Aljabar linear adalah cabang matematika yang mempelajari vektor, ruang vektor (atau ruang linear), transformasi linear, dan sistem persamaan linear. Materi ini adalah fondasi penting dalam ilmu komputer, fisika, teknik, dan analisis data modern.
1. Sistem Persamaan Linear (SPL)
Inti dari aljabar linear adalah menyelesaikan sistem persamaan linear, yang dapat ditulis dalam bentuk matriks $Ax = b$.
- Bentuk Matriks: Jika kita memiliki $m$ persamaan dan $n$ variabel, ini direpresentasikan oleh matriks koefisien $A$ ($m \times n$), vektor variabel $x$ ($n \times 1$), dan vektor konstanta $b$ ($m \times 1$).
- Solusi: Solusi unik ada jika matriks $A$ adalah matriks persegi dan memiliki invers. Jika tidak, mungkin ada tak terhingga solusi atau tidak ada solusi sama sekali.
- Eliminasi Gauss/Gauss-Jordan: Metode fundamental untuk menyederhanakan matriks augmented $[A|b]$ menjadi bentuk eselon baris tereduksi untuk menemukan solusi.
2. Matriks dan Operasinya
Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk persegi panjang, yang merupakan alat utama untuk merepresentasikan transformasi linear dan data.
Operasi Dasar Matriks:
- Penjumlahan dan Pengurangan: Hanya dapat dilakukan jika dimensinya sama. Operasi dilakukan elemen per elemen.
- Perkalian Matriks: Jika matriks $A$ berukuran $m \times p$ dan $B$ berukuran $p \times n$, hasil perkalian $AB$ akan berukuran $m \times n$. Syarat utamanya adalah jumlah kolom $A$ harus sama dengan jumlah baris $B$.
- Transpos ($\boldsymbol{A^T}$): Baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.
- Invers ($\boldsymbol{A^{-1}}$): Matriks yang, jika dikalikan dengan matriks aslinya, menghasilkan matriks identitas ($AA^{-1} = I$). Invers hanya ada jika determinannya bukan nol (matriks non-singular).
3. Ruang Vektor dan Subruang
Ruang vektor adalah sekumpulan objek (disebut vektor) yang dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan skalar, memenuhi sepuluh aksioma tertentu. Ini adalah kerangka abstrak di mana semua objek aljabar linear hidup.
Konsep Kunci:
- Kombinasi Linear: Vektor $w$ adalah kombinasi linear dari vektor $v_1, v_2, \dots, v_k$ jika $w = c_1v_1 + c_2v_2 + \dots + c_kv_k$, di mana $c_i$ adalah skalar.
- Merentang (Span): Himpunan semua kombinasi linear yang mungkin dari sekumpulan vektor.
- Kebebasan Linear (Linear Independence): Sekumpulan vektor dikatakan bebas linear jika satu-satunya cara untuk membuat kombinasi linear mereka sama dengan vektor nol adalah ketika semua skalar pengalinya adalah nol. Jika tidak, mereka bergantung linear.
- Basis dan Dimensi: Basis adalah himpunan vektor bebas linear yang merentang seluruh ruang vektor. Dimensi ruang vektor adalah jumlah vektor dalam basisnya.
4. Transformasi Linear
Transformasi linear $T: V \to W$ adalah fungsi antara dua ruang vektor yang mempertahankan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar. Setiap transformasi linear dapat direpresentasikan oleh sebuah matriks.
Jika $T(x) = Ax$, maka matriks $A$ disebut matriks standar transformasi tersebut. Konsep kunci di sini adalah:
- Ruang Nol (Null Space / Kernel): Himpunan semua vektor $x$ sedemikian rupa sehingga $T(x) = 0$. Ini adalah solusi dari $Ax = 0$.
- Ruang Kolom (Column Space / Range): Rentang dari transformasi; himpunan semua vektor $b$ yang dapat dihasilkan oleh $T(x)$. Ini adalah ruang yang direntang oleh kolom-kolom matriks $A$.
5. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Ini adalah konsep paling penting dalam analisis dinamika sistem dan diagonalisasi matriks. Untuk sebuah matriks persegi $A$, vektor eigen ($\mathbf{v}$) adalah vektor tak nol yang, ketika ditransformasikan oleh $A$, hanya berubah skalanya (tidak arahnya).
Hubungannya didefinisikan oleh persamaan:
$$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$$ Di mana $\lambda$ (lambda) adalah nilai eigen, yaitu faktor skala perubahan tersebut.Untuk menemukan nilai eigen, kita perlu menyelesaikan persamaan karakteristik: $\det(A - \lambda I) = 0$.
Nilai dan vektor eigen sangat berguna untuk: menentukan stabilitas sistem, memfaktorkan matriks, dan dalam algoritma seperti Principal Component Analysis (PCA) di bidang data science.
Kesimpulan
Aljabar linear menyediakan bahasa formal untuk mendeskripsikan hubungan linear, dari solusi sistem persamaan sederhana hingga dinamika sistem kompleks melalui konsep nilai eigen. Penguasaan konsep dasar seperti matriks, determinan, basis, dan ruang vektor adalah prasyarat untuk memahami banyak disiplin ilmu kuantitatif modern.