3.
6. Himpunan Penyelesaian: {x | x < 2 atau x > 3, x ∈ R} atau dalam notasi interval (-∞, 2) ∪ (3, ∞).

Contoh Soal 2.1.2: Pertidaksamaan dengan Koefisien Negatif

Selesaikan pertidaksamaan -x^2 + 2x + 8 ≥ 0.

Penyelesaian:

1. Bentuk Baku: Koefisien a = -1 (negatif). Kita kalikan seluruh pertidaksamaan dengan -1 dan balikkan tanda ketidaksetaraan:

   (-1)(-x^2 + 2x + 8) ≤ (-1)(0)
   x^2 - 2x - 8 ≤ 0

   Sekarang kita akan menyelesaikan x^2 - 2x - 8 ≤ 0.
2. Cari Akar-akar: Faktorkan persamaan x^2 - 2x - 8 = 0.

   (x - 4)(x + 2) = 0

   Maka, akar-akarnya adalah x = 4 dan x = -2.
3. Gambar Garis Bilangan: Tandai -2 dan 4 pada garis bilangan. Garis bilangan terbagi menjadi: (-∞, -2), (-2, 4), dan (4, ∞).
4. Uji Titik: Kita uji pada ekspresi x^2 - 2x - 8.
   • Interval x < -2 (misal x = -3):

     (-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7

     Hasilnya positif (+).
   • Interval -2 < x < 4 (misal x = 0):

     (0)^2 - 2(0) - 8 = -8

     Hasilnya negatif (-).
   • Interval x > 4 (misal x = 5):

     (5)^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7

     Hasilnya positif (+).
5. Tentukan Daerah Penyelesaian: Karena pertidaksamaan yang kita kerjakan adalah x^2 - 2x - 8 ≤ 0 (negatif atau nol), maka kita pilih interval yang menghasilkan tanda negatif, dan karena ada tanda "sama dengan", titik akar juga termasuk. Daerah negatif adalah -2 ≤ x ≤ 4.
6. Himpunan Penyelesaian: {x | -2 ≤ x ≤ 4, x ∈ R} atau dalam notasi interval [-2, 4].

2.2. Metode Grafik

Metode grafik adalah cara yang sangat intuitif untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan memanfaatkan bentuk parabola dari fungsi kuadrat. Dengan menggambarkan sketsa grafik y = ax^2 + bx + c, kita dapat dengan mudah melihat di mana nilai y (hasil ekspresi kuadrat) positif, negatif, atau nol.

Langkah-langkah Metode Grafik:

1. Ubah ke Bentuk Fungsi: Ubah pertidaksamaan menjadi fungsi y = ax^2 + bx + c.
2. Tentukan Arah Parabola:
   • Jika a > 0, parabola terbuka ke atas.
   • Jika a < 0, parabola terbuka ke bawah.
3. Cari Akar-akar (Pembuat Nol): Temukan nilai x yang membuat y = 0, yaitu akar-akar dari ax^2 + bx + c = 0. Ini adalah titik potong parabola dengan sumbu-x.
4. Sketsa Grafik: Gambarlah sumbu-x dan tandai akar-akar yang ditemukan. Kemudian, gambarlah sketsa parabola berdasarkan arahnya (terbuka ke atas atau ke bawah) dan titik-titik potong sumbu-x. Tidak perlu menggambar grafik yang sangat akurat; cukup sketsa posisinya relatif terhadap sumbu-x.
5. Identifikasi Daerah Penyelesaian:
   • Jika pertidaksamaan adalah ax^2 + bx + c > 0 atau ≥ 0, cari bagian grafik yang berada di atas sumbu-x.
   • Jika pertidaksamaan adalah ax^2 + bx + c < 0 atau ≤ 0, cari bagian grafik yang berada di bawah sumbu-x.
6. Tulis Himpunan Penyelesaian: Nyatakan nilai-nilai x yang sesuai dengan daerah yang teridentifikasi.

Contoh Soal 2.2.1: Menggunakan Grafik (a > 0)

Selesaikan pertidaksamaan x^2 - x - 6 ≥ 0 menggunakan metode grafik.

Penyelesaian:

1. Bentuk Fungsi: Kita punya fungsi y = x^2 - x - 6.
2. Arah Parabola: Karena a = 1 > 0, parabola terbuka ke atas.
3. Cari Akar-akar: Faktorkan x^2 - x - 6 = 0.

   (x - 3)(x + 2) = 0

   Akar-akarnya adalah x = 3 dan x = -2. Ini adalah titik potong dengan sumbu-x.
4. Sketsa Grafik:
   Grafik parabola terbuka ke atas, memotong sumbu-x di x = -2 dan x = 3.
5. Identifikasi Daerah Penyelesaian: Kita mencari x^2 - x - 6 ≥ 0, yang berarti kita mencari bagian grafik yang berada di atas atau pada sumbu-x. Dari sketsa, ini terjadi ketika x berada di sebelah kiri atau sama dengan -2, dan di sebelah kanan atau sama dengan 3.
6. Himpunan Penyelesaian: {x | x ≤ -2 atau x ≥ 3, x ∈ R} atau dalam notasi interval (-∞, -2] ∪ [3, ∞).

Contoh Soal 2.2.2: Menggunakan Grafik (a < 0)

Selesaikan pertidaksamaan -2x^2 - x + 3 < 0 menggunakan metode grafik.

Penyelesaian:

1. Bentuk Fungsi: Kita punya fungsi y = -2x^2 - x + 3.
2. Arah Parabola: Karena a = -2 < 0, parabola terbuka ke bawah.
3. Cari Akar-akar: Faktorkan -2x^2 - x + 3 = 0. Kalikan dengan -1 untuk mempermudah:

   2x^2 + x - 3 = 0
   (2x + 3)(x - 1) = 0

   Akar-akarnya adalah x = -3/2 atau x = -1.5 dan x = 1. Ini adalah titik potong dengan sumbu-x.
4. Sketsa Grafik:
   Grafik parabola terbuka ke bawah, memotong sumbu-x di x = -1.5 dan x = 1.
5. Identifikasi Daerah Penyelesaian: Kita mencari -2x^2 - x + 3 < 0, yang berarti kita mencari bagian grafik yang berada di bawah sumbu-x. Dari sketsa, ini terjadi ketika x berada di sebelah kiri -1.5, dan di sebelah kanan 1.
6. Himpunan Penyelesaian: {x | x < -3/2 atau x > 1, x ∈ R} atau dalam notasi interval (-∞, -3/2) ∪ (1, ∞).

2.3. Metode Tabel Tanda (Faktorisasi)

Metode tabel tanda sangat mirip dengan metode garis bilangan, tetapi seringkali lebih terstruktur, terutama ketika ekspresi kuadrat dapat difaktorkan dengan mudah. Metode ini melibatkan analisis tanda dari setiap faktor dalam interval yang ditentukan oleh akar-akar.

Langkah-langkah Metode Tabel Tanda:

1. Ubah ke Bentuk Baku dan Faktorkan: Pastikan pertidaksamaan berada dalam bentuk ax^2 + bx + c > 0 (atau variannya). Faktorkan ekspresi kuadrat menjadi bentuk a(x - x1)(x - x2), di mana x1 dan x2 adalah akar-akarnya. Jika a negatif, kalikan dengan -1 dan balikkan tanda pertidaksamaan terlebih dahulu.
2. Tentukan Pembuat Nol: Identifikasi nilai-nilai x yang membuat setiap faktor menjadi nol (ini adalah akar-akar persamaan kuadrat).
3. Buat Tabel Tanda: Buat tabel dengan baris untuk setiap faktor dan satu baris untuk hasil kali semua faktor (ekspresi kuadrat). Kolom tabel akan mewakili interval-interval yang dibentuk oleh pembuat nol yang diurutkan pada garis bilangan.
4. Isi Tanda untuk Setiap Faktor: Untuk setiap interval, tentukan tanda (positif atau negatif) dari masing-masing faktor. Ingat: (x - k) bernilai negatif jika x < k dan positif jika x > k.
5. Tentukan Tanda Hasil Kali: Kalikan tanda-tanda dari semua faktor di setiap interval untuk mendapatkan tanda ekspresi kuadrat secara keseluruhan.
6. Identifikasi Daerah Penyelesaian: Pilih interval yang sesuai dengan tanda pertidaksamaan asli.
7. Tulis Himpunan Penyelesaian: Nyatakan dalam notasi interval atau himpunan.

Contoh Soal 2.3.1: Menggunakan Tabel Tanda

Selesaikan pertidaksamaan x^2 + x - 12 < 0 menggunakan metode tabel tanda.

Penyelesaian:

1. Bentuk Baku dan Faktorkan: Pertidaksamaan sudah baku. Faktorkan x^2 + x - 12 = 0.

   (x + 4)(x - 3) = 0

2. Tentukan Pembuat Nol: Faktor (x + 4) menjadi nol ketika x = -4. Faktor (x - 3) menjadi nol ketika x = 3.
3. Buat Tabel Tanda: Akar-akar -4 dan 3 membagi garis bilangan menjadi tiga interval: (-∞, -4), (-4, 3), dan (3, ∞).

   Interval	Faktor (x + 4)	Faktor (x - 3)	(x + 4)(x - 3)
   x < -4	- (misal x=-5: -1)	- (misal x=-5: -8)	+ (negatif x negatif)
   -4 < x < 3	+ (misal x=0: 4)	- (misal x=0: -3)	- (positif x negatif)
   x > 3	+ (misal x=4: 8)	+ (misal x=4: 1)	+ (positif x positif)

4. Identifikasi Daerah Penyelesaian: Kita mencari (x + 4)(x - 3) < 0 (negatif). Dari tabel, ini terjadi pada interval -4 < x < 3.
5. Himpunan Penyelesaian: {x | -4 < x < 3, x ∈ R} atau dalam notasi interval (-4, 3).

3. Kasus-kasus Khusus dalam Pertidaksamaan Kuadrat

Tidak semua pertidaksamaan kuadrat akan memiliki dua akar riil yang berbeda. Perilaku grafik parabola, yang ditentukan oleh nilai diskriminan D = b^2 - 4ac, akan sangat memengaruhi solusi pertidaksamaan.

3.1. Berdasarkan Nilai Diskriminan (D = b^2 - 4ac)

3.1.1. Kasus D > 0 (Dua Akar Riil Berbeda)

Ini adalah kasus yang paling umum dan telah dibahas dalam contoh-contoh sebelumnya. Parabola memotong sumbu-x di dua titik berbeda (x1 dan x2). Daerah tanda positif dan negatif akan bergantian. Jika a > 0, parabola terbuka ke atas, maka tanda akan + - +. Jika a < 0, parabola terbuka ke bawah, maka tanda akan - + -.

Contoh: x^2 - 4x + 3 > 0

• a=1, b=-4, c=3
• D = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 > 0 (Dua akar riil berbeda).
• Akar-akar: x^2 - 4x + 3 = 0 ⇒ (x-1)(x-3) = 0 ⇒ x=1, x=3.
• Karena a > 0, parabola terbuka ke atas. Tanda pada garis bilangan: + (x<1), - (1<x<3), + (x>3).
• Untuk > 0, solusinya adalah x < 1 atau x > 3.

3.1.2. Kasus D = 0 (Dua Akar Riil Kembar/Satu Akar Riil)

Ketika D = 0, parabola hanya menyentuh sumbu-x di satu titik (titik puncaknya berada di sumbu-x). Ini berarti ekspresi kuadrat akan selalu memiliki tanda yang sama (positif atau negatif) kecuali di titik akar itu sendiri, di mana nilainya nol.

Sub-kasus D = 0 dan a > 0:

Parabola terbuka ke atas dan menyentuh sumbu-x di satu titik. Ini berarti ax^2 + bx + c ≥ 0 untuk semua x riil. Untuk ax^2 + bx + c > 0, solusinya adalah semua x kecuali akar tersebut. Untuk ax^2 + bx + c ≤ 0, solusinya hanya akar tersebut (jika ada tanda sama dengan), atau tidak ada solusi jika hanya < 0.

Contoh 3.1.2.1: Selesaikan x^2 - 4x + 4 > 0.

• a=1, b=-4, c=4.
• D = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0.
• Akar: x^2 - 4x + 4 = 0 ⇒ (x-2)^2 = 0 ⇒ x=2 (akar kembar).
• Karena a > 0, parabola terbuka ke atas dan menyentuh sumbu-x di x=2. Artinya, x^2 - 4x + 4 selalu positif kecuali di x=2 di mana nilainya 0.
• Untuk x^2 - 4x + 4 > 0, solusinya adalah semua bilangan riil kecuali x=2. Himpunan penyelesaian: {x | x ≠ 2, x ∈ R} atau (-∞, 2) ∪ (2, ∞).

Contoh 3.1.2.2: Selesaikan x^2 - 4x + 4 ≤ 0.

• Seperti di atas, (x-2)^2 selalu ≥ 0. Satu-satunya cara agar (x-2)^2 ≤ 0 adalah jika (x-2)^2 = 0.
• Ini terjadi ketika x = 2. Himpunan penyelesaian: {x | x = 2, x ∈ R}.

Sub-kasus D = 0 dan a < 0:

Parabola terbuka ke bawah dan menyentuh sumbu-x di satu titik. Ini berarti ax^2 + bx + c ≤ 0 untuk semua x riil. Untuk ax^2 + bx + c < 0, solusinya adalah semua x kecuali akar tersebut. Untuk ax^2 + bx + c ≥ 0, solusinya hanya akar tersebut (jika ada tanda sama dengan), atau tidak ada solusi jika hanya > 0.

Contoh 3.1.2.3: Selesaikan -x^2 + 6x - 9 ≥ 0.

• a=-1, b=6, c=-9.
• D = (6)^2 - 4(-1)(-9) = 36 - 36 = 0.
• Akar: -x^2 + 6x - 9 = 0 ⇒ -(x^2 - 6x + 9) = 0 ⇒ -(x-3)^2 = 0 ⇒ x=3.
• Karena a < 0, parabola terbuka ke bawah dan menyentuh sumbu-x di x=3. Artinya, -x^2 + 6x - 9 selalu negatif kecuali di x=3 di mana nilainya 0.
• Untuk -x^2 + 6x - 9 ≥ 0, satu-satunya nilai x yang memenuhi adalah x=3 (karena di situ nilainya nol). Himpunan penyelesaian: {x | x = 3, x ∈ R}.

3.1.3. Kasus D < 0 (Tidak Ada Akar Riil)

Ketika D < 0, parabola tidak memotong maupun menyentuh sumbu-x. Ini berarti grafik parabola seluruhnya berada di atas sumbu-x atau seluruhnya berada di bawah sumbu-x, dan tidak pernah sama dengan nol.

Sub-kasus D < 0 dan a > 0:

Parabola terbuka ke atas dan tidak memotong sumbu-x. Ini berarti seluruh grafik berada di atas sumbu-x. Jadi, ax^2 + bx + c selalu positif untuk semua x riil.

Contoh 3.1.3.1: Selesaikan x^2 + 2x + 5 > 0.

• a=1, b=2, c=5.
• D = (2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0.
• Karena a > 0 dan D < 0, ekspresi x^2 + 2x + 5 selalu positif untuk semua x riil.
• Pertidaksamaan x^2 + 2x + 5 > 0 selalu benar. Himpunan penyelesaian: {x | x ∈ R} atau (-∞, ∞).

Contoh 3.1.3.2: Selesaikan x^2 + 2x + 5 < 0.

• Karena ekspresi x^2 + 2x + 5 selalu positif, tidak ada nilai x yang akan membuatnya kurang dari nol.
• Pertidaksamaan x^2 + 2x + 5 < 0 tidak pernah benar. Himpunan penyelesaian: {} atau himpunan kosong.

Sub-kasus D < 0 dan a < 0:

Parabola terbuka ke bawah dan tidak memotong sumbu-x. Ini berarti seluruh grafik berada di bawah sumbu-x. Jadi, ax^2 + bx + c selalu negatif untuk semua x riil.

Contoh 3.1.3.3: Selesaikan -x^2 - 3x - 4 < 0.

• a=-1, b=-3, c=-4.
• D = (-3)^2 - 4(-1)(-4) = 9 - 16 = -7 < 0.
• Karena a < 0 dan D < 0, ekspresi -x^2 - 3x - 4 selalu negatif untuk semua x riil.
• Pertidaksamaan -x^2 - 3x - 4 < 0 selalu benar. Himpunan penyelesaian: {x | x ∈ R} atau (-∞, ∞).

Contoh 3.1.3.4: Selesaikan -x^2 - 3x - 4 > 0.

• Karena ekspresi -x^2 - 3x - 4 selalu negatif, tidak ada nilai x yang akan membuatnya lebih dari nol.
• Pertidaksamaan -x^2 - 3x - 4 > 0 tidak pernah benar. Himpunan penyelesaian: {} atau himpunan kosong.

3.2. Pertidaksamaan yang Mengandung Nilai Mutlak atau Rasional

Terkadang, pertidaksamaan kuadrat muncul sebagai bagian dari masalah yang lebih kompleks, seperti pertidaksamaan nilai mutlak atau pertidaksamaan rasional (pecahan). Dalam kasus seperti itu, langkah-langkah awal adalah menyederhanakan pertidaksamaan ke bentuk kuadrat standar.

Contoh 3.2.1: Pertidaksamaan Rasional dengan Bentuk Kuadrat

Selesaikan pertidaksamaan (x^2 - x - 2) / (x - 3) ≤ 0.

Penyelesaian:

1. Faktorkan Pembilang: x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1).
2. Penyederhanaan: Pertidaksamaan menjadi ((x - 2)(x + 1)) / (x - 3) ≤ 0.
3. Cari Pembuat Nol:
   • Pembilang nol jika x = 2 atau x = -1.
   • Penyebut nol jika x = 3. Ingat, penyebut tidak boleh nol, jadi x ≠ 3.
4. Garis Bilangan: Tandai -1, 2, dan 3 pada garis bilangan. Titik -1 dan 2 akan tertutup (termasuk), sedangkan titik 3 akan terbuka (tidak termasuk) karena merupakan pembuat nol penyebut.
5. Uji Titik (atau Tabel Tanda):
   • Interval x < -1 (misal x = -2):

     ((-2 - 2)(-2 + 1)) / (-2 - 3) = (-4)(-1) / (-5) = 4 / (-5) = -

     (Negatif)
   • Interval -1 < x < 2 (misal x = 0):

     ((0 - 2)(0 + 1)) / (0 - 3) = (-2)(1) / (-3) = -2 / -3 = +

     (Positif)
   • Interval 2 < x < 3 (misal x = 2.5):

     ((2.5 - 2)(2.5 + 1)) / (2.5 - 3) = (0.5)(3.5) / (-0.5) = -

     (Negatif)
   • Interval x > 3 (misal x = 4):

     ((4 - 2)(4 + 1)) / (4 - 3) = (2)(5) / (1) = +

     (Positif)
6. Tentukan Daerah Penyelesaian: Kita mencari ≤ 0 (negatif atau nol). Daerah negatif adalah x ≤ -1 dan 2 ≤ x < 3. Perhatikan x ≠ 3.
7. Himpunan Penyelesaian: {x | x ≤ -1 atau 2 ≤ x < 3, x ∈ R} atau (-∞, -1] ∪ [2, 3).

4. Penerapan Pertidaksamaan Kuadrat dalam Soal Cerita

Pertidaksamaan kuadrat seringkali muncul dalam masalah kontekstual yang membutuhkan kita untuk menerjemahkan situasi nyata ke dalam model matematis.

Contoh Soal 4.1: Optimasi Keuntungan

Sebuah perusahaan memproduksi mainan. Pendapatan (R) dari penjualan x mainan diberikan oleh fungsi R(x) = -0.5x^2 + 200x. Biaya produksi (C) untuk x mainan adalah C(x) = 10x + 1000. Tentukan rentang jumlah mainan yang harus diproduksi agar perusahaan memperoleh keuntungan (keuntungan > 0).

Penyelesaian:

1. Definisikan Fungsi Keuntungan: Keuntungan (P) diperoleh dari Pendapatan dikurangi Biaya.

   P(x) = R(x) - C(x)
   P(x) = (-0.5x^2 + 200x) - (10x + 1000)
   P(x) = -0.5x^2 + 190x - 1000

2. Bentuk Pertidaksamaan: Kita ingin keuntungan positif, jadi P(x) > 0.

   -0.5x^2 + 190x - 1000 > 0

3. Selesaikan Pertidaksamaan: * Kalikan dengan -2 untuk membuat a positif dan hilangkan desimal, jangan lupa balik tanda pertidaksamaan:

   x^2 - 380x + 2000 < 0

   * Cari akar-akar dari x^2 - 380x + 2000 = 0 menggunakan rumus kuadrat: x = [-(-380) ± √((-380)^2 - 4(1)(2000))] / (2*1) x = [380 ± √(144400 - 8000)] / 2 x = [380 ± √(136400)] / 2 x = [380 ± 20√(341)] / 2 x = 190 ± 10√(341) * Hitung nilai desimal perkiraan: √(341) ≈ 18.466 x1 = 190 - 10(18.466) = 190 - 184.66 = 5.34 x2 = 190 + 10(18.466) = 190 + 184.66 = 374.66 * Pada garis bilangan untuk x^2 - 380x + 2000 < 0 (parabola terbuka ke atas):

   +----- (5.34) ----- - ----- (374.66) ----- +

   Kita mencari daerah negatif (< 0).
4. Himpunan Penyelesaian: 5.34 < x < 374.66. Karena x adalah jumlah mainan, ia harus berupa bilangan bulat dan positif. Jadi, x harus lebih besar dari 5 dan kurang dari 375. Rentang produksi mainan agar perusahaan untung adalah antara 6 hingga 374 mainan.

Contoh Soal 4.2: Gerak Proyektil

Ketinggian (dalam meter) sebuah bola yang dilempar ke atas dari tanah setelah t detik diberikan oleh fungsi h(t) = -5t^2 + 30t. Kapan bola berada di ketinggian lebih dari 25 meter?

Penyelesaian:

1. Bentuk Pertidaksamaan: Kita ingin h(t) > 25.

   -5t^2 + 30t > 25

2. Ubah ke Bentuk Baku: Pindahkan semua suku ke satu sisi dan pastikan sisi kanan nol.

   -5t^2 + 30t - 25 > 0

   Kalikan dengan -1/5 (atau bagi dengan -5) dan balikkan tanda pertidaksamaan:

   t^2 - 6t + 5 < 0

3. Selesaikan Pertidaksamaan: * Cari akar-akar dari t^2 - 6t + 5 = 0:

   (t - 1)(t - 5) = 0

   Akar-akarnya adalah t = 1 dan t = 5. * Gunakan metode garis bilangan atau grafik untuk t^2 - 6t + 5 < 0. Karena koefisien a=1 > 0, parabola terbuka ke atas. Daerah negatif (< 0) ada di antara akar-akar.

   +----- (1) ----- - ----- (5) ----- +

4. Himpunan Penyelesaian: 1 < t < 5. Jadi, bola berada di ketinggian lebih dari 25 meter antara detik ke-1 dan detik ke-5 setelah dilempar.

5. Kesalahan Umum dan Tips Mencegahnya

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat memerlukan ketelitian. Beberapa kesalahan umum yang sering terjadi adalah:

• Lupa Membalik Tanda Pertidaksamaan: Ketika mengalikan atau membagi seluruh pertidaksamaan dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan harus dibalik (misalnya dari > menjadi <). Ini adalah kesalahan yang sangat sering terjadi.
• Kesalahan Faktorisasi atau Rumus Kuadrat: Akar-akar yang salah akan menyebabkan interval yang salah dan solusi yang keliru. Selalu periksa kembali faktorisasi atau perhitungan rumus kuadrat.
• Kesalahan Uji Titik: Pilih titik uji yang mudah (misalnya 0) tetapi pastikan titik tersebut benar-benar berada di dalam interval yang diuji.
• Kesalahan dalam Notasi Interval: Membingungkan antara kurung ( ) untuk pertidaksamaan tegas (titik tidak termasuk) dan kurung siku [ ] untuk pertidaksamaan tidak tegas (titik termasuk). Ingat juga bahwa ∞ selalu menggunakan kurung buka.
• Menganggap Pertidaksamaan seperti Persamaan: Tidak boleh langsung membagi dengan variabel atau ekspresi yang mengandung variabel tanpa mempertimbangkan kasus di mana ekspresi tersebut nol atau negatif, karena ini akan mengubah tanda pertidaksamaan.
• Mengabaikan Kasus D ≤ 0: Ketika diskriminan nol atau negatif, pertidaksamaan tidak memiliki akar riil atau hanya satu akar kembar, yang sangat mengubah cara menentukan himpunan penyelesaian.
• Tidak Memahami Konteks Soal Cerita: Dalam soal cerita, pastikan solusi matematis masuk akal dalam konteks fisika (misalnya, waktu atau panjang tidak bisa negatif).

Tips Pencegahan:

• Selalu Bawa ke Bentuk Baku: Pindahkan semua suku ke satu sisi sehingga sisi lainnya adalah nol. Ini adalah langkah pertama yang krusial.
• Periksa Tanda Koefisien a: Putuskan apakah akan mengalikan dengan -1 atau tidak. Jika a positif, pola tanda + - + cenderung lebih mudah diingat untuk metode garis bilangan (jika ada dua akar riil).
• Gunakan Sketsa Grafik: Metode grafik sangat membantu untuk visualisasi dan verifikasi hasil dari metode garis bilangan. Meskipun tidak harus akurat, sketsa umum parabola (arah, titik potong sumbu-x) akan memberikan pemahaman yang kuat.
• Latihan Beragam Soal: Memecahkan berbagai jenis soal, termasuk kasus-kasus khusus, akan membangun intuisi dan kewaspadaan terhadap potensi kesalahan.
• Pikirkan "Mengapa": Pahami alasan di balik setiap langkah, bukan hanya mengikuti prosedur. Mengapa kita menguji titik? Mengapa tanda dibalik? Pemahaman konseptual akan memperkuat kemampuan pemecahan masalah.

6. Kesimpulan

Pertidaksamaan kuadrat adalah konsep matematika yang esensial, membentuk jembatan antara aljabar dasar dan aplikasi yang lebih kompleks. Dengan memahami bentuk umumnya (ax^2 + bx + c <> 0), serta menguasai metode-metode penyelesaian seperti garis bilangan, grafik, dan tabel tanda, Anda akan memiliki bekal yang kuat untuk memecahkan berbagai masalah.

Kunci keberhasilan dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat terletak pada ketelitian dalam setiap langkah: dari mengubah ke bentuk standar, menemukan akar-akar, mengidentifikasi interval, menguji tanda, hingga menyajikan himpunan penyelesaian dengan notasi yang tepat. Penting juga untuk selalu mengingat kasus-kasus khusus yang melibatkan diskriminan (D > 0, D = 0, D < 0), yang dapat mengubah sifat solusi secara fundamental.

Aplikasi pertidaksamaan kuadrat tidak terbatas pada buku teks matematika; ia hadir dalam berbagai skenario dunia nyata, mulai dari fisika, ekonomi, hingga teknik. Oleh karena itu, kemampuan untuk menerjemahkan masalah kontekstual ke dalam model pertidaksamaan kuadrat dan menyelesaikannya dengan benar adalah keterampilan yang sangat berharga.

Teruslah berlatih, periksa kembali setiap langkah, dan jangan ragu untuk menggunakan berbagai metode untuk memverifikasi jawaban Anda. Dengan dedikasi dan pemahaman yang solid, pertidaksamaan kuadrat akan menjadi salah satu alat analisis yang paling tangguh dalam gudang matematika Anda.