Panduan Lengkap: Cara Menentukan Persamaan Kuadrat dan Akar-Akarnya

Persamaan kuadrat adalah salah satu topik fundamental dalam aljabar yang memiliki aplikasi luas di berbagai bidang, mulai dari fisika, rekayasa, ekonomi, hingga arsitektur. Memahami cara menentukan persamaan kuadrat dan menemukan solusi atau "akar-akarnya" adalah keterampilan esensial yang membuka pintu untuk pemecahan masalah yang lebih kompleks. Artikel ini akan membawa Anda dalam perjalanan mendalam untuk menguasai konsep persamaan kuadrat, dari definisi dasar hingga metode penyelesaian yang paling canggih, dilengkapi dengan contoh-contoh praktis dan penjelasan yang mudah dipahami.

Seringkali, dihadapkan pada masalah yang melibatkan hubungan non-linier, kita akan menemukan bahwa persamaan kuadrat menjadi alat yang sangat ampuh. Misalnya, menghitung lintasan proyektil, mengoptimalkan luas suatu area dengan batasan tertentu, atau bahkan memodelkan pertumbuhan populasi. Oleh karena itu, kemampuan untuk mengidentifikasi, menganalisis, dan menyelesaikan persamaan kuadrat bukan hanya sekadar latihan matematika, melainkan sebuah keahlian praktis yang sangat berharga.

Apa Itu Persamaan Kuadrat?

Secara sederhana, persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Artinya, variabel tertinggi dalam persamaan tersebut memiliki pangkat dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

ax² + bx + c = 0

Di mana:

• x adalah variabel atau bilangan yang tidak diketahui nilainya.
• a, b, dan c adalah koefisien, yaitu bilangan nyata (konstanta).
• a adalah koefisien dari x² dan tidak boleh nol (a ≠ 0). Jika a = 0, maka persamaan tersebut akan menjadi persamaan linier bx + c = 0.
• b adalah koefisien dari x.
• c adalah konstanta atau suku bebas.

Tujuan utama dari menentukan persamaan kuadrat adalah mencari nilai-nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Nilai-nilai x ini sering disebut sebagai akar-akar atau solusi atau penyelesaian dari persamaan kuadrat. Sebuah persamaan kuadrat dapat memiliki dua akar nyata yang berbeda, satu akar nyata (kembar), atau dua akar kompleks (tidak nyata).

Contoh Persamaan Kuadrat

• x² - 5x + 6 = 0 (di sini a=1, b=-5, c=6)
• 2x² + 7x - 4 = 0 (di sini a=2, b=7, c=-4)
• x² - 9 = 0 (di sini a=1, b=0, c=-9)
• 3x² + 6x = 0 (di sini a=3, b=6, c=0)

Masing-masing contoh di atas memenuhi syarat dasar persamaan kuadrat, yaitu memiliki variabel dengan pangkat tertinggi dua dan koefisien a yang tidak sama dengan nol.

Metode Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar (solusi) dari persamaan kuadrat. Pemilihan metode seringkali bergantung pada bentuk dan kompleksitas persamaan yang diberikan. Tiga metode utama yang paling umum digunakan adalah pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat (Rumus ABC).

1. Metode Pemfaktoran (Factoring)

Metode pemfaktoran adalah cara mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan mengubah bentuk persamaan menjadi perkalian dua faktor linier. Metode ini paling efektif digunakan ketika akar-akar persamaan adalah bilangan bulat atau rasional dan dapat ditemukan dengan relatif mudah.

Konsep Dasar Pemfaktoran

Jika kita memiliki dua bilangan p dan q sedemikian rupa sehingga (x - p)(x - q) = 0, maka akar-akarnya adalah x = p dan x = q. Metode pemfaktoran bertujuan untuk mengurai persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 menjadi bentuk perkalian dua faktor seperti ini.

Langkah-Langkah Pemfaktoran

Kasus 1: Persamaan Kuadrat dengan a = 1 (x² + bx + c = 0)

Untuk bentuk ini, kita perlu mencari dua bilangan, sebut saja p dan q, yang jika dikalikan hasilnya adalah c dan jika dijumlahkan hasilnya adalah b.
Maka, persamaan dapat difaktorkan menjadi (x + p)(x + q) = 0.

Contoh 1.1: Tentukan akar-akar dari x² - 5x + 6 = 0.

1. Identifikasi b = -5 dan c = 6.
2. Cari dua bilangan yang hasil kalinya 6 dan jumlahnya -5. Bilangan-bilangan tersebut adalah -2 dan -3 (karena (-2) × (-3) = 6 dan (-2) + (-3) = -5).
3. Faktorkan persamaan menjadi (x - 2)(x - 3) = 0.
4. Atur setiap faktor sama dengan nol untuk menemukan akar-akarnya:
   • x - 2 = 0 → x₁ = 2
   • x - 3 = 0 → x₂ = 3

Jadi, akar-akar persamaan x² - 5x + 6 = 0 adalah x = 2 dan x = 3.

Contoh 1.2: Tentukan akar-akar dari x² + 7x + 10 = 0.

1. Identifikasi b = 7 dan c = 10.
2. Cari dua bilangan yang hasil kalinya 10 dan jumlahnya 7. Bilangan-bilangan tersebut adalah 2 dan 5 (karena 2 × 5 = 10 dan 2 + 5 = 7).
3. Faktorkan persamaan menjadi (x + 2)(x + 5) = 0.
4. Atur setiap faktor sama dengan nol:
   • x + 2 = 0 → x₁ = -2
   • x + 5 = 0 → x₂ = -5

Jadi, akar-akar persamaan x² + 7x + 10 = 0 adalah x = -2 dan x = -5.

Kasus 2: Persamaan Kuadrat dengan a ≠ 1 (ax² + bx + c = 0)

Metode ini sedikit lebih kompleks. Salah satu cara umum adalah dengan metode AC (kali-bagi) atau pengelompokan.

Langkah-langkah Metode AC:

1. Kalikan a dan c.
2. Cari dua bilangan p dan q yang jika dikalikan hasilnya a × c dan jika dijumlahkan hasilnya b.
3. Tulis ulang persamaan kuadrat dengan memecah suku tengah bx menjadi px + qx.
4. Faktorkan dengan mengelompokkan suku-suku (pemfaktoran per kelompok).

Contoh 2.1: Tentukan akar-akar dari 2x² + 7x + 3 = 0.

1. Identifikasi a = 2, b = 7, c = 3.
2. Hitung a × c = 2 × 3 = 6.
3. Cari dua bilangan yang hasil kalinya 6 dan jumlahnya 7. Bilangan-bilangan tersebut adalah 1 dan 6 (karena 1 × 6 = 6 dan 1 + 6 = 7).
4. Pecah suku tengah 7x menjadi 1x + 6x:

   2x² + 1x + 6x + 3 = 0

5. Kelompokkan dan faktorkan:

   (2x² + 1x) + (6x + 3) = 0
                   x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0
                   (x + 3)(2x + 1) = 0

6. Atur setiap faktor sama dengan nol:
   • x + 3 = 0 → x₁ = -3
   • 2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x₂ = -1/2

Jadi, akar-akar persamaan 2x² + 7x + 3 = 0 adalah x = -3 dan x = -1/2.

Contoh 2.2: Tentukan akar-akar dari 3x² - 10x - 8 = 0.

1. Identifikasi a = 3, b = -10, c = -8.
2. Hitung a × c = 3 × (-8) = -24.
3. Cari dua bilangan yang hasil kalinya -24 dan jumlahnya -10. Bilangan-bilangan tersebut adalah 2 dan -12 (karena 2 × (-12) = -24 dan 2 + (-12) = -10).
4. Pecah suku tengah -10x menjadi 2x - 12x:

   3x² + 2x - 12x - 8 = 0

5. Kelompokkan dan faktorkan:

   (3x² + 2x) + (-12x - 8) = 0
                   x(3x + 2) - 4(3x + 2) = 0
                   (x - 4)(3x + 2) = 0

6. Atur setiap faktor sama dengan nol:
   • x - 4 = 0 → x₁ = 4
   • 3x + 2 = 0 → 3x = -2 → x₂ = -2/3

Jadi, akar-akar persamaan 3x² - 10x - 8 = 0 adalah x = 4 dan x = -2/3.

Kasus Khusus Pemfaktoran

Ada beberapa bentuk persamaan kuadrat yang memiliki pola faktorisasi khusus:

1. Selisih Dua Kuadrat: x² - k² = 0

   Bentuk ini selalu dapat difaktorkan menjadi (x - k)(x + k) = 0. Akar-akarnya adalah x = k dan x = -k.

   Contoh 3.1: Tentukan akar-akar dari x² - 9 = 0.

   Di sini k² = 9, maka k = 3. Faktornya adalah (x - 3)(x + 3) = 0. Akar-akarnya adalah x = 3 dan x = -3.

   Contoh 3.2: Tentukan akar-akar dari 4x² - 25 = 0.

   Ini bisa ditulis sebagai (2x)² - 5² = 0. Faktornya adalah (2x - 5)(2x + 5) = 0. Akar-akarnya adalah 2x - 5 = 0 → x₁ = 5/2 dan 2x + 5 = 0 → x₂ = -5/2.

2. Persamaan Kuadrat Tanpa Konstanta (c = 0): ax² + bx = 0

   Bentuk ini selalu dapat difaktorkan dengan mengeluarkan faktor x. x(ax + b) = 0. Akar-akarnya adalah x = 0 dan ax + b = 0 → x = -b/a.

   Contoh 4.1: Tentukan akar-akar dari x² + 4x = 0.

   Faktornya adalah x(x + 4) = 0. Akar-akarnya adalah x = 0 dan x + 4 = 0 → x = -4.

   Contoh 4.2: Tentukan akar-akar dari 5x² - 15x = 0.

   Faktornya adalah 5x(x - 3) = 0. Akar-akarnya adalah 5x = 0 → x = 0 dan x - 3 = 0 → x = 3.

Meskipun pemfaktoran adalah metode yang cepat, tidak semua persamaan kuadrat mudah difaktorkan, terutama jika akar-akarnya bukan bilangan bulat atau rasional. Untuk kasus tersebut, metode lain lebih disarankan.

2. Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna (Completing the Square)

Metode melengkapkan kuadrat sempurna adalah proses mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu (x + k)² = d atau (x - k)² = d. Dari bentuk ini, akar-akar dapat dengan mudah ditemukan dengan menarik akar kuadrat dari kedua sisi.

Konsep Dasar

Sebuah trinomial kuadrat sempurna adalah ekspresi seperti x² + 2kx + k² yang dapat difaktorkan menjadi (x + k)², atau x² - 2kx + k² yang menjadi (x - k)². Perhatikan bahwa koefisien x (yaitu 2k atau -2k) memiliki hubungan langsung dengan konstanta k²: konstanta adalah kuadrat dari setengah koefisien x.

Langkah-Langkah Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Untuk menyelesaikan ax² + bx + c = 0 menggunakan metode ini:

1. Pastikan koefisien x² (yaitu a) adalah 1. Jika tidak, bagi seluruh persamaan dengan a.

   x² + (b/a)x + (c/a) = 0

2. Pindahkan konstanta c/a ke sisi kanan persamaan.

   x² + (b/a)x = -c/a

3. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien x ke kedua sisi persamaan. Setengah dari b/a adalah b/(2a), jadi tambahkan (b/(2a))² ke kedua sisi.

   x² + (b/a)x + (b/(2a))² = -c/a + (b/(2a))²

4. Sisi kiri persamaan sekarang adalah kuadrat sempurna. Ubah menjadi bentuk (x + b/(2a))².

   (x + b/(2a))² = -c/a + b²/(4a²)

5. Sederhanakan sisi kanan.

   (x + b/(2a))² = (b² - 4ac) / (4a²)

6. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi. Ingatlah untuk menyertakan ±.

   x + b/(2a) = ±√((b² - 4ac) / (4a²))

7. Selesaikan untuk x.

   x = -b/(2a) ± √(b² - 4ac) / (2a)
                   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

   Perhatikan bahwa langkah terakhir ini menghasilkan Rumus Kuadrat (Rumus ABC) yang akan kita bahas selanjutnya. Ini menunjukkan bahwa rumus kuadrat sebenarnya diturunkan dari metode melengkapkan kuadrat sempurna!

Contoh 5.1: Tentukan akar-akar dari x² - 6x + 8 = 0.

1. Koefisien x² sudah 1.
2. Pindahkan konstanta ke kanan:

   x² - 6x = -8

3. Setengah dari koefisien x (yaitu -6) adalah -3. Kuadratnya adalah (-3)² = 9. Tambahkan 9 ke kedua sisi:

   x² - 6x + 9 = -8 + 9
                   (x - 3)² = 1

4. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:

   x - 3 = ±√1
                   x - 3 = ±1

5. Selesaikan untuk x:
   • x₁ - 3 = 1 → x₁ = 1 + 3 → x₁ = 4
   • x₂ - 3 = -1 → x₂ = -1 + 3 → x₂ = 2

Jadi, akar-akar persamaan x² - 6x + 8 = 0 adalah x = 4 dan x = 2.

Contoh 5.2: Tentukan akar-akar dari 2x² + 8x - 10 = 0.

1. Bagi seluruh persamaan dengan 2 agar koefisien x² menjadi 1:

   x² + 4x - 5 = 0

2. Pindahkan konstanta ke kanan:

   x² + 4x = 5

3. Setengah dari koefisien x (yaitu 4) adalah 2. Kuadratnya adalah 2² = 4. Tambahkan 4 ke kedua sisi:

   x² + 4x + 4 = 5 + 4
                   (x + 2)² = 9

4. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:

   x + 2 = ±√9
                   x + 2 = ±3

5. Selesaikan untuk x:
   • x₁ + 2 = 3 → x₁ = 3 - 2 → x₁ = 1
   • x₂ + 2 = -3 → x₂ = -3 - 2 → x₂ = -5

Jadi, akar-akar persamaan 2x² + 8x - 10 = 0 adalah x = 1 dan x = -5.

Metode melengkapkan kuadrat sempurna selalu berhasil untuk setiap persamaan kuadrat, terlepas dari apakah akar-akarnya rasional, irasional, atau kompleks. Ini adalah metode yang solid dan merupakan dasar dari rumus kuadrat.

3. Rumus Kuadrat (Rumus ABC)

Rumus kuadrat, sering disebut juga Rumus ABC, adalah metode yang paling universal dan seringkali paling cepat untuk menemukan akar-akar persamaan kuadrat. Rumus ini diturunkan dari metode melengkapkan kuadrat sempurna dan dapat diterapkan pada persamaan kuadrat manapun.

Bentuk Rumus Kuadrat

Untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, akar-akarnya diberikan oleh rumus:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

Di mana:

• a, b, dan c adalah koefisien dari persamaan kuadrat.
• Simbol ± berarti ada dua solusi: satu menggunakan tanda plus dan satu lagi menggunakan tanda minus.
• Ekspresi di bawah akar kuadrat, yaitu b² - 4ac, disebut diskriminan (D). Nilai diskriminan sangat penting karena menentukan sifat akar-akar persamaan.

Langkah-Langkah Menggunakan Rumus Kuadrat

1. Pastikan persamaan kuadrat dalam bentuk standar ax² + bx + c = 0.
2. Identifikasi nilai-nilai a, b, dan c. Berhati-hatilah dengan tanda positif atau negatifnya.
3. Substitusikan nilai-nilai a, b, dan c ke dalam rumus kuadrat.
4. Sederhanakan dan hitung nilai x₁ (menggunakan +) dan x₂ (menggunakan -).

Contoh 6.1: Tentukan akar-akar dari x² - 5x + 6 = 0 menggunakan rumus kuadrat.

1. Persamaan sudah dalam bentuk standar.
2. Identifikasi koefisien: a = 1, b = -5, c = 6.
3. Substitusikan ke dalam rumus:

   x = [-(-5) ± √((-5)² - 4 × 1 × 6)] / (2 × 1)
                   x = [5 ± √(25 - 24)] / 2
                   x = [5 ± √1] / 2
                   x = [5 ± 1] / 2

4. Hitung akar-akarnya:
   • x₁ = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3
   • x₂ = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2

Jadi, akar-akar persamaan x² - 5x + 6 = 0 adalah x = 3 dan x = 2. Ini cocok dengan hasil dari metode pemfaktoran.

Contoh 6.2: Tentukan akar-akar dari 3x² + 7x + 2 = 0 menggunakan rumus kuadrat.

1. Persamaan sudah dalam bentuk standar.
2. Identifikasi koefisien: a = 3, b = 7, c = 2.
3. Substitusikan ke dalam rumus:

   x = [-7 ± √(7² - 4 × 3 × 2)] / (2 × 3)
                   x = [-7 ± √(49 - 24)] / 6
                   x = [-7 ± √25] / 6
                   x = [-7 ± 5] / 6

4. Hitung akar-akarnya:
   • x₁ = (-7 + 5) / 6 = -2 / 6 = -1/3
   • x₂ = (-7 - 5) / 6 = -12 / 6 = -2

Jadi, akar-akar persamaan 3x² + 7x + 2 = 0 adalah x = -1/3 dan x = -2.

Contoh 6.3: Tentukan akar-akar dari x² + 2x + 5 = 0 menggunakan rumus kuadrat.

1. Persamaan sudah dalam bentuk standar.
2. Identifikasi koefisien: a = 1, b = 2, c = 5.
3. Substitusikan ke dalam rumus:

   x = [-2 ± √(2² - 4 × 1 × 5)] / (2 × 1)
                   x = [-2 ± √(4 - 20)] / 2
                   x = [-2 ± √(-16)] / 2

4. Di sini, kita memiliki akar kuadrat dari bilangan negatif. Dalam matematika bilangan nyata, ini berarti tidak ada akar nyata. Namun, dalam bilangan kompleks, √(-16) = √(16 × -1) = 4i (di mana i = √-1).

   x = [-2 ± 4i] / 2

5. Hitung akar-akarnya:
   • x₁ = (-2 + 4i) / 2 = -1 + 2i
   • x₂ = (-2 - 4i) / 2 = -1 - 2i

Jadi, akar-akar persamaan x² + 2x + 5 = 0 adalah x = -1 + 2i dan x = -1 - 2i. Ini adalah akar-akar kompleks konjugat. Metode ini menunjukkan universalitas rumus kuadrat bahkan untuk kasus akar non-nyata.

Diskriminan (D = b² - 4ac)

Sebagaimana disebutkan sebelumnya, diskriminan (D) adalah bagian dari rumus kuadrat yang berada di bawah tanda akar kuadrat: D = b² - 4ac. Nilai diskriminan sangat penting karena ia mengungkapkan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat tanpa perlu menghitung akar-akarnya secara lengkap. Ada tiga kemungkinan kasus untuk diskriminan:

1. D > 0 (Diskriminan Positif)

Jika diskriminan lebih besar dari nol (positif), maka persamaan kuadrat memiliki dua akar nyata dan berbeda (distinct real roots). Artinya, ada dua nilai x yang berbeda yang akan memenuhi persamaan, dan kedua nilai tersebut adalah bilangan nyata. Dalam konteks grafik fungsi kuadrat, parabola akan memotong sumbu-X di dua titik yang berbeda.

Contoh: x² - 5x + 6 = 0 memiliki a=1, b=-5, c=6. D = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1. Karena D = 1 > 0, ada dua akar nyata dan berbeda (yang kita temukan adalah 2 dan 3).

2. D = 0 (Diskriminan Nol)

Jika diskriminan sama dengan nol, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar nyata (akar kembar atau repeated real root). Ini berarti kedua akar memiliki nilai yang sama. Secara geometris, parabola akan menyentuh sumbu-X tepat pada satu titik (titik puncak parabola berada di sumbu-X).

Contoh: x² - 4x + 4 = 0 memiliki a=1, b=-4, c=4. D = (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0. Karena D = 0, ada satu akar nyata kembar. Jika kita faktorkan, (x-2)(x-2) = 0, sehingga x=2 adalah akar kembar.

3. D < 0 (Diskriminan Negatif)

Jika diskriminan kurang dari nol (negatif), maka persamaan kuadrat memiliki dua akar kompleks konjugat (complex conjugate roots). Ini berarti tidak ada akar nyata, dan akar-akarnya melibatkan bilangan imajiner (i = √-1). Dalam konteks grafik, parabola tidak akan memotong maupun menyentuh sumbu-X sama sekali.

Contoh: x² + 2x + 5 = 0 memiliki a=1, b=2, c=5. D = (2)² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16. Karena D = -16 < 0, ada dua akar kompleks konjugat (yang kita temukan adalah -1 + 2i dan -1 - 2i).

Grafik Fungsi Kuadrat (Parabola)

Hubungan antara persamaan kuadrat dan grafiknya sangat erat. Fungsi kuadrat memiliki bentuk f(x) = ax² + bx + c atau y = ax² + bx + c. Grafiknya selalu berbentuk kurva yang disebut parabola.

Karakteristik Utama Parabola

1. Arah Pembukaan Parabola:
   • Jika a > 0 (positif), parabola terbuka ke atas (memiliki titik puncak minimum).
   • Jika a < 0 (negatif), parabola terbuka ke bawah (memiliki titik puncak maksimum).
2. Titik Potong Sumbu-Y:

   Terjadi ketika x = 0. Substitusikan x = 0 ke dalam y = ax² + bx + c, maka y = c. Jadi, titik potong sumbu-Y adalah (0, c).

3. Titik Potong Sumbu-X (Akar-akar Persamaan):

   Terjadi ketika y = 0. Ini adalah nilai x yang kita cari saat menyelesaikan persamaan ax² + bx + c = 0. Seperti yang dijelaskan oleh diskriminan:

   • Jika D > 0, parabola memotong sumbu-X di dua titik berbeda (dua akar nyata).
   • Jika D = 0, parabola menyentuh sumbu-X di satu titik (satu akar nyata kembar).
   • Jika D < 0, parabola tidak memotong maupun menyentuh sumbu-X (tidak ada akar nyata).
4. Sumbu Simetri:

   Garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Rumusnya adalah x = -b / (2a).

5. Titik Puncak/Balik (Vertex):

   Titik terendah (jika parabola terbuka ke atas) atau titik tertinggi (jika parabola terbuka ke bawah) dari parabola. Koordinat titik puncak adalah (x_p, y_p), di mana x_p = -b / (2a) (ini adalah sumbu simetri) dan y_p diperoleh dengan mensubstitusikan x_p ke dalam fungsi f(x) = ax² + bx + c, atau dapat dihitung dengan rumus y_p = -D / (4a).

   Jadi, titik puncaknya adalah (-b/(2a), -D/(4a)).

Memahami karakteristik grafik ini tidak hanya membantu memvisualisasikan solusi, tetapi juga dapat digunakan untuk menentukan persamaan kuadrat jika beberapa informasi grafik diketahui.

Menentukan Persamaan Kuadrat dari Informasi Grafik/Titik

Kadang-kadang, kita diminta untuk membentuk persamaan kuadrat dari informasi yang diberikan, bukan mencari akarnya. Ada beberapa skenario umum:

Skenario 1: Diketahui Akar-akar (x₁ dan x₂)

Jika akar-akar persamaan kuadrat x₁ dan x₂ diketahui, persamaan kuadrat dapat dibentuk dengan rumus:

(x - x₁)(x - x₂) = 0

Atau dalam bentuk lain, menggunakan sifat jumlah dan hasil kali akar:

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ × x₂) = 0

Contoh 7.1: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 2 dan 3.

Menggunakan rumus (x - x₁)(x - x₂) = 0:

(x - 2)(x - 3) = 0
        x(x - 3) - 2(x - 3) = 0
        x² - 3x - 2x + 6 = 0
        x² - 5x + 6 = 0

Menggunakan rumus x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ × x₂) = 0:

• Jumlah akar: x₁ + x₂ = 2 + 3 = 5
• Hasil kali akar: x₁ × x₂ = 2 × 3 = 6

Substitusikan ke rumus:

x² - (5)x + (6) = 0
        x² - 5x + 6 = 0

Kedua cara menghasilkan persamaan kuadrat yang sama.

Skenario 2: Diketahui Titik Puncak (xₚ, yₚ) dan Satu Titik Lain (x, y)

Jika titik puncak parabola (xₚ, yₚ) dan satu titik lain (x, y) yang dilalui parabola diketahui, persamaan kuadrat dapat dibentuk menggunakan bentuk standar titik puncak:

y = a(x - xₚ)² + yₚ

Di mana a adalah koefisien yang perlu kita cari terlebih dahulu.

Contoh 7.2: Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki titik puncak (1, -4) dan melalui titik (3, 0).

1. Gunakan bentuk y = a(x - xₚ)² + yₚ. Substitusikan xₚ = 1 dan yₚ = -4:

   y = a(x - 1)² - 4

2. Gunakan titik lain (3, 0) untuk mencari nilai a. Substitusikan x = 3 dan y = 0:

   0 = a(3 - 1)² - 4
                   0 = a(2)² - 4
                   0 = 4a - 4
                   4 = 4a
                   a = 1

3. Substitusikan nilai a = 1 kembali ke persamaan:

   y = 1(x - 1)² - 4
                   y = (x² - 2x + 1) - 4
                   y = x² - 2x - 3

Jadi, persamaan kuadratnya adalah y = x² - 2x - 3. Jika kita cek, akar-akarnya adalah (x-3)(x+1)=0, yaitu x=3 dan x=-1. Titik (3,0) memang salah satu akarnya.

Skenario 3: Diketahui Tiga Titik yang Dilalui Kurva (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃)

Jika tiga titik sembarang yang dilalui parabola diketahui, kita bisa mensubstitusikan setiap titik ke dalam bentuk umum y = ax² + bx + c untuk membentuk sistem persamaan linier tiga variabel, kemudian menyelesaikannya untuk menemukan a, b, dan c.

Contoh 7.3: Tentukan persamaan kuadrat yang melalui titik (0, 3), (1, 0), dan (2, -1).

1. Substitusikan (0, 3) ke y = ax² + bx + c:

   3 = a(0)² + b(0) + c
                   3 = c

   Kita sudah tahu c = 3.

2. Substitusikan (1, 0) dan c = 3:

   0 = a(1)² + b(1) + 3
                   0 = a + b + 3
                   a + b = -3  (Persamaan 1)

3. Substitusikan (2, -1) dan c = 3:

   -1 = a(2)² + b(2) + 3
                   -1 = 4a + 2b + 3
                   4a + 2b = -4
                   2a + b = -2  (Persamaan 2)

4. Selesaikan sistem persamaan linier dari Persamaan 1 dan 2. Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:

   (2a + b) - (a + b) = -2 - (-3)
                   a = 1

5. Substitusikan a = 1 ke Persamaan 1:

   1 + b = -3
                   b = -4

6. Jadi, a = 1, b = -4, dan c = 3. Persamaan kuadratnya adalah:

   y = 1x² - 4x + 3
                   y = x² - 4x + 3

Ini adalah metode yang lebih panjang, tetapi sangat berguna ketika informasi lain tidak tersedia.

Aplikasi Persamaan Kuadrat dalam Kehidupan Nyata

Kemampuan untuk menentukan dan menyelesaikan persamaan kuadrat bukan hanya relevan untuk ujian sekolah, tetapi juga sangat aplikatif dalam berbagai disiplin ilmu dan masalah sehari-hari. Berikut adalah beberapa contoh bidang di mana persamaan kuadrat memainkan peran penting:

1. Fisika dan Rekayasa

• Gerak Proyektil: Lintasan objek yang dilempar atau ditembakkan (misalnya, bola yang ditendang, rudal yang diluncurkan) mengikuti jalur parabola. Persamaan kuadrat digunakan untuk menghitung tinggi maksimum, jarak jangkauan, atau waktu tempuh objek tersebut.

  Contoh: Ketinggian h sebuah bola yang dilempar ke atas dengan kecepatan awal v₀ dapat dijelaskan oleh h(t) = -½gt² + v₀t + h₀, di mana g adalah percepatan gravitasi, t adalah waktu, dan h₀ adalah ketinggian awal. Ini adalah fungsi kuadrat terhadap waktu t.

• Desain Jembatan dan Arsitektur: Banyak struktur lengkung, seperti jembatan gantung atau lengkungan pada bangunan, dirancang berdasarkan bentuk parabola untuk distribusi beban yang optimal dan kekuatan struktural.
• Optik: Cermin parabola digunakan dalam teleskop, antena parabola, dan lampu sorot karena sifatnya yang dapat memfokuskan cahaya atau gelombang radio ke satu titik fokus. Perhitungan desain cermin ini melibatkan persamaan kuadrat.

2. Ekonomi dan Bisnis

• Optimalisasi Keuntungan dan Biaya: Fungsi keuntungan atau biaya dalam bisnis seringkali berbentuk kuadrat. Persamaan kuadrat digunakan untuk menemukan titik produksi di mana keuntungan maksimum atau biaya minimum dapat dicapai.

  Contoh: Fungsi keuntungan P(x) = -2x² + 100x - 500, di mana x adalah jumlah unit yang diproduksi. Untuk menemukan jumlah unit yang memaksimalkan keuntungan, kita mencari titik puncak parabola ini.

• Penawaran dan Permintaan: Dalam beberapa model ekonomi, kurva penawaran atau permintaan dapat dimodelkan menggunakan fungsi kuadrat.

3. Olahraga

• Lintasan Bola: Dalam olahraga seperti basket, sepak bola, atau golf, menghitung lintasan bola yang dilempar atau dipukul untuk mencapai target melibatkan prinsip-prinsip persamaan kuadrat.
• Desain Lapangan: Bentuk arena atau lapangan tertentu mungkin menggunakan elemen parabola dalam desainnya.

4. Matematika dan Statistik

• Optimasi: Menemukan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi adalah aplikasi umum dari persamaan kuadrat (melalui pencarian titik puncak).
• Analisis Regresi: Dalam statistik, regresi kuadrat digunakan untuk memodelkan hubungan non-linier antara dua variabel.

Dari contoh-contoh di atas, jelas bahwa penguasaan persamaan kuadrat bukan hanya teori, tetapi juga kunci untuk memahami dan memecahkan berbagai masalah praktis di dunia nyata.

Latihan Soal dan Pembahasan

Untuk memperdalam pemahaman, mari kita praktikkan dengan beberapa latihan soal.

Soal 1: Pemfaktoran

Tentukan akar-akar persamaan x² + 3x - 10 = 0.

Pembahasan:

• Identifikasi b = 3, c = -10.
• Cari dua bilangan yang dikalikan -10 dan dijumlahkan 3. Bilangan tersebut adalah 5 dan -2.
• Faktorkan: (x + 5)(x - 2) = 0.
• Akar-akar:
  • x + 5 = 0 → x₁ = -5
  • x - 2 = 0 → x₂ = 2

Jawaban: Akar-akarnya adalah x = -5 dan x = 2.

Soal 2: Metode AC (a ≠ 1)

Tentukan akar-akar persamaan 4x² - 9x + 2 = 0.

Pembahasan:

• Identifikasi a = 4, b = -9, c = 2.
• Hitung a × c = 4 × 2 = 8.
• Cari dua bilangan yang dikalikan 8 dan dijumlahkan -9. Bilangan tersebut adalah -1 dan -8.
• Pecah suku tengah: 4x² - 1x - 8x + 2 = 0.
• Kelompokkan dan faktorkan:

  (4x² - x) + (-8x + 2) = 0
                  x(4x - 1) - 2(4x - 1) = 0
                  (x - 2)(4x - 1) = 0

• Akar-akar:
  • x - 2 = 0 → x₁ = 2
  • 4x - 1 = 0 → 4x = 1 → x₂ = 1/4

Jawaban: Akar-akarnya adalah x = 2 dan x = 1/4.

Soal 3: Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Tentukan akar-akar persamaan x² + 10x + 21 = 0.

Pembahasan:

• Pindahkan konstanta: x² + 10x = -21.
• Setengah dari koefisien x (10) adalah 5. Kuadratnya adalah 5² = 25. Tambahkan 25 ke kedua sisi:

  x² + 10x + 25 = -21 + 25
                  (x + 5)² = 4

• Ambil akar kuadrat kedua sisi: x + 5 = ±√4 → x + 5 = ±2.
• Akar-akar:
  • x₁ + 5 = 2 → x₁ = 2 - 5 → x₁ = -3
  • x₂ + 5 = -2 → x₂ = -2 - 5 → x₂ = -7

Jawaban: Akar-akarnya adalah x = -3 dan x = -7.

Soal 4: Rumus Kuadrat (Rumus ABC)

Tentukan akar-akar persamaan 2x² - 3x - 5 = 0.

Pembahasan:

• Identifikasi a = 2, b = -3, c = -5.
• Gunakan rumus x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a):

  x = [-(-3) ± √((-3)² - 4 × 2 × (-5))] / (2 × 2)
                  x = [3 ± √(9 + 40)] / 4
                  x = [3 ± √49] / 4
                  x = [3 ± 7] / 4

• Akar-akar:
  • x₁ = (3 + 7) / 4 = 10 / 4 = 5/2
  • x₂ = (3 - 7) / 4 = -4 / 4 = -1

Jawaban: Akar-akarnya adalah x = 5/2 dan x = -1.

Soal 5: Sifat Akar (Diskriminan)

Tanpa menghitung akarnya, tentukan sifat akar-akar persamaan 3x² - 2x + 5 = 0.

Pembahasan:

• Identifikasi a = 3, b = -2, c = 5.
• Hitung diskriminan D = b² - 4ac:

  D = (-2)² - 4 × 3 × 5
                  D = 4 - 60
                  D = -56

• Karena D = -56 < 0.

Jawaban: Persamaan memiliki dua akar kompleks konjugat (tidak nyata).

Kesimpulan

Menentukan persamaan kuadrat dan menemukan akar-akarnya adalah salah satu fondasi penting dalam matematika dan memiliki relevansi yang sangat besar dalam berbagai disiplin ilmu. Dari definisi dasar ax² + bx + c = 0 hingga metode-metode penyelesaiannya, setiap aspek memiliki peran dan kegunaannya masing-masing.

Kita telah menjelajahi tiga metode utama untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat:

1. Pemfaktoran: Metode cepat dan efisien untuk persamaan yang akar-akarnya rasional dan mudah diidentifikasi, serta untuk kasus-kasus khusus seperti selisih dua kuadrat atau persamaan tanpa konstanta.
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna: Metode yang fundamental dan universal, yang secara konseptual mengubah persamaan ke bentuk kuadrat sempurna untuk memudahkan penarikan akar. Metode ini juga merupakan basis penurunan rumus kuadrat.
3. Rumus Kuadrat (Rumus ABC): Metode paling universal dan seringkali paling praktis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun, termasuk yang memiliki akar irasional atau kompleks. Diskriminan (b² - 4ac) dalam rumus ini juga memberikan wawasan tentang sifat akar-akar tanpa perlu perhitungan penuh.

Selain itu, kita juga telah mempelajari cara menentukan kembali persamaan kuadrat dari informasi yang diberikan (seperti akar-akar, titik puncak, atau beberapa titik yang dilewati parabola), serta bagaimana grafik fungsi kuadrat (parabola) secara visual merepresentasikan akar-akar dan karakteristik persamaan. Aplikasi praktis persamaan kuadrat di berbagai bidang seperti fisika, ekonomi, dan rekayasa menunjukkan betapa vitalnya pemahaman terhadap topik ini.

Dengan menguasai berbagai metode ini, Anda tidak hanya dapat menyelesaikan soal-soal matematika, tetapi juga akan memiliki alat yang ampuh untuk menganalisis dan memecahkan masalah di dunia nyata yang melibatkan hubungan kuadratik. Latihan yang konsisten adalah kunci untuk membangun intuisi dan kecepatan dalam menentukan persamaan kuadrat dan akar-akarnya. Jangan ragu untuk mencoba berbagai contoh dan bereksperimen dengan metode yang berbeda untuk setiap persamaan.