Vektor adalah salah satu konsep fundamental dan paling penting dalam dunia matematika, khususnya dalam disiplin Aljabar Linear. Secara intuitif, vektor dapat dipahami sebagai objek yang memiliki besar (magnitudo) dan arah. Dalam konteks visual, vektor sering digambarkan sebagai panah dalam ruang multidimensi. Aljabar linear memberikan kerangka kerja yang kuat untuk menganalisis, memanipulasi, dan memahami perilaku vektor-vektor ini, yang memiliki implikasi luas mulai dari fisika klasik hingga kecerdasan buatan modern.
Dalam matematika murni, vektor diwakili sebagai tupel terurut dari angka-angka yang disusun dalam bentuk kolom atau baris. Misalnya, vektor $\mathbf{v}$ di ruang tiga dimensi dapat ditulis sebagai $\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$. Angka-angka ini seringkali melambangkan komponen vektor pada setiap sumbu koordinat (seperti koordinat Cartesian x, y, dan z).
Keindahan Aljabar Linear adalah kemampuannya untuk bekerja di ruang berdimensi tinggi ($n$-dimensi), bukan hanya dua atau tiga dimensi yang dapat kita visualisasikan. Ruang vektor $n$-dimensi (atau $\mathbb{R}^n$) adalah tempat operasi aljabar linear terjadi. Pemahaman tentang vektor memungkinkan kita memodelkan data kompleks, seperti citra digital (yang merupakan matriks piksel) atau kumpulan fitur dalam pembelajaran mesin, sebagai objek tunggal yang dapat diolah secara efisien.
Operasi pada vektor membentuk inti dari Aljabar Linear. Dua operasi utama yang paling sering digunakan adalah penjumlahan vektor dan perkalian skalar.
Penjumlahan vektor dilakukan secara komponen per komponen. Jika kita memiliki $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$, maka hasil penjumlahannya adalah $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \end{bmatrix}$. Secara geometris, penjumlahan ini mengikuti aturan jajaran genjang (atau aturan segitiga), seperti yang diilustrasikan dalam diagram di atas.
Perkalian skalar melibatkan pengalian setiap komponen vektor dengan sebuah bilangan skalar tunggal ($c$). Hasilnya adalah vektor baru yang memiliki arah yang sama (jika $c>0$) atau arah berlawanan (jika $c<0$), tetapi magnitudonya berubah. $c\mathbf{v} = \begin{bmatrix} c v_1 \\ c v_2 \end{bmatrix}$. Operasi ini sangat penting untuk normalisasi vektor (membuat panjang vektor menjadi satu) dan dalam definisi ruang vektor itu sendiri.
Peran vektor meluas jauh melampaui teori matematika murni. Dalam fisika, vektor digunakan untuk mendeskripsikan gaya, kecepatan, dan percepatan. Dalam grafika komputer, vektor menentukan posisi titik, arah pencahayaan, dan normal permukaan. Tanpa pemahaman yang kuat tentang bagaimana vektor berperilaku dalam operasi aljabar linear, bidang-bidang seperti pemrosesan sinyal, optimasi, dan terutama Machine Learning (di mana data direpresentasikan sebagai vektor fitur dalam ruang berdimensi tinggi) akan sulit untuk dikuasai.
Vektor, ketika digabungkan dengan konsep matriks, membentuk bahasa universal untuk komputasi numerik modern. Matriks seringkali berfungsi sebagai operator yang memindahkan, memutar, atau meregangkan vektor. Oleh karena itu, menguasai operasi dasar vektor adalah langkah pertama yang tak terhindarkan dalam perjalanan memahami Aljabar Linear secara mendalam dan aplikatif.
Dengan demikian, vektor bukan sekadar panah; mereka adalah representasi diskrit dari kuantitas yang memiliki arah, fondasi kokoh bagi seluruh bangunan ilmu pengetahuan kuantitatif.