Menentukan Persamaan Kuadrat: Panduan Lengkap

Persamaan kuadrat adalah salah satu fondasi penting dalam aljabar yang memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknik. Dari memodelkan lintasan proyektil hingga menghitung keuntungan maksimum dalam ekonomi, pemahaman tentang persamaan kuadrat sangat esensial. Artikel ini akan membahas secara mendalam bagaimana cara menentukan persamaan kuadrat dari berbagai informasi yang diberikan. Proses "menentukan" ini bisa berarti menemukan bentuk `ax^2 + bx + c = 0` yang merepresentasikan suatu kondisi atau hubungan tertentu.

Kita akan menjelajahi berbagai metode, mulai dari penggunaan akar-akar (solusi) persamaan, titik puncak grafik fungsi kuadrat, hingga serangkaian titik yang dilalui oleh grafiknya. Selain itu, kita juga akan melihat bagaimana diskriminan dan hubungan akar-koefisien dapat digunakan untuk membentuk persamaan kuadrat baru atau melengkapi informasi yang hilang. Mari kita selami lebih dalam dunia persamaan kuadrat ini.

Bagian 1: Memahami Dasar-dasar Persamaan Kuadrat

1.1. Definisi dan Bentuk Umum

Sebuah persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Bentuk umumnya dinyatakan sebagai:

ax² + bx + c = 0

Di mana:

• x adalah variabel yang tidak diketahui.
• a, b, dan c adalah koefisien, dengan a tidak boleh sama dengan nol (a ≠ 0). Jika a = 0, persamaan tersebut bukan lagi kuadratik melainkan menjadi persamaan linear.
• a adalah koefisien kuadratik.
• b adalah koefisien linear.
• c adalah konstanta atau suku bebas.

Misalnya, 2x² + 3x - 5 = 0 adalah persamaan kuadrat dengan a = 2, b = 3, dan c = -5.

1.2. Istilah-istilah Penting dalam Persamaan Kuadrat

Sebelum kita melangkah lebih jauh, penting untuk memahami beberapa istilah kunci yang berkaitan dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat (y = ax² + bx + c):

• Akar-akar Persamaan (Solusi/Penyelesaian): Nilai-nilai x yang membuat persamaan kuadrat menjadi benar (yaitu, sama dengan nol). Sebuah persamaan kuadrat dapat memiliki dua akar real berbeda, dua akar real yang sama (kembar), atau dua akar kompleks (imajiner) yang berbeda.
• Diskriminan (D): Nilai yang dihitung dari b² - 4ac. Diskriminan memberikan informasi tentang sifat akar-akar persamaan kuadrat tanpa harus menyelesaikannya.
• Titik Puncak (Vertex): Untuk fungsi kuadrat (parabola), titik puncak adalah titik tertinggi (maksimum) jika parabola terbuka ke bawah (a < 0) atau titik terendah (minimum) jika parabola terbuka ke atas (a > 0). Koordinat titik puncak biasanya dilambangkan (h, k).
• Sumbu Simetri: Garis vertikal yang melewati titik puncak parabola, membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Rumusnya adalah x = -b / 2a, yang juga merupakan koordinat x dari titik puncak.
• Perpotongan Sumbu-Y (Y-intercept): Titik di mana grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-y. Ini terjadi ketika x = 0, sehingga nilai y-nya adalah c.
• Perpotongan Sumbu-X (X-intercept): Titik di mana grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-x. Ini terjadi ketika y = 0, dan nilai-nilai x pada titik ini adalah akar-akar persamaan kuadrat.

Memahami konsep-konsep ini akan sangat membantu dalam berbagai metode penentuan persamaan kuadrat.

Bagian 2: Metode Menentukan Persamaan Kuadrat dari Akar-akarnya

Salah satu cara paling umum untuk menentukan persamaan kuadrat adalah jika kita sudah mengetahui akar-akar atau solusi-solusinya. Ada dua metode utama untuk ini.

2.1. Menggunakan Rumus Perkalian Faktor

Jika kita tahu bahwa x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, maka kita dapat menyatakan persamaan tersebut dalam bentuk faktor sebagai berikut:

(x - x₁)(x - x₂) = 0

Konsep di balik metode ini sangat sederhana: jika x₁ adalah akar, maka (x - x₁) harus menjadi faktor dari persamaan, karena ketika x = x₁, faktor ini akan menjadi nol, sehingga seluruh persamaan menjadi nol. Hal yang sama berlaku untuk x₂.

Langkah-langkah:

1. Substitusikan nilai akar-akar (x₁ dan x₂) ke dalam rumus perkalian faktor.
2. Lakukan perkalian binomial (FOIL - First, Outer, Inner, Last).
3. Sederhanakan hasilnya untuk mendapatkan persamaan kuadrat dalam bentuk umum ax² + bx + c = 0.

Contoh 2.1.1: Akar-akar Bilangan Bulat Positif

Soal: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 2 dan 3.

Penyelesaian:

1. Kita memiliki x₁ = 2 dan x₂ = 3. Substitusikan ke dalam rumus:

   (x - 2)(x - 3) = 0

2. Lakukan perkalian binomial:
   • x * x = x² (First)
   • x * (-3) = -3x (Outer)
   • (-2) * x = -2x (Inner)
   • (-2) * (-3) = 6 (Last)
   Sehingga, kita mendapatkan:

   x² - 3x - 2x + 6 = 0

3. Sederhanakan suku-suku sejenis:

   x² - 5x + 6 = 0

Jadi, persamaan kuadratnya adalah x² - 5x + 6 = 0.

Contoh 2.1.2: Akar-akar Bilangan Bulat Negatif dan Positif

Soal: Carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah -1 dan 4.

Penyelesaian:

1. Diketahui x₁ = -1 dan x₂ = 4. Substitusikan ke dalam rumus:

   (x - (-1))(x - 4) = 0
   (x + 1)(x - 4) = 0

2. Lakukan perkalian binomial:

   x² - 4x + x - 4 = 0

3. Sederhanakan:

   x² - 3x - 4 = 0

Persamaan kuadratnya adalah x² - 3x - 4 = 0.

Contoh 2.1.3: Akar-akar Pecahan

Soal: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 1/2 dan -3.

Penyelesaian:

1. Kita punya x₁ = 1/2 dan x₂ = -3. Substitusikan:

   (x - 1/2)(x - (-3)) = 0
   (x - 1/2)(x + 3) = 0

2. Lakukan perkalian:

   x² + 3x - (1/2)x - (1/2)*3 = 0
   x² + 3x - (1/2)x - 3/2 = 0

3. Sederhanakan suku-suku x:

   x² + (3 - 1/2)x - 3/2 = 0
   x² + (6/2 - 1/2)x - 3/2 = 0
   x² + (5/2)x - 3/2 = 0

   Untuk menghilangkan pecahan dan mendapatkan koefisien bilangan bulat (bentuk standar), kita dapat mengalikan seluruh persamaan dengan penyebut bersama, yaitu 2:

   2 * (x² + (5/2)x - 3/2) = 2 * 0
   2x² + 5x - 3 = 0

Persamaan kuadratnya adalah 2x² + 5x - 3 = 0. Penting untuk diingat bahwa mengalikan seluruh persamaan dengan konstanta (selama bukan nol) tidak mengubah akar-akarnya.

Contoh 2.1.4: Akar-akar Kompleks (Imajiner)

Soal: Temukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 1 + i dan 1 - i, di mana i adalah unit imajiner (i² = -1).

Penyelesaian:

1. Akar-akarnya adalah x₁ = 1 + i dan x₂ = 1 - i. Substitusikan:

   (x - (1 + i))(x - (1 - i)) = 0

   Untuk mempermudah perkalian, kita bisa mengelompokkan suku-suku:

   ((x - 1) - i)((x - 1) + i) = 0

2. Ini adalah bentuk (A - B)(A + B) = A² - B², di mana A = (x - 1) dan B = i.

   (x - 1)² - i² = 0

3. Kembangkan (x - 1)² dan substitusikan i² = -1:

   (x² - 2x + 1) - (-1) = 0
   x² - 2x + 1 + 1 = 0

4. Sederhanakan:

   x² - 2x + 2 = 0

Persamaan kuadratnya adalah x² - 2x + 2 = 0. Perhatikan bahwa akar-akar kompleks selalu muncul berpasangan konjugasi jika koefisien persamaannya real.

2.2. Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar (Rumus Vieta)

Metode ini didasarkan pada hubungan antara akar-akar persamaan kuadrat dan koefisien-koefisiennya, yang dikenal sebagai Rumus Vieta. Untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan akar-akar x₁ dan x₂, hubungan ini adalah:

• Jumlah Akar: x₁ + x₂ = -b/a
• Hasil Kali Akar: x₁ * x₂ = c/a

Jika kita mengasumsikan a = 1 (atau jika kita membagi seluruh persamaan dengan a), maka persamaan menjadi x² + (b/a)x + (c/a) = 0. Dengan substitusi dari rumus Vieta, kita mendapatkan:

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ * x₂) = 0

Rumus ini sangat berguna karena seringkali lebih cepat, terutama jika akar-akarnya melibatkan bentuk irasional atau kompleks.

Langkah-langkah:

1. Hitung jumlah akar (S) dengan menjumlahkan x₁ dan x₂.
2. Hitung hasil kali akar (P) dengan mengalikan x₁ dan x₂.
3. Substitusikan nilai S dan P ke dalam rumus x² - Sx + P = 0.

Contoh 2.2.1: Akar-akar Bilangan Bulat Positif

Soal: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 2 dan 3.

Penyelesaian:

1. Jumlah akar (S): S = x₁ + x₂ = 2 + 3 = 5
2. Hasil kali akar (P): P = x₁ * x₂ = 2 * 3 = 6
3. Substitusikan S dan P ke rumus x² - Sx + P = 0:

   x² - 5x + 6 = 0

Hasilnya sama dengan metode perkalian faktor, dan terlihat lebih ringkas untuk kasus ini.

Contoh 2.2.2: Akar-akar Bilangan Bulat Negatif dan Positif

Soal: Carilah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah -1 dan 4.

Penyelesaian:

1. Jumlah akar (S): S = -1 + 4 = 3
2. Hasil kali akar (P): P = (-1) * 4 = -4
3. Substitusikan S dan P:

   x² - 3x + (-4) = 0
   x² - 3x - 4 = 0

Persamaan kuadratnya adalah x² - 3x - 4 = 0.

Contoh 2.2.3: Akar-akar Irasional

Soal: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah (1 + √2) dan (1 - √2).

Penyelesaian:

1. Jumlah akar (S):

   S = (1 + √2) + (1 - √2)
   S = 1 + 1 + √2 - √2
   S = 2

2. Hasil kali akar (P): Ini adalah bentuk (A + B)(A - B) = A² - B².

   P = (1 + √2)(1 - √2)
   P = 1² - (√2)²
   P = 1 - 2
   P = -1

3. Substitusikan S dan P:

   x² - 2x + (-1) = 0
   x² - 2x - 1 = 0

Persamaan kuadratnya adalah x² - 2x - 1 = 0. Terlihat bahwa metode ini jauh lebih efisien untuk akar-akar irasional atau kompleks dibandingkan dengan perkalian faktor secara langsung.

2.3. Perbandingan Metode Perkalian Faktor dan Vieta

Meskipun kedua metode di atas menghasilkan hasil yang sama, ada beberapa pertimbangan kapan harus menggunakan yang mana:

• Perkalian Faktor: Lebih intuitif bagi pemula dan sangat baik untuk akar-akar bilangan bulat sederhana. Proses perkalian binomial membantu memperkuat pemahaman aljabar dasar.
• Rumus Vieta (Jumlah dan Hasil Kali Akar): Umumnya lebih cepat dan efisien, terutama ketika akar-akar melibatkan pecahan, akar kuadrat (irasional), atau bilangan kompleks. Ini mengurangi risiko kesalahan aljabar dalam proses perkalian yang panjang.

Pilihlah metode yang paling Anda kuasai atau yang paling cocok dengan bentuk akar-akar yang diberikan.

Bagian 3: Metode Menentukan Persamaan Kuadrat dari Grafiknya atau Titik-titik Tertentu

Terkadang, persamaan kuadrat perlu ditentukan dari informasi visual (grafik) atau dari koordinat titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi kuadrat. Ada beberapa skenario umum.

3.1. Dari Titik Puncak (Vertex) dan Satu Titik Lain

Jika kita mengetahui koordinat titik puncak parabola (grafik fungsi kuadrat) dan satu titik lain yang dilalui parabola tersebut, kita bisa menggunakan bentuk standar (bentuk puncak) dari fungsi kuadrat:

y = a(x - h)² + k

Di mana (h, k) adalah koordinat titik puncak parabola.

Penjelasan Mendalam:

Bentuk ini sangat kuat karena langsung mencakup informasi titik puncak. Koefisien a menentukan arah bukaan parabola (ke atas jika a > 0, ke bawah jika a < 0) dan "kelebaran" parabola. Setelah h dan k disubstitusikan, kita memerlukan satu titik lagi untuk menemukan nilai a yang unik.

Langkah-langkah:

1. Substitusikan koordinat titik puncak (h, k) ke dalam rumus y = a(x - h)² + k.
2. Substitusikan koordinat titik lain (x, y) yang dilalui grafik ke dalam persamaan yang terbentuk pada langkah 1. Ini akan menghasilkan sebuah persamaan linear dalam variabel a.
3. Selesaikan persamaan tersebut untuk menemukan nilai a.
4. Setelah a ditemukan, tulis kembali persamaan y = a(x - h)² + k dengan semua nilai a, h, k yang diketahui.
5. Kembangkan persamaan tersebut untuk mendapatkan bentuk umum y = ax² + bx + c atau ax² + bx + c = 0.

Contoh 3.1.1: Titik Puncak Positif, Titik Lain di Sumbu-Y

Soal: Tentukan persamaan kuadrat yang grafiknya memiliki titik puncak (1, -4) dan melalui titik (0, -3).

Penyelesaian:

1. Titik puncak adalah (h, k) = (1, -4). Substitusikan ke rumus:

   y = a(x - 1)² + (-4)
   y = a(x - 1)² - 4

2. Grafik melalui titik (0, -3). Substitusikan x = 0 dan y = -3 ke persamaan di atas:

   -3 = a(0 - 1)² - 4
   -3 = a(-1)² - 4
   -3 = a(1) - 4
   -3 = a - 4

3. Selesaikan untuk a:

   a = -3 + 4
   a = 1

4. Sekarang kita memiliki a = 1, h = 1, dan k = -4. Tulis ulang persamaan dalam bentuk puncak:

   y = 1(x - 1)² - 4

5. Kembangkan ke bentuk umum ax² + bx + c = 0:

   y = (x² - 2x + 1) - 4
   y = x² - 2x + 1 - 4
   y = x² - 2x - 3

Jadi, persamaan kuadratnya adalah x² - 2x - 3 = 0.

Contoh 3.1.2: Titik Puncak Negatif, Koefisien 'a' Negatif

Soal: Sebuah fungsi kuadrat memiliki titik puncak (-2, 5) dan grafiknya melalui titik (-1, 3). Tentukan persamaan kuadratnya.

Penyelesaian:

1. Titik puncak adalah (h, k) = (-2, 5). Substitusikan:

   y = a(x - (-2))² + 5
   y = a(x + 2)² + 5

2. Grafik melalui titik (-1, 3). Substitusikan x = -1 dan y = 3:

   3 = a(-1 + 2)² + 5
   3 = a(1)² + 5
   3 = a + 5

3. Selesaikan untuk a:

   a = 3 - 5
   a = -2

4. Tulis ulang persamaan dengan a = -2, h = -2, k = 5:

   y = -2(x + 2)² + 5

5. Kembangkan ke bentuk umum:

   y = -2(x² + 4x + 4) + 5
   y = -2x² - 8x - 8 + 5
   y = -2x² - 8x - 3

Maka, persamaan kuadratnya adalah -2x² - 8x - 3 = 0 (atau 2x² + 8x + 3 = 0 jika dikalikan -1).

3.2. Dari Tiga Titik yang Dilalui (Bentuk Umum)

Jika kita hanya diberikan tiga titik sembarang yang dilalui oleh grafik fungsi kuadrat, dan kita tidak memiliki informasi tentang akar-akar atau titik puncaknya, kita harus menggunakan bentuk umum persamaan kuadrat:

y = ax² + bx + c

Setiap titik (x, y) yang diketahui akan menghasilkan sebuah persamaan linear dalam variabel a, b, dan c. Dengan tiga titik, kita akan mendapatkan sistem tiga persamaan linear dengan tiga variabel, yang kemudian dapat kita selesaikan.

Penjelasan Mendalam:

Sebuah parabola (grafik fungsi kuadrat) secara unik ditentukan oleh tiga titik non-kolinier. Dengan mensubstitusikan koordinat dari ketiga titik tersebut ke dalam bentuk umum y = ax² + bx + c, kita akan membentuk sistem persamaan linear. Metode eliminasi atau substitusi kemudian dapat digunakan untuk menemukan nilai-nilai a, b, dan c.

Langkah-langkah:

1. Substitusikan koordinat masing-masing dari tiga titik (x₁, y₁), (x₂, y₂), dan (x₃, y₃) ke dalam bentuk umum y = ax² + bx + c. Ini akan menghasilkan tiga persamaan linear.
2. Selesaikan sistem tiga persamaan linear tersebut untuk menemukan nilai-nilai a, b, dan c.
3. Setelah a, b, dan c ditemukan, substitusikan kembali nilai-nilai tersebut ke dalam bentuk umum y = ax² + bx + c untuk mendapatkan persamaan kuadrat yang diinginkan.

Contoh 3.2.1: Salah Satu Titik adalah Perpotongan Sumbu-Y

Soal: Tentukan persamaan kuadrat yang grafiknya melalui titik (0, 3), (1, 0), dan (2, -1).

Penyelesaian:

1. Substitusikan masing-masing titik ke y = ax² + bx + c:
   • Untuk titik (0, 3):

     3 = a(0)² + b(0) + c
     3 = c

     Kita langsung mendapatkan nilai c = 3. Ini sangat memudahkan!
   • Untuk titik (1, 0), dengan c = 3:

     0 = a(1)² + b(1) + 3
     0 = a + b + 3
     a + b = -3  (Persamaan 1)

   • Untuk titik (2, -1), dengan c = 3:

     -1 = a(2)² + b(2) + 3
     -1 = 4a + 2b + 3
     4a + 2b = -4
     2a + b = -2  (Persamaan 2)

2. Selesaikan sistem persamaan linear yang terdiri dari Persamaan 1 dan Persamaan 2:

   1) a + b = -3
   2) 2a + b = -2

   Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2 untuk mengeliminasi b:

   (2a + b) - (a + b) = -2 - (-3)
   a = 1

   Substitusikan a = 1 ke Persamaan 1:

   1 + b = -3
   b = -3 - 1
   b = -4

   Jadi, kita telah menemukan a = 1, b = -4, dan c = 3.
3. Substitusikan nilai-nilai ini kembali ke bentuk umum:

   y = 1x² + (-4)x + 3
   y = x² - 4x + 3

Persamaan kuadratnya adalah x² - 4x + 3 = 0.

Contoh 3.2.2: Tidak Ada Titik Perpotongan Sumbu-Y Langsung

Soal: Tentukan persamaan kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1, 8), (1, 2), dan (2, 5).

Penyelesaian:

1. Substitusikan masing-masing titik ke y = ax² + bx + c:
   • Untuk titik (-1, 8):

     8 = a(-1)² + b(-1) + c
     8 = a - b + c  (Persamaan 1)

   • Untuk titik (1, 2):

     2 = a(1)² + b(1) + c
     2 = a + b + c  (Persamaan 2)

   • Untuk titik (2, 5):

     5 = a(2)² + b(2) + c
     5 = 4a + 2b + c  (Persamaan 3)

2. Selesaikan sistem persamaan linear tiga variabel:
   • Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1 untuk mengeliminasi a dan c:

     (a - b + c) - (a + b + c) = 8 - 2
     -2b = 6
     b = -3

   • Substitusikan b = -3 ke Persamaan 1 dan Persamaan 3:
     • Dari Persamaan 1:

       a - (-3) + c = 8
       a + 3 + c = 8
       a + c = 5  (Persamaan 4)

     • Dari Persamaan 3:

       4a + 2(-3) + c = 5
       4a - 6 + c = 5
       4a + c = 11  (Persamaan 5)

   • Selesaikan sistem dua persamaan linear (Persamaan 4 dan 5):

     4) a + c = 5
     5) 4a + c = 11

     Kurangkan Persamaan 4 dari Persamaan 5 untuk mengeliminasi c:

     (4a + c) - (a + c) = 11 - 5
     3a = 6
     a = 2

   • Substitusikan a = 2 ke Persamaan 4:

     2 + c = 5
     c = 3

   Kita telah menemukan a = 2, b = -3, dan c = 3.
3. Substitusikan nilai-nilai ini kembali ke bentuk umum:

   y = 2x² + (-3)x + 3
   y = 2x² - 3x + 3

Persamaan kuadratnya adalah 2x² - 3x + 3 = 0.

Bagian 4: Diskriminan dan Kaitannya dengan Penentuan Persamaan Kuadrat

Diskriminan adalah bagian dari rumus kuadratik yang memberikan informasi penting tentang sifat akar-akar persamaan kuadrat tanpa perlu menyelesaikan seluruh persamaan. Diskriminan, dilambangkan dengan D, dihitung menggunakan rumus:

D = b² - 4ac

Di mana a, b, dan c adalah koefisien dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

4.1. Makna Diskriminan

Nilai diskriminan menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat:

• Jika D > 0, persamaan memiliki dua akar real dan berbeda. Ini berarti grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-x di dua titik yang berbeda.
• Jika D = 0, persamaan memiliki dua akar real dan sama (kembar). Ini berarti grafik fungsi kuadrat hanya menyentuh sumbu-x di satu titik (titik puncaknya berada di sumbu-x).
• Jika D < 0, persamaan memiliki dua akar kompleks (imajiner) dan berbeda (konjugat). Ini berarti grafik fungsi kuadrat tidak memotong maupun menyentuh sumbu-x.

4.2. Bagaimana Diskriminan Digunakan untuk Menentukan Persamaan Kuadrat?

Diskriminan jarang digunakan untuk "membentuk" persamaan kuadrat secara langsung, tetapi lebih sering digunakan untuk:

1. Memverifikasi sifat akar dari persamaan yang telah ditentukan.
2. Menentukan koefisien yang hilang jika kondisi mengenai sifat akar diketahui (misalnya, "persamaan memiliki akar kembar").
3. Memastikan konsistensi suatu model matematis.

Contoh 4.2.1: Menentukan Persamaan dengan Akar Kembar

Soal: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya kembar dan nilai salah satu akarnya adalah 3.

Penyelesaian:

Jika akar-akarnya kembar dan salah satu akarnya adalah 3, maka kedua akarnya adalah x₁ = 3 dan x₂ = 3.

1. Gunakan metode perkalian faktor (atau jumlah dan hasil kali akar):

   (x - 3)(x - 3) = 0
   x² - 3x - 3x + 9 = 0
   x² - 6x + 9 = 0

   Ini adalah persamaan kuadrat yang dicari.
2. Kita bisa memverifikasi dengan diskriminan bahwa akarnya memang kembar:

   a = 1, b = -6, c = 9
   D = b² - 4ac
   D = (-6)² - 4(1)(9)
   D = 36 - 36
   D = 0

   Karena D = 0, akarnya adalah real dan kembar, yang sesuai dengan kondisi soal.

Persamaan kuadratnya adalah x² - 6x + 9 = 0.

Contoh 4.2.2: Menentukan Persamaan dengan Kondisi Diskriminan dan Informasi Tambahan

Soal: Sebuah persamaan kuadrat memiliki koefisien a = 1 dan c = 10. Jika persamaan ini memiliki dua akar real berbeda dan jumlah akar-akarnya adalah 7, tentukan persamaan kuadratnya.

Penyelesaian:

1. Kita diberikan a = 1, c = 10, dan jumlah akar S = x₁ + x₂ = 7. Dari rumus Vieta, kita tahu bahwa x₁ + x₂ = -b/a.

   7 = -b/1
   b = -7

   Jadi, koefisien b adalah -7.
2. Sekarang kita memiliki a = 1, b = -7, dan c = 10. Bentuk persamaan kuadratnya:

   ax² + bx + c = 0
   1x² + (-7)x + 10 = 0
   x² - 7x + 10 = 0

3. Kita harus memverifikasi bahwa persamaan ini memiliki dua akar real berbeda dengan menghitung diskriminan:

   D = b² - 4ac
   D = (-7)² - 4(1)(10)
   D = 49 - 40
   D = 9

   Karena D = 9 > 0, memang benar persamaan ini memiliki dua akar real yang berbeda. Kondisi soal terpenuhi.

Persamaan kuadratnya adalah x² - 7x + 10 = 0.

Contoh 4.2.3: Menentukan Koefisien 'b' dari Kondisi Akar Kembar

Soal: Sebuah persamaan kuadrat memiliki koefisien a = 2 dan c = 8. Jika persamaan ini memiliki akar-akar kembar, tentukan nilai b dan persamaan kuadratnya.

Penyelesaian:

1. Kondisi akar-akar kembar berarti D = 0. Kita tahu a = 2 dan c = 8. Substitusikan ke rumus diskriminan:

   D = b² - 4ac = 0
   b² - 4(2)(8) = 0
   b² - 64 = 0

2. Selesaikan untuk b:

   b² = 64
   b = ±√64
   b = ±8

   Ini berarti ada dua kemungkinan nilai untuk b, yaitu 8 atau -8.
3. Ada dua kemungkinan persamaan kuadrat:
   • Jika b = 8:

     2x² + 8x + 8 = 0

     (Dapat disederhanakan dengan membagi 2 menjadi x² + 4x + 4 = 0)
   • Jika b = -8:

     2x² - 8x + 8 = 0

     (Dapat disederhanakan dengan membagi 2 menjadi x² - 4x + 4 = 0)

Ada dua kemungkinan persamaan kuadrat yang memenuhi kondisi tersebut: 2x² + 8x + 8 = 0 atau 2x² - 8x + 8 = 0.

Bagian 5: Hubungan Akar dan Koefisien (Vieta's Formulas Lanjutan) untuk Menentukan Persamaan Baru

Salah satu aplikasi yang sangat berguna dari Rumus Vieta adalah untuk menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya memiliki hubungan tertentu dengan akar-akar dari persamaan kuadrat yang sudah diketahui. Ini seringkali lebih cepat daripada mencari nilai akar-akar lama, memodifikasinya, lalu membentuk persamaan baru.

5.1. Mengingat Kembali Rumus Vieta

Untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan akar-akar x₁ dan x₂:

• Jumlah Akar: x₁ + x₂ = -b/a
• Hasil Kali Akar: x₁ * x₂ = c/a

Dan persamaan kuadrat dapat dibentuk dari akar-akarnya x₁ dan x₂ dengan rumus:

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ * x₂) = 0

Ketika membentuk persamaan baru, kita akan menghitung jumlah dan hasil kali dari akar-akar yang baru (misalnya x₁' dan x₂') dan kemudian memasukkannya ke dalam rumus di atas.

Langkah-langkah Umum:

1. Dari persamaan kuadrat yang lama, tentukan jumlah (S) dan hasil kali (P) akar-akarnya menggunakan Rumus Vieta.
2. Ekspresikan akar-akar persamaan baru (x₁' dan x₂') dalam kaitannya dengan akar-akar lama (x₁ dan x₂).
3. Hitung jumlah akar baru (S' = x₁' + x₂') dan hasil kali akar baru (P' = x₁' * x₂') menggunakan nilai S dan P yang sudah dihitung pada langkah 1.
4. Bentukkan persamaan kuadrat baru menggunakan rumus x² - S'x + P' = 0.

Contoh 5.1: Akar-akar Ditambah Konstanta

Soal: Persamaan kuadrat x² - 5x + 6 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah (p + 2) dan (q + 2).

Penyelesaian:

1. Dari persamaan lama x² - 5x + 6 = 0, dengan a = 1, b = -5, c = 6:
   • Jumlah akar lama: p + q = -b/a = -(-5)/1 = 5
   • Hasil kali akar lama: p * q = c/a = 6/1 = 6
2. Akar-akar baru adalah x₁' = p + 2 dan x₂' = q + 2.
3. Hitung jumlah dan hasil kali akar baru:
   • Jumlah akar baru (S'):

     S' = (p + 2) + (q + 2)
     S' = p + q + 4
     S' = 5 + 4  (Substitusi p + q = 5 dari langkah 1)
     S' = 9

   • Hasil kali akar baru (P'):

     P' = (p + 2)(q + 2)
     P' = pq + 2p + 2q + 4
     P' = pq + 2(p + q) + 4
     P' = 6 + 2(5) + 4  (Substitusi p*q = 6 dan p+q = 5 dari langkah 1)
     P' = 6 + 10 + 4
     P' = 20

4. Bentukkan persamaan kuadrat baru:

   x² - S'x + P' = 0
   x² - 9x + 20 = 0

Persamaan kuadrat barunya adalah x² - 9x + 20 = 0.

Contoh 5.2: Akar-akar Berbentuk Invers

Soal: Persamaan kuadrat 2x² + x - 3 = 0 memiliki akar-akar α dan β. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah 1/α dan 1/β.

Penyelesaian:

1. Dari persamaan lama 2x² + x - 3 = 0, dengan a = 2, b = 1, c = -3:
   • Jumlah akar lama: α + β = -b/a = -1/2
   • Hasil kali akar lama: α * β = c/a = -3/2
2. Akar-akar baru adalah x₁' = 1/α dan x₂' = 1/β.
3. Hitung jumlah dan hasil kali akar baru:
   • Jumlah akar baru (S'):

     S' = 1/α + 1/β
     S' = (β + α) / (αβ)
     S' = (-1/2) / (-3/2)  (Substitusi α+β dan αβ dari langkah 1)
     S' = 1/3

   • Hasil kali akar baru (P'):

     P' = (1/α)(1/β)
     P' = 1 / (αβ)
     P' = 1 / (-3/2)
     P' = -2/3

4. Bentukkan persamaan kuadrat baru:

   x² - S'x + P' = 0
   x² - (1/3)x + (-2/3) = 0
   x² - (1/3)x - 2/3 = 0

   Untuk menghilangkan pecahan, kalikan seluruh persamaan dengan 3:

   3 * (x² - (1/3)x - 2/3) = 3 * 0
   3x² - x - 2 = 0

Persamaan kuadrat barunya adalah 3x² - x - 2 = 0.

Contoh 5.3: Akar-akar Berbentuk Selisih

Soal: Akar-akar persamaan x² - 4x + 1 = 0 adalah m dan n. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (m - n) dan (n - m).

Penyelesaian:

1. Dari persamaan lama x² - 4x + 1 = 0, dengan a = 1, b = -4, c = 1:
   • Jumlah akar lama: m + n = -b/a = -(-4)/1 = 4
   • Hasil kali akar lama: m * n = c/a = 1/1 = 1
2. Akar-akar baru adalah x₁' = (m - n) dan x₂' = (n - m). Perhatikan bahwa (n - m) = -(m - n).
3. Kita perlu menemukan nilai (m - n) terlebih dahulu. Kita tahu bahwa:

   (m - n)² = (m + n)² - 4mn

   Substitusikan nilai m + n = 4 dan m * n = 1:

   (m - n)² = (4)² - 4(1)
   (m - n)² = 16 - 4
   (m - n)² = 12

   Maka, m - n = √12 = 2√3. Dengan demikian, akar-akar baru adalah 2√3 dan -2√3.
4. Hitung jumlah dan hasil kali akar baru:
   • Jumlah akar baru (S'):

     S' = (m - n) + (n - m)
     S' = 2√3 + (-2√3)
     S' = 0

   • Hasil kali akar baru (P'):

     P' = (m - n)(n - m)
     P' = (2√3)(-2√3)
     P' = - (2√3)²
     P' = - (4 * 3)
     P' = -12

5. Bentukkan persamaan kuadrat baru:

   x² - S'x + P' = 0
   x² - 0x + (-12) = 0
   x² - 12 = 0

Persamaan kuadrat barunya adalah x² - 12 = 0.

Bagian 6: Menentukan Persamaan Kuadrat dari Konteks Masalah (Aplikasi Kata)

Persamaan kuadrat sering muncul sebagai model matematis untuk berbagai masalah dunia nyata, mulai dari fisika, ekonomi, hingga geometri. Kemampuan untuk "menentukan" persamaan kuadrat dari deskripsi verbal suatu masalah (aplikasi kata) adalah keterampilan yang sangat berharga.

Langkah-langkah Umum:

1. Identifikasi Variabel: Tentukan variabel yang tidak diketahui dan berikan simbol (biasanya x atau t).
2. Terjemahkan Informasi: Ubah kalimat-kalimat dalam soal menjadi ekspresi atau hubungan matematis yang melibatkan variabel yang telah Anda tentukan.
3. Bentuk Persamaan: Gabungkan ekspresi matematis ini menjadi sebuah persamaan kuadrat yang merepresentasikan masalah.
4. Selesaikan (Opsional): Jika diminta, selesaikan persamaan untuk menemukan nilai variabel. Namun, dalam konteks "menentukan persamaan kuadrat", langkah ini mungkin tidak selalu diperlukan.

Contoh 6.1: Masalah Luas Persegi Panjang

Soal: Sebuah taman berbentuk persegi panjang memiliki panjang 5 meter lebih dari lebarnya. Jika luas taman adalah 84 meter persegi, tentukan persamaan kuadrat yang menggambarkan hubungan ini.

Penyelesaian:

1. Identifikasi Variabel: Misalkan lebar taman adalah x meter. Karena panjangnya 5 meter lebih dari lebarnya, maka panjang taman adalah (x + 5) meter.
2. Terjemahkan Informasi: Rumus luas persegi panjang adalah Panjang × Lebar. Luas yang diberikan adalah 84 meter persegi. Jadi, kita bisa menulis: (Panjang) × (Lebar) = Luas.
3. Bentuk Persamaan:

   (x + 5) * x = 84

   Kembangkan dan pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan bentuk umum persamaan kuadrat:

   x² + 5x = 84
   x² + 5x - 84 = 0

Persamaan kuadrat yang menggambarkan hubungan ini adalah x² + 5x - 84 = 0. Dengan menyelesaikan persamaan ini, kita dapat menemukan nilai x (lebar) dan kemudian panjang taman.

Contoh 6.2: Masalah Bilangan

Soal: Jumlah dua bilangan adalah 10, dan hasil kali kedua bilangan tersebut adalah 24. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah kedua bilangan tersebut.

Penyelesaian:

1. Identifikasi Variabel: Misalkan kedua bilangan tersebut adalah x₁ dan x₂.
2. Terjemahkan Informasi: Diberikan:
   • Jumlah kedua bilangan: x₁ + x₂ = 10
   • Hasil kali kedua bilangan: x₁ * x₂ = 24
3. Bentuk Persamaan: Kita tahu bahwa persamaan kuadrat yang akar-akarnya x₁ dan x₂ dapat dibentuk menggunakan rumus Vieta terbalik:

   x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ * x₂) = 0

   Substitusikan nilai jumlah dan hasil kali yang diketahui:

   x² - (10)x + (24) = 0
   x² - 10x + 24 = 0

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah kedua bilangan tersebut adalah x² - 10x + 24 = 0.

Contoh 6.3: Masalah Gerak Proyektil (Tinggi Benda)

Soal: Tinggi h (dalam meter) sebuah bola yang dilempar ke atas dari tanah setelah t detik diberikan oleh fungsi kuadrat h(t) = at² + bt + c. Jika diketahui bola mencapai ketinggian maksimum 45 meter setelah 3 detik, dan bola dilempar dari tanah (tinggi awal 0), tentukan persamaan tinggi bola tersebut.

Penyelesaian:

1. Identifikasi Informasi Penting:
   • Ketinggian maksimum adalah titik puncak parabola. Jadi, titik puncak (t, h) = (3, 45). Ini berarti h = 3 dan k = 45 dalam bentuk puncak h(t) = a(t - h)² + k.
   • Bola dilempar dari tanah, yang berarti pada waktu t = 0, tingginya h(0) = 0. Ini adalah titik (0, 0) yang dilalui grafik.
2. Gunakan Bentuk Puncak:

   h(t) = a(t - h)² + k

   Substitusikan titik puncak (3, 45):

   h(t) = a(t - 3)² + 45

3. Temukan Nilai 'a' menggunakan Titik Lain: Grafik melalui titik (0, 0). Substitusikan t = 0 dan h(t) = 0:

   0 = a(0 - 3)² + 45
   0 = a(-3)² + 45
   0 = 9a + 45
   9a = -45
   a = -5

4. Bentukkan Persamaan Akhir: Substitusikan a = -5 kembali ke bentuk puncak:

   h(t) = -5(t - 3)² + 45

   Kembangkan ke bentuk umum at² + bt + c:

   h(t) = -5(t² - 6t + 9) + 45
   h(t) = -5t² + 30t - 45 + 45
   h(t) = -5t² + 30t

Persamaan kuadrat yang menggambarkan tinggi bola setelah t detik adalah h(t) = -5t² + 30t.

Bagian 7: Kesalahan Umum dan Tips Tambahan

Dalam proses menentukan persamaan kuadrat, beberapa kesalahan sering terjadi. Memahami kesalahan-kesalahan ini dan mengikuti tips praktis dapat membantu Anda meningkatkan akurasi dan efisiensi.

7.1. Kesalahan Umum

• Kesalahan Tanda: Ini adalah salah satu penyebab paling umum dari kesalahan, terutama saat berhadapan dengan akar-akar negatif atau saat menggunakan rumus Vieta (`-b/a`). Selalu periksa tanda Anda dengan cermat.
• Kekeliruan Aljabar: Kesalahan saat melakukan perkalian binomial (misalnya, `(x-h)²`), menyederhanakan suku-suku sejenis, atau menyelesaikan sistem persamaan linear.
• Mengabaikan `a ≠ 0` : Lupa bahwa koefisien `a` tidak boleh nol. Jika perhitungan Anda menghasilkan `a = 0`, maka itu bukan persamaan kuadrat.
• Tidak Menyederhanakan Persamaan Akhir: Meskipun `2x² + 4x + 2 = 0` secara matematis benar, bentuk yang lebih sederhana seperti `x² + 2x + 1 = 0` (dengan membagi seluruh persamaan dengan 2) umumnya lebih disukai.
• Salah Substitusi Titik: Ketika menggunakan titik puncak atau tiga titik, pastikan Anda mensubstitusikan nilai `x` ke `x` dan `y` ke `y` dengan benar.

7.2. Tips Tambahan untuk Keberhasilan

• Pahami Konsep, Bukan Hanya Hafal Rumus: Mengapa `(x - x₁)(x - x₂)` bekerja? Mengapa `D = 0` berarti akar kembar? Memahami dasar-dasarnya akan membuat Anda lebih fleksibel dalam memecahkan masalah.
• Latihan Rutin: Matematika adalah tentang latihan. Semakin banyak Anda berlatih berbagai jenis soal, semakin Anda akan familiar dengan pola dan strategi penyelesaiannya.
• Periksa Jawaban Anda: Setelah Anda menentukan persamaan kuadrat, luangkan waktu sejenak untuk memverifikasi.
  • Jika Anda menggunakan akar-akar, substitusikan kembali akar-akar tersebut ke dalam persamaan yang Anda temukan untuk memastikan hasilnya nol.
  • Jika Anda menggunakan titik-titik, substitusikan koordinat titik-titik tersebut ke dalam persamaan untuk memastikan persamaan tersebut benar.
  • Jika Anda menggunakan diskriminan, hitunglah diskriminan dari persamaan akhir Anda untuk memastikan sesuai dengan kondisi yang diberikan.
• Gunakan Visualisasi: Untuk masalah yang melibatkan grafik (titik puncak atau tiga titik), cobalah membuat sketsa kasar grafiknya. Ini dapat membantu Anda memahami bentuk parabola dan memeriksa apakah jawaban Anda masuk akal (misalnya, jika `a` positif, parabola harus terbuka ke atas).
• Tuliskan Langkah-langkah dengan Jelas: Terutama untuk sistem persamaan linear, menuliskan setiap langkah secara sistematis akan mengurangi risiko kesalahan dan memudahkan Anda melacak jika ada kesalahan.
• Manfaatkan Sumber Daya: Jangan ragu untuk mencari contoh tambahan, video tutorial, atau penjelasan lain jika Anda merasa kesulitan dengan suatu konsep.

Kesimpulan

Menentukan persamaan kuadrat adalah keterampilan fundamental dalam matematika yang memiliki aplikasi luas. Kita telah menjelajahi berbagai metode untuk mencapai tujuan ini, masing-masing dengan kelebihan dan situasi penggunaannya sendiri:

• Dari Akar-akar: Baik melalui perkalian faktor (x - x₁)(x - x₂) = 0 maupun menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar Vieta x² - Sx + P = 0, metode ini adalah yang paling langsung jika akar-akar diketahui.
• Dari Titik Puncak dan Satu Titik Lain: Menggunakan bentuk y = a(x - h)² + k sangat efisien jika titik puncak (h, k) diketahui.
• Dari Tiga Titik Sembarang: Dengan mensubstitusikan tiga titik (x, y) ke dalam bentuk umum y = ax² + bx + c, kita dapat membentuk dan menyelesaikan sistem persamaan linear untuk menemukan koefisien a, b, dan c.
• Memanfaatkan Diskriminan: Meskipun tidak secara langsung membentuk persamaan, diskriminan D = b² - 4ac sangat penting untuk memverifikasi sifat akar dan sering digunakan untuk menemukan koefisien yang hilang jika kondisi akar (real berbeda, kembar, atau kompleks) diketahui.
• Aplikasi Lanjutan Rumus Vieta: Sangat berguna untuk membangun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya memiliki hubungan matematis dengan akar-akar persamaan yang sudah ada.
• Dari Konteks Masalah: Menerjemahkan skenario dunia nyata ke dalam model matematis berbentuk persamaan kuadrat adalah aplikasi praktis yang vital.

Penguasaan metode-metode ini akan memperkuat pemahaman Anda tentang aljabar dan membuka pintu untuk memecahkan masalah-masalah yang lebih kompleks. Ingatlah bahwa kunci keberhasilan terletak pada pemahaman konsep yang kuat, latihan yang konsisten, dan kebiasaan untuk selalu memeriksa hasil pekerjaan Anda. Semoga panduan ini bermanfaat bagi perjalanan belajar matematika Anda!