Aljabar Linier adalah cabang matematika yang mempelajari vektor, ruang vektor (atau ruang linier), transformasi linier, dan sistem persamaan linier. Ini adalah salah satu mata kuliah fundamental dalam bidang sains, teknologi, teknik, dan matematika karena aplikasinya yang luas dalam komputasi grafis, analisis data, pembelajaran mesin, hingga fisika kuantum. Memahami konsep dasarnya sangat penting untuk memecahkan masalah dunia nyata yang dapat dimodelkan secara linier.
Fokus utama dalam aljabar linier adalah pada representasi data menggunakan matriks dan vektor. Matriks memungkinkan kita untuk mengorganisir sekumpulan bilangan dan melakukan operasi matematika yang merepresentasikan transformasi geometris atau solusi sistem persamaan.
Kurikulum Aljabar Linier biasanya dibagi menjadi beberapa blok utama yang saling berkaitan:
Ini adalah titik awal. Materi ini membahas cara merepresentasikan sekumpulan persamaan linier (misalnya, $3x + 2y = 7$ dan $x - y = 1$) dalam bentuk matriks $Ax=b$. Metode penyelesaian yang dominan adalah eliminasi Gauss dan reduksi baris eselon tereduksi (RREF) untuk menemukan solusi unik, solusi tak hingga, atau tidak ada solusi.
Meliputi definisi matriks, jenis-jenis matriks (identitas, nol, segitiga), dan operasi dasar seperti penjumlahan, perkalian matriks, transpose, dan invers. Perkalian matriks adalah operasi krusial karena ia mendefinisikan komposisi transformasi.
Konsep ini memperluas gagasan tentang vektor dua atau tiga dimensi ke dimensi $n$. Materi ini memperkenalkan konsep ruang vektor abstrak, subruang, kombinasi linier, rentang (span), kebebasan linier (linear independence), basis, dan dimensi. Basis adalah "fondasi" minimal yang diperlukan untuk membangun semua vektor dalam ruang tersebut.
Transformasi linier $T: V \to W$ adalah fungsi antara dua ruang vektor yang mempertahankan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar. Setiap transformasi linier dapat direpresentasikan oleh sebuah matriks unik. Materi ini juga membahas kernel (ruang nol) dan rentang (range/column space) dari transformasi tersebut.
Determinan adalah skalar yang dapat dihitung dari matriks persegi. Nilai determinan memberikan informasi penting:
Ini adalah salah satu topik paling penting dan aplikatif. Vektor eigen ($\mathbf{v}$) dari sebuah matriks $A$ adalah vektor yang, ketika ditransformasikan oleh $A$, hanya mengalami penskalaan, bukan perubahan arah. Hubungannya dirumuskan sebagai $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$, di mana $\lambda$ adalah nilai eigen (faktor skala). Konsep ini sangat vital dalam analisis stabilitas sistem dinamis dan dekomposisi matriks.
Banyak mahasiswa merasa Aljabar Linier sulit karena sifatnya yang abstrak. Kunci keberhasilan adalah selalu mengaitkan konsep abstrak (seperti ruang vektor) dengan representasi geometris (seperti garis dan bidang) dan representasi komputasional (seperti matriks). Misalnya, ketika mempelajari basis, bayangkan basis standar $\mathbf{i}$ dan $\mathbf{j}$ pada bidang 2D. Ketika mempelajari determinan, ingat bahwa itu mewakili faktor perubahan luas atau volume setelah transformasi. Latihan soal yang konsisten, terutama yang melibatkan bukti dan interpretasi geometris, akan sangat membantu memperkuat pemahaman materi kuliah aljabar linier ini.