Panduan Lengkap: Cara Menentukan Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah salah satu pilar fundamental dalam matematika, terutama di cabang aljabar. Kehadirannya tidak hanya penting dalam teori matematika, tetapi juga memiliki aplikasi yang sangat luas dalam berbagai disiplin ilmu seperti fisika, rekayasa, ekonomi, hingga biologi. Dari memodelkan lintasan proyektil hingga mengoptimalkan profit perusahaan, persamaan kuadrat selalu menjadi alat yang ampuh untuk memecahkan masalah.

Artikel ini akan membahas secara mendalam tentang "cara menentukan persamaan kuadrat". Ini bukan hanya tentang menyelesaikan persamaan yang sudah ada untuk mencari akar-akarnya, melainkan tentang bagaimana kita bisa membangun atau 'menemukan' bentuk persamaan kuadrat itu sendiri berdasarkan informasi atau kondisi tertentu yang diberikan. Kemampuan ini sangat krusial, karena dalam banyak situasi nyata, kita seringkali dihadapkan pada data atau deskripsi masalah, dan tugas kita adalah mengubahnya menjadi model matematis berupa persamaan kuadrat.

Kita akan memulai dengan memahami bentuk umum persamaan kuadrat, kemudian menyelami berbagai metode untuk menentukannya. Setiap metode akan dijelaskan langkah demi langkah dengan contoh-contoh yang bervariasi, memastikan Anda memiliki pemahaman yang komprehensif dan praktis. Mari kita mulai perjalanan menyingkap misteri di balik penentuan persamaan kuadrat!

Apa Itu Persamaan Kuadrat? Bentuk Umum dan Komponennya

Sebelum kita melangkah lebih jauh, penting untuk memiliki pemahaman yang kuat tentang definisi dan struktur dasar dari persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Artinya, variabel tertinggi yang ada dalam persamaan tersebut dipangkatkan dua.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Secara umum, sebuah persamaan kuadrat dapat dituliskan dalam bentuk:

ax² + bx + c = 0

Di mana:

• x adalah variabel yang tidak diketahui.
• a, b, dan c adalah koefisien atau konstanta.
• a adalah koefisien dari x² dan tidak boleh sama dengan nol (a ≠ 0). Jika a = 0, persamaan tersebut bukan lagi persamaan kuadrat, melainkan persamaan linear.
• b adalah koefisien dari x.
• c adalah konstanta (suku bebas).

Contoh Persamaan Kuadrat:

• 2x² + 3x - 5 = 0 (di sini, a=2, b=3, c=-5)
• x² - 9 = 0 (di sini, a=1, b=0, c=-9)
• -3x² + 7x = 0 (di sini, a=-3, b=7, c=0)

Fungsi Kuadrat dan Grafiknya

Ketika kita berbicara tentang persamaan kuadrat, seringkali kita juga akan bertemu dengan istilah "fungsi kuadrat". Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum:

f(x) = ax² + bx + c

atau y = ax² + bx + c.

Grafik dari fungsi kuadrat adalah sebuah kurva yang dikenal sebagai parabola. Bentuk parabola ini sangat bergantung pada nilai koefisien a:

• Jika a > 0, parabola akan terbuka ke atas.
• Jika a < 0, parabola akan terbuka ke bawah.

Memahami hubungan antara persamaan kuadrat dan grafiknya sangat membantu dalam memvisualisasikan masalah dan solusi. Koefisien b mempengaruhi posisi sumbu simetri parabola, dan c adalah titik potong grafik dengan sumbu Y (karena ketika x=0, y=c).

Metode Menentukan Persamaan Kuadrat dari Akar-akar yang Diketahui

Salah satu skenario paling umum dalam menentukan persamaan kuadrat adalah ketika kita mengetahui akar-akar atau solusi dari persamaan tersebut. Akar-akar ini adalah nilai-nilai x yang membuat persamaan menjadi benar (yaitu, ax² + bx + c = 0).

Metode 1: Menggunakan Rumus Faktor

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat, maka persamaan tersebut dapat dibentuk dari faktor-faktornya. Logikanya adalah, jika x₁ adalah akar, maka (x - x₁) adalah faktor dari persamaan tersebut. Demikian pula untuk x₂.

Bentuk umumnya adalah:

(x - x₁)(x - x₂) = 0

Setelah itu, Anda perlu mengalikan kedua faktor ini (menggunakan metode FOIL - First, Outer, Inner, Last atau distributif) untuk mendapatkan bentuk ax² + bx + c = 0.

Contoh 1.1:

Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x₁ = 2 dan x₂ = 5.

Langkah-langkah:

1. Substitusikan akar-akar ke dalam rumus faktor:

   (x - 2)(x - 5) = 0

2. Kalikan kedua faktor:

   x * x  +  x * (-5)  +  (-2) * x  +  (-2) * (-5) = 0
   x² - 5x - 2x + 10 = 0

3. Sederhanakan persamaan:

   x² - 7x + 10 = 0

Jadi, persamaan kuadratnya adalah x² - 7x + 10 = 0.

Contoh 1.2:

Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x₁ = -3 dan x₂ = 4.

Langkah-langkah:

1. Substitusikan akar-akar:

   (x - (-3))(x - 4) = 0
   (x + 3)(x - 4) = 0

2. Kalikan kedua faktor:

   x * x  +  x * (-4)  +  3 * x  +  3 * (-4) = 0
   x² - 4x + 3x - 12 = 0

3. Sederhanakan persamaan:

   x² - x - 12 = 0

Jadi, persamaan kuadratnya adalah x² - x - 12 = 0.

Contoh 1.3 (Akar Pecahan):

Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x₁ = 1/2 dan x₂ = -3/4.

Langkah-langkah:

1. Substitusikan akar-akar:

   (x - 1/2)(x - (-3/4)) = 0
   (x - 1/2)(x + 3/4) = 0

2. Kalikan kedua faktor:

   x * x  +  x * (3/4)  +  (-1/2) * x  +  (-1/2) * (3/4) = 0
   x² + (3/4)x - (1/2)x - 3/8 = 0

3. Sederhanakan koefisien x:

   x² + (3/4 - 2/4)x - 3/8 = 0
   x² + (1/4)x - 3/8 = 0

4. Untuk menghilangkan pecahan, kalikan seluruh persamaan dengan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut (dalam hal ini, KPK dari 4 dan 8 adalah 8):

   8 * (x² + (1/4)x - 3/8) = 8 * 0
   8x² + 2x - 3 = 0

Jadi, persamaan kuadratnya adalah 8x² + 2x - 3 = 0.

Metode 2: Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar (Rumus Vieta)

Untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, jika x₁ dan x₂ adalah akar-akarnya, maka terdapat hubungan yang sangat berguna antara akar-akar tersebut dengan koefisien persamaan:

1. Jumlah Akar: x₁ + x₂ = -b/a
2. Hasil Kali Akar: x₁ * x₂ = c/a

Hubungan ini dikenal sebagai Rumus Vieta. Kita bisa memanfaatkannya untuk membentuk persamaan kuadrat dalam bentuk:

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ * x₂) = 0

Perhatikan bahwa bentuk ini berlaku ketika a=1. Jika kita ingin a memiliki nilai lain, kita bisa mengalikan seluruh persamaan dengan a setelah membentuknya, atau langsung menggunakan definisi -b/a dan c/a.

Contoh 2.1:

Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x₁ = 2 dan x₂ = 5.

Langkah-langkah:

1. Hitung jumlah akar:

   x₁ + x₂ = 2 + 5 = 7

2. Hitung hasil kali akar:

   x₁ * x₂ = 2 * 5 = 10

3. Substitusikan ke dalam rumus x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ * x₂) = 0:

   x² - (7)x + (10) = 0
   x² - 7x + 10 = 0

Hasilnya sama dengan Metode 1: x² - 7x + 10 = 0.

Contoh 2.2:

Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x₁ = -3 dan x₂ = 4.

Langkah-langkah:

1. Hitung jumlah akar:

   x₁ + x₂ = -3 + 4 = 1

2. Hitung hasil kali akar:

   x₁ * x₂ = (-3) * 4 = -12

3. Substitusikan ke dalam rumus:

   x² - (1)x + (-12) = 0
   x² - x - 12 = 0

Hasilnya juga sama dengan Metode 1: x² - x - 12 = 0.

Contoh 2.3 (Akar Pecahan):

Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x₁ = 1/2 dan x₂ = -3/4.

Langkah-langkah:

1. Hitung jumlah akar:

   x₁ + x₂ = 1/2 + (-3/4) = 2/4 - 3/4 = -1/4

2. Hitung hasil kali akar:

   x₁ * x₂ = (1/2) * (-3/4) = -3/8

3. Substitusikan ke dalam rumus:

   x² - (-1/4)x + (-3/8) = 0
   x² + (1/4)x - 3/8 = 0

4. Kalikan seluruh persamaan dengan 8 (KPK dari penyebut) untuk menghilangkan pecahan:

   8x² + 2x - 3 = 0

Sekali lagi, hasilnya konsisten: 8x² + 2x - 3 = 0.

Metode Menentukan Persamaan Kuadrat dari Titik-Titik yang Dilalui

Terkadang, kita tidak diberikan akar-akar, melainkan beberapa titik koordinat (x, y) yang dilalui oleh grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c. Untuk menentukan persamaan kuadrat dari informasi ini, kita perlu menggunakan pendekatan yang berbeda.

Metode 3: Melalui Tiga Titik Sembarang

Sebuah parabola (grafik fungsi kuadrat) secara unik ditentukan oleh tiga titik yang tidak segaris. Jika kita memiliki tiga titik (x₁, y₁), (x₂, y₂), dan (x₃, y₃) yang dilalui oleh parabola, kita dapat mensubstitusikan koordinat setiap titik ke dalam bentuk umum fungsi kuadrat y = ax² + bx + c. Ini akan menghasilkan sistem persamaan linear tiga variabel (a, b, c) yang dapat kita selesaikan.

Contoh 3.1:

Tentukan persamaan kuadrat yang grafiknya melalui titik (1, 2), (-1, 6), dan (2, 3).

Langkah-langkah:

1. Substitusikan setiap titik ke dalam y = ax² + bx + c:
   • Untuk (1, 2):

     2 = a(1)² + b(1) + c  =>  a + b + c = 2  (Persamaan 1)

   • Untuk (-1, 6):

     6 = a(-1)² + b(-1) + c  =>  a - b + c = 6  (Persamaan 2)

   • Untuk (2, 3):

     3 = a(2)² + b(2) + c  =>  4a + 2b + c = 3  (Persamaan 3)

2. Selesaikan sistem persamaan linear tiga variabel ini. Kita bisa menggunakan metode eliminasi dan substitusi.

   Eliminasi c dari (1) dan (2):

   (a + b + c = 2)
   (a - b + c = 6)
   ----------------- (-)
   2b = -4  =>  b = -2  (Persamaan 4)

   Substitusikan b = -2 ke (1) dan (3) untuk mendapatkan dua persamaan baru dengan a dan c:

   • Dari (1): a + (-2) + c = 2 => a + c = 4 (Persamaan 5)
   • Dari (3): 4a + 2(-2) + c = 3 => 4a - 4 + c = 3 => 4a + c = 7 (Persamaan 6)

   Eliminasi c dari (5) dan (6):

   (4a + c = 7)
   (a + c = 4)
   --------------- (-)
   3a = 3  =>  a = 1

   Substitusikan a = 1 ke (5) untuk mencari c:

   1 + c = 4  =>  c = 3

3. Setelah mendapatkan nilai a=1, b=-2, dan c=3, substitusikan kembali ke bentuk umum y = ax² + bx + c:

   y = 1x² + (-2)x + 3
   y = x² - 2x + 3

Jadi, persamaan kuadratnya adalah y = x² - 2x + 3.

Metode 4: Menggunakan Titik Puncak (Vertex) dan Satu Titik Lain

Jika kita mengetahui koordinat titik puncak parabola (xp, yp) dan satu titik lain (x, y) yang dilaluinya, kita bisa menggunakan bentuk fungsi kuadrat yang berpusat pada puncak:

y = a(x - xp)² + yp

Di mana:

• (xp, yp) adalah koordinat titik puncak (vertex).
• (x, y) adalah koordinat titik lain yang dilalui grafik.
• a adalah koefisien yang perlu dicari.

Setelah mensubstitusikan xp, yp, x, dan y, kita dapat menyelesaikan untuk a. Setelah a ditemukan, substitusikan kembali nilai a, xp, dan yp ke dalam rumus, lalu ekspansikan untuk mendapatkan bentuk y = ax² + bx + c.

Contoh 4.1:

Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki titik puncak (1, -2) dan melalui titik (3, 2).

Langkah-langkah:

1. Identifikasi xp, yp, x, dan y:
   • xp = 1
   • yp = -2
   • x = 3
   • y = 2
2. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus y = a(x - xp)² + yp untuk mencari a:

   2 = a(3 - 1)² + (-2)
   2 = a(2)² - 2
   2 = 4a - 2
   4 = 4a
   a = 1

3. Setelah a = 1, substitusikan kembali a, xp, dan yp ke dalam rumus puncak:

   y = 1(x - 1)² + (-2)
   y = (x² - 2x + 1) - 2
   y = x² - 2x - 1

Jadi, persamaan kuadratnya adalah y = x² - 2x - 1.

Contoh 4.2:

Sebuah parabola memiliki titik puncak (-2, 5) dan memotong sumbu Y di (0, 1). Tentukan persamaan kuadratnya.

Langkah-langkah:

1. Identifikasi xp, yp, x, dan y:
   • xp = -2
   • yp = 5
   • x = 0 (dari titik potong sumbu Y)
   • y = 1 (dari titik potong sumbu Y)
2. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus y = a(x - xp)² + yp untuk mencari a:

   1 = a(0 - (-2))² + 5
   1 = a(2)² + 5
   1 = 4a + 5
   -4 = 4a
   a = -1

3. Setelah a = -1, substitusikan kembali a, xp, dan yp ke dalam rumus puncak:

   y = -1(x - (-2))² + 5
   y = -(x + 2)² + 5
   y = -(x² + 4x + 4) + 5
   y = -x² - 4x - 4 + 5
   y = -x² - 4x + 1

Jadi, persamaan kuadratnya adalah y = -x² - 4x + 1.

Metode 5: Menggunakan Titik Potong Sumbu X (Akar-akar) dan Satu Titik Lain

Metode ini adalah variasi dari penggunaan akar-akar, tetapi dengan informasi tambahan dari satu titik sembarang (x, y) yang dilalui grafik. Jika kita mengetahui titik potong sumbu X (yaitu akar-akar x₁ dan x₂), kita bisa menggunakan bentuk faktorisasi yang dimodifikasi:

y = a(x - x₁)(x - x₂)

Di sini, a adalah koefisien yang perlu kita cari. Dengan mensubstitusikan koordinat titik potong sumbu X (akar-akar) dan satu titik (x, y) lain yang dilalui grafik, kita dapat menyelesaikan untuk a. Setelah a ditemukan, substitusikan kembali a, x₁, dan x₂, lalu ekspansikan untuk mendapatkan bentuk y = ax² + bx + c.

Contoh 5.1:

Tentukan persamaan kuadrat yang memotong sumbu X di titik (2, 0) dan (-3, 0), serta melalui titik (1, -12).

Langkah-langkah:

1. Identifikasi akar-akar x₁ dan x₂, serta titik (x, y):
   • x₁ = 2
   • x₂ = -3
   • x = 1
   • y = -12
2. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus y = a(x - x₁)(x - x₂) untuk mencari a:

   -12 = a(1 - 2)(1 - (-3))
   -12 = a(-1)(1 + 3)
   -12 = a(-1)(4)
   -12 = -4a
   a = 3

3. Setelah a = 3, substitusikan kembali a, x₁, dan x₂ ke dalam rumus:

   y = 3(x - 2)(x - (-3))
   y = 3(x - 2)(x + 3)
   y = 3(x² + 3x - 2x - 6)
   y = 3(x² + x - 6)
   y = 3x² + 3x - 18

Jadi, persamaan kuadratnya adalah y = 3x² + 3x - 18.

Contoh 5.2:

Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di (-1, 0) dan (3, 0). Titik potong sumbu Y adalah (0, 6). Tentukan persamaan fungsi kuadrat tersebut.

Langkah-langkah:

1. Identifikasi akar-akar x₁ dan x₂, serta titik (x, y):
   • x₁ = -1
   • x₂ = 3
   • x = 0 (dari titik potong sumbu Y)
   • y = 6 (dari titik potong sumbu Y)
2. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus y = a(x - x₁)(x - x₂) untuk mencari a:

   6 = a(0 - (-1))(0 - 3)
   6 = a(1)(-3)
   6 = -3a
   a = -2

3. Setelah a = -2, substitusikan kembali a, x₁, dan x₂ ke dalam rumus:

   y = -2(x - (-1))(x - 3)
   y = -2(x + 1)(x - 3)
   y = -2(x² - 3x + x - 3)
   y = -2(x² - 2x - 3)
   y = -2x² + 4x + 6

Jadi, persamaan kuadratnya adalah y = -2x² + 4x + 6.

Kaitan dengan Sumbu Simetri dan Diskriminan

Pengetahuan tentang sumbu simetri dan diskriminan juga dapat menjadi kunci dalam menentukan persamaan kuadrat jika informasi yang diberikan berkaitan dengan properti-properti ini.

Sumbu Simetri

Sumbu simetri parabola adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris sempurna. Rumus untuk sumbu simetri adalah:

x_s = -b / (2a)

Perhatikan bahwa x_s juga merupakan koordinat x dari titik puncak (xp). Jadi, jika kita diberikan sumbu simetri dan informasi lain, kita bisa menggunakannya.

Contoh 6.1: Menentukan persamaan kuadrat jika diketahui sumbu simetri dan dua titik

Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki sumbu simetri x = 2 dan melalui titik (1, 3) serta (4, 0).

Langkah-langkah:

1. Dari sumbu simetri x = 2, kita tahu bahwa koordinat x puncak adalah xp = 2. Kita bisa menggunakan bentuk y = a(x - xp)² + yp, sehingga menjadi y = a(x - 2)² + yp.
2. Substitusikan kedua titik ke dalam persamaan ini:
   • Untuk (1, 3):

     3 = a(1 - 2)² + yp
     3 = a(-1)² + yp
     3 = a + yp  (Persamaan A)

   • Untuk (4, 0):

     0 = a(4 - 2)² + yp
     0 = a(2)² + yp
     0 = 4a + yp  (Persamaan B)

3. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel a dan yp:

   Eliminasi yp dari (A) dan (B):

   (4a + yp = 0)
   (a + yp = 3)
   ----------------- (-)
   3a = -3
   a = -1

   Substitusikan a = -1 ke (A):

   -1 + yp = 3
   yp = 4

4. Setelah mendapatkan a = -1 dan yp = 4, substitusikan kembali ke y = a(x - 2)² + yp:

   y = -1(x - 2)² + 4
   y = -(x² - 4x + 4) + 4
   y = -x² + 4x - 4 + 4
   y = -x² + 4x

Jadi, persamaan kuadratnya adalah y = -x² + 4x.

Diskriminan (D)

Diskriminan, dilambangkan dengan D = b² - 4ac, memberikan informasi tentang jenis akar-akar persamaan kuadrat:

• Jika D > 0, ada dua akar real yang berbeda.
• Jika D = 0, ada satu akar real (akar kembar).
• Jika D < 0, tidak ada akar real (akar-akar kompleks konjugat).

Informasi diskriminan ini bisa digunakan jika diketahui kondisi akar-akar, yang kemudian bisa dikombinasikan dengan metode lain. Misalnya, jika diketahui bahwa parabola hanya menyentuh sumbu X pada satu titik (yaitu, memiliki akar kembar), maka kita tahu D=0.

Contoh 7.1: Menentukan persamaan kuadrat jika diketahui akar kembar dan satu titik lain.

Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki akar kembar di x = 3 dan melalui titik (1, 8).

Langkah-langkah:

1. Karena memiliki akar kembar di x = 3, maka ini berarti x₁ = x₂ = 3. Kita bisa menggunakan bentuk faktor y = a(x - x₁)² atau y = a(x - 3)². Perhatikan bahwa ini juga berarti (3, 0) adalah titik puncak parabola yang menyentuh sumbu X.
2. Substitusikan titik (1, 8) ke dalam persamaan y = a(x - 3)² untuk mencari a:

   8 = a(1 - 3)²
   8 = a(-2)²
   8 = 4a
   a = 2

3. Setelah a = 2, substitusikan kembali ke persamaan:

   y = 2(x - 3)²
   y = 2(x² - 6x + 9)
   y = 2x² - 12x + 18

Jadi, persamaan kuadratnya adalah y = 2x² - 12x + 18.

Strategi Pemilihan Metode

Dengan berbagai metode yang tersedia, penting untuk mengetahui kapan harus menggunakan yang mana. Berikut adalah panduan singkat:

• Jika diketahui dua akar (titik potong sumbu X): Gunakan Metode 1 (Rumus Faktor) atau Metode 2 (Rumus Vieta). Keduanya sangat efisien. Jika ada titik lain yang diketahui selain akar, gunakan Metode 5.
• Jika diketahui titik puncak dan satu titik lain: Gunakan Metode 4 (Rumus Puncak). Ini adalah metode paling langsung dalam kasus ini.
• Jika diketahui tiga titik sembarang (tidak ada informasi khusus tentang akar atau puncak): Gunakan Metode 3 (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel). Ini adalah metode yang paling umum dan selalu berhasil jika ada tiga titik yang unik.
• Jika diketahui sumbu simetri dan dua titik lain: Ini adalah variasi dari Metode 4. Gunakan xp = -b/(2a) dari sumbu simetri untuk membentuk y = a(x - xp)² + yp, lalu substitusikan dua titik untuk menemukan a dan yp.
• Jika diketahui akar kembar: Ini berarti Anda tahu x₁ = x₂ dan yp = 0 (jika akarnya bukan di sumbu Y), sehingga Anda bisa menggunakan y = a(x - x₁)² dan satu titik lain untuk mencari a.

Aplikasi Persamaan Kuadrat dalam Berbagai Bidang

Kemampuan untuk menentukan persamaan kuadrat dari data yang diberikan sangat penting karena persamaan ini sering muncul sebagai model matematis untuk berbagai fenomena di dunia nyata. Berikut adalah beberapa contoh aplikasinya:

1. Fisika: Gerak Proyektil

Lintasan benda yang dilempar (seperti bola basket, peluru, atau air mancur) di udara, tanpa hambatan udara yang signifikan, mengikuti bentuk parabola. Fungsi ketinggian benda sebagai fungsi waktu atau jarak horizontal dapat dimodelkan oleh persamaan kuadrat. Ilmuwan atau insinyur mungkin perlu menentukan persamaan lintasan berdasarkan titik awal, titik tertinggi (puncak), dan titik jatuhnya benda (akar-akar).

Contoh Kasus: Sebuah meriam menembakkan proyektil. Jika diketahui proyektil mencapai tinggi maksimum 100 meter pada jarak horizontal 50 meter dari titik tembak, dan jatuh di jarak 100 meter dari titik tembak, kita bisa menentukan persamaan lintasannya.

• Titik puncak: (50, 100)
• Titik jatuh (akar): (100, 0). Karena parabola simetris, titik tembak (akar lainnya) adalah (0,0).
• Dengan xp=50, yp=100, dan melalui (0,0) atau (100,0), kita bisa menggunakan y = a(x - xp)² + yp.
• 0 = a(0 - 50)² + 100 => 0 = a(2500) + 100 => -100 = 2500a => a = -100/2500 = -1/25.
• Maka persamaan lintasannya adalah y = -1/25(x - 50)² + 100.

2. Ekonomi dan Bisnis: Optimasi

Dalam ekonomi, persamaan kuadrat sering digunakan untuk memodelkan fungsi biaya, pendapatan, atau profit. Titik puncak parabola dapat menunjukkan titik maksimum atau minimum, yang sangat relevan untuk mengoptimalkan operasi bisnis (misalnya, mencari harga yang menghasilkan profit maksimum atau biaya produksi minimum).

Contoh Kasus: Sebuah perusahaan menemukan bahwa fungsi profit P(x) (dalam jutaan rupiah) dari penjualan x unit produk dapat dimodelkan oleh persamaan kuadrat. Jika diketahui profit maksimum adalah 12 juta rupiah ketika menjual 400 unit, dan profit adalah 0 ketika tidak ada penjualan (0 unit), kita bisa mencari persamaannya.

• Titik puncak (maksimum): (400, 12)
• Titik lain: (0, 0)
• Menggunakan P(x) = a(x - xp)² + yp:
• 0 = a(0 - 400)² + 12 => 0 = a(160000) + 12 => -12 = 160000a => a = -12/160000 = -3/40000.
• Maka persamaan profitnya adalah P(x) = -3/40000(x - 400)² + 12.

3. Teknik dan Arsitektur: Desain Struktur

Lengkungan jembatan gantung, desain kubah, atau bentuk antena parabola seringkali mengadopsi bentuk parabola karena sifatnya yang kuat dan efisien dalam mendistribusikan beban atau memantulkan gelombang. Insinyur arsitek perlu menentukan persamaan kuadrat untuk desain yang tepat agar struktur memiliki kekuatan dan fungsi yang diinginkan.

Contoh Kasus: Sebuah lengkungan jembatan akan dibangun. Desainer ingin puncak lengkungan berada 10 meter di atas tanah, dan lebar bentang lengkungan di dasar adalah 40 meter. Jika titik tengah bentangan dianggap x=0, maka akar-akarnya adalah -20 dan 20, dan puncaknya adalah (0, 10).

• Akar-akar: x₁ = -20, x₂ = 20
• Titik lain (puncak): (0, 10)
• Menggunakan y = a(x - x₁)(x - x₂):
• 10 = a(0 - (-20))(0 - 20) => 10 = a(20)(-20) => 10 = -400a => a = -10/400 = -1/40.
• Maka persamaan lengkungan adalah y = -1/40(x + 20)(x - 20) = -1/40(x² - 400) = -1/40 x² + 10.

4. Olahraga: Analisis Pergerakan

Dalam olahraga seperti golf, basket, atau atletik, lintasan benda (bola, peluru, atau atlet yang melompat) dapat dianalisis menggunakan persamaan kuadrat untuk mengoptimalkan performa atau memprediksi hasil.

5. Matematika Murni dan Lainnya

Selain aplikasi di atas, persamaan kuadrat adalah dasar untuk memahami fungsi-fungsi lain yang lebih kompleks dan merupakan alat penting dalam pemodelan matematika di banyak bidang ilmu pengetahuan dan teknik.

Kesalahan Umum dan Tips Menghindarinya

Dalam menentukan persamaan kuadrat, ada beberapa kesalahan umum yang sering terjadi. Menyadari kesalahan-kesalahan ini dapat membantu Anda menghindarinya.

1. Kesalahan Tanda dalam Rumus:
   • Pada (x - x₁)(x - x₂) = 0, pastikan tanda minusnya benar, terutama jika akar-akar negatif. Contoh: jika x₁ = -3, maka faktornya adalah (x - (-3)) = (x + 3).
   • Pada x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ * x₂) = 0, perhatikan tanda minus di depan jumlah akar.
   • Pada y = a(x - xp)² + yp, pastikan tanda minus di dalam kurung untuk xp dan tanda plus untuk yp.
   Tips: Selalu cek ulang substitusi nilai dan tanda negatif. Gunakan kurung secara konsisten untuk menghindari kebingungan.
2. Kesalahan Perhitungan Aljabar:
   • Saat mengalikan faktor (x - x₁)(x - x₂), pastikan semua suku dikalikan dengan benar (metode FOIL).
   • Saat menyelesaikan sistem persamaan linear untuk mencari a, b, c, lakukan eliminasi atau substitusi dengan cermat.
   Tips: Lakukan setiap langkah perhitungan secara terpisah dan hati-hati. Gunakan kalkulator untuk memeriksa penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian yang kompleks.
3. Tidak Mengidentifikasi Informasi Kunci:
   • Terkadang soal tidak secara eksplisit menyatakan "akar-akar" tetapi "titik potong sumbu X", yang berarti sama.
   • Soal mungkin tidak menyebut "titik puncak" tetapi "titik balik maksimum/minimum" atau "sumbu simetri dan nilai ekstrim".
   Tips: Baca soal dengan saksama dan identifikasi semua informasi yang diberikan serta apa yang diwakilinya dalam konteks persamaan kuadrat (akar, puncak, titik sembarang).
4. Lupa Mengalikan dengan Koefisien 'a':
   • Setelah mendapatkan bentuk x² - (jumlah)x + (hasil kali) = 0, ini berlaku untuk a=1. Jika pada akhirnya Anda menemukan a yang berbeda (misalnya dari Metode 5), pastikan Anda mengalikan seluruh persamaan dengan a tersebut. Hal yang sama berlaku jika Anda menggunakan y = a(x - x₁)(x - x₂) atau y = a(x - xp)² + yp dan lupa mengalikan kembali a ke bentuk yang diperluas.
   Tips: Selalu ingat bahwa koefisien a bisa jadi bukan 1. Periksa kembali ke bentuk umum ax² + bx + c = 0 atau y = ax² + bx + c pada langkah terakhir.
5. Asumsi yang Salah:
   • Jangan mengasumsikan bahwa c=0 kecuali dinyatakan bahwa grafik melalui titik asal (0,0) atau memotong sumbu Y di 0.
   • Jangan mengasumsikan a=1 kecuali ada informasi yang mendukung.
   Tips: Berpegang teguh pada informasi yang diberikan dan gunakan metode yang sesuai. Hindari membuat asumsi yang tidak didukung data.

Latihan Mandiri (dengan Petunjuk)

Untuk menguji pemahaman Anda, cobalah selesaikan soal-soal berikut. Petunjuk singkat akan diberikan, tetapi cobalah untuk menyelesaikannya sendiri terlebih dahulu.

Soal 1

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah x₁ = -4 dan x₂ = 6.

Soal 2

Sebuah grafik fungsi kuadrat memiliki titik puncak (-1, 3) dan melalui titik (0, 1). Tentukan persamaan kuadratnya.

Soal 3

Tentukan persamaan kuadrat yang melalui titik (0, 1), (1, 0), dan (-2, 9).

Soal 4

Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di (5, 0) dan (-1, 0), serta melalui titik (2, -18). Tentukan persamaan fungsi kuadrat tersebut.

Soal 5

Sebuah parabola memiliki sumbu simetri x = -3 dan melalui titik (-2, 5) serta (-4, 5). Tentukan persamaan kuadratnya.

Solusi Latihan Mandiri

Solusi Soal 1:

Menggunakan Rumus Vieta:

• Jumlah akar: x₁ + x₂ = -4 + 6 = 2
• Hasil kali akar: x₁ * x₂ = (-4) * 6 = -24
• Persamaan: x² - (2)x + (-24) = 0 => x² - 2x - 24 = 0

Jawaban: x² - 2x - 24 = 0

Solusi Soal 2:

Puncak (xp, yp) = (-1, 3), titik (x, y) = (0, 1).

• Substitusi ke y = a(x - xp)² + yp:

  1 = a(0 - (-1))² + 3
  1 = a(1)² + 3
  1 = a + 3
  a = -2

• Substitusi a = -2, xp = -1, yp = 3:

  y = -2(x - (-1))² + 3
  y = -2(x + 1)² + 3
  y = -2(x² + 2x + 1) + 3
  y = -2x² - 4x - 2 + 3
  y = -2x² - 4x + 1

Jawaban: y = -2x² - 4x + 1

Solusi Soal 3:

Titik-titik: (0, 1), (1, 0), (-2, 9).

• Dari (0, 1): 1 = a(0)² + b(0) + c => c = 1.
• Persamaan menjadi y = ax² + bx + 1.
• Untuk (1, 0): 0 = a(1)² + b(1) + 1 => a + b + 1 = 0 => a + b = -1 (Persamaan A)
• Untuk (-2, 9): 9 = a(-2)² + b(-2) + 1 => 4a - 2b + 1 = 9 => 4a - 2b = 8 => 2a - b = 4 (Persamaan B)
• Eliminasi b dari (A) dan (B):

  (a + b = -1)
  (2a - b = 4)
  -------------- (+)
  3a = 3 => a = 1

• Substitusi a = 1 ke (A): 1 + b = -1 => b = -2.
• Jadi, a = 1, b = -2, c = 1.
• Persamaan: y = 1x² - 2x + 1 => y = x² - 2x + 1.

Jawaban: y = x² - 2x + 1

Solusi Soal 4:

Akar-akar: x₁ = 5, x₂ = -1. Titik lain: (x, y) = (2, -18).

• Substitusi ke y = a(x - x₁)(x - x₂):

  -18 = a(2 - 5)(2 - (-1))
  -18 = a(-3)(3)
  -18 = -9a
  a = 2

• Substitusi a = 2, x₁ = 5, x₂ = -1:

  y = 2(x - 5)(x + 1)
  y = 2(x² + x - 5x - 5)
  y = 2(x² - 4x - 5)
  y = 2x² - 8x - 10

Jawaban: y = 2x² - 8x - 10

Solusi Soal 5:

Sumbu simetri xp = -3. Melalui (-2, 5) dan (-4, 5). Menggunakan y = a(x - xp)² + yp, maka y = a(x - (-3))² + yp => y = a(x + 3)² + yp.

• Substitusi titik (-2, 5):

  5 = a(-2 + 3)² + yp
  5 = a(1)² + yp
  5 = a + yp  (Persamaan A)

• Substitusi titik (-4, 5):

  5 = a(-4 + 3)² + yp
  5 = a(-1)² + yp
  5 = a + yp  (Persamaan B)

  Perhatikan bahwa kedua titik memberikan persamaan yang sama, a + yp = 5. Ini wajar karena kedua titik simetris. Kita hanya punya satu persamaan, tapi juga perhatikan bahwa kita bisa mengamati puncak, karena kedua titik memiliki y yang sama. Titik puncak berada di tengah-tengah dua titik tersebut pada sumbu x=-3. Titik puncak y adalah yp. Oh, sebenarnya kita tidak perlu mencari a dan yp secara terpisah karena kita punya satu persamaan saja. Ini menunjukkan bahwa ada lebih dari satu parabola yang bisa melalui titik-titik ini dengan sumbu simetri yang sama jika a dan yp belum unik.

  Namun, jika kita lihat, kedua titik tersebut memiliki y=5. Karena x=-3 adalah sumbu simetri, dan (-2,5) serta (-4,5) keduanya berada pada y=5, ini berarti bahwa puncak (yang berada pada sumbu simetri) memiliki y yang lebih tinggi atau lebih rendah dari 5, tergantung apakah parabola terbuka ke bawah atau ke atas. Dalam kasus ini, kita tidak bisa menentukan a dan yp secara unik hanya dengan dua titik simetris dan sumbu simetri. Kita memerlukan titik ketiga atau informasi lain tentang a atau yp. Soal ini sepertinya ambigu atau membutuhkan asumsi.

  Mari kita perbaiki soal ini atau penjelasannya agar lebih jelas. Biasanya, jika diberikan sumbu simetri dan dua titik, dua titik tersebut *tidak* harus simetris terhadap sumbu simetri atau memiliki y yang sama. Jika mereka memiliki y yang sama dan simetris, mereka sebenarnya hanya memberikan satu informasi unik (yaitu nilai y untuk x simetris).

  Asumsi (untuk dapat diselesaikan): Jika maksud soal adalah salah satu dari (-2,5) dan (-4,5) adalah titik puncak, itu akan langsung memberi kita yp. Tapi ini bukan.

  Karena a + yp = 5, kita tidak dapat menemukan nilai a dan yp secara unik. Ada banyak pasangan (a, yp) yang memenuhi ini (misalnya, jika a=1, yp=4; jika a=2, yp=3, dll.).

  Kesimpulan untuk soal 5: Dengan informasi yang diberikan, tidak mungkin menentukan persamaan kuadrat secara unik. Anda memerlukan satu titik tambahan atau informasi mengenai a atau yp.

  Untuk tujuan latihan, jika kita salah menginterpretasikan dan menganggap (-2,5) dan (-4,5) adalah akar-akar, atau jika salah satunya adalah puncak, maka bisa diselesaikan. Namun, dengan interpretasi harfiah, soal ini kekurangan informasi. Mari kita asumsikan ada kesalahan penulisan soal dan sebenarnya ada satu titik non-simetris lagi, atau salah satu titik ini sebenarnya titik puncaknya. Jika tidak, jawabannya adalah 'tidak dapat ditentukan secara unik'.

  Misal, jika soalnya adalah: Sebuah parabola memiliki sumbu simetri x = -3 dan melalui titik (-2, 5) serta memotong sumbu Y di (0, 14). (Ini akan membuat soalnya dapat diselesaikan).

  • xp = -3. Bentuk: y = a(x + 3)² + yp.
  • Titik (-2, 5): 5 = a(-2 + 3)² + yp => 5 = a + yp (Persamaan A)
  • Titik (0, 14): 14 = a(0 + 3)² + yp => 14 = 9a + yp (Persamaan B)
  • Eliminasi yp dari (A) dan (B):

    (9a + yp = 14)
    (a + yp = 5)
    -------------- (-)
    8a = 9 => a = 9/8

  • Substitusi a = 9/8 ke (A): 5 = 9/8 + yp => yp = 5 - 9/8 = 40/8 - 9/8 = 31/8.
  • Persamaan: y = 9/8(x + 3)² + 31/8.
  • y = 9/8(x² + 6x + 9) + 31/8
  • y = 9/8 x² + 54/8 x + 81/8 + 31/8
  • y = 9/8 x² + 27/4 x + 112/8
  • y = 9/8 x² + 27/4 x + 14

  Ini adalah contoh bagaimana soal harusnya dirumuskan agar memiliki solusi unik.

Kesimpulan untuk Latihan Soal 5 (asli): Tidak dapat ditentukan secara unik karena informasi yang diberikan kurang lengkap. Dua titik yang simetris terhadap sumbu simetri hanya memberikan satu persamaan yang sama.

Penutup

Menentukan persamaan kuadrat adalah keterampilan fundamental yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang. Dari metode faktorisasi yang sederhana menggunakan akar-akar, hingga pendekatan yang lebih kompleks dengan sistem persamaan linear dari tiga titik, setiap metode memiliki kegunaan spesifik tergantung pada informasi yang tersedia. Pemahaman yang kuat tentang bentuk umum persamaan kuadrat, sifat-sifat parabola, serta hubungan antara koefisien dan karakteristik grafik akan sangat membantu Anda dalam menguasai topik ini.

Dengan berlatih secara konsisten dan memahami logika di balik setiap metode, Anda akan dapat dengan percaya diri menentukan persamaan kuadrat dari berbagai kondisi. Ingatlah untuk selalu memeriksa kembali langkah-langkah dan perhitungan Anda, serta tidak ragu untuk memvisualisasikan masalah dalam bentuk grafik jika memungkinkan. Semoga artikel ini memberikan panduan yang komprehensif dan bermanfaat dalam perjalanan Anda memahami matematika!