Aljabar linear merupakan salah satu cabang matematika yang fundamental, memiliki aplikasi luas mulai dari grafika komputer, ilmu data, hingga teknik mesin. Salah satu teknik paling penting dan serbaguna dalam aljabar linear adalah metode eliminasi Gauss-Jordan, yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dan mencari invers matriks.
Representasi visual proses transformasi matriks.
Metode eliminasi Gauss-Jordan adalah perluasan dari metode eliminasi Gauss standar. Jika eliminasi Gauss bertujuan mengubah matriks menjadi bentuk eselon baris (di mana elemen utama pertama setiap baris adalah 1 dan semua elemen di bawahnya adalah nol), maka Gauss-Jordan melangkah lebih jauh.
Tujuan akhir dari metode Gauss-Jordan adalah mengubah matriks koefisien yang diperluas menjadi bentuk eselon baris tereduksi (Reduced Row Echelon Form / RREF). Dalam RREF, selain memiliki elemen utama (pivot) bernilai 1, semua elemen lain dalam kolom pivot tersebut, baik di atas maupun di bawahnya, harus bernilai nol.
Proses ini melibatkan serangkaian operasi baris elementer (Elementary Row Operations / EROs) yang dapat diterapkan pada matriks yang diperluas dari sistem persamaan linear Anda.
Sistem persamaan linear seperti:
Diubah menjadi matriks diperluas:
| x | y | z | Hasil |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | -1 | 8 |
| -3 | -1 | 2 | -11 |
| -2 | 1 | 2 | -3 |
Tahap pertama ini mirip dengan eliminasi Gauss. Fokus utamanya adalah membuat elemen di bawah pivot (elemen utama) menjadi nol. Operasi yang diizinkan adalah:
R_i \leftrightarrow R_j).kR_i \to R_i).R_i + kR_j \to R_i).Proses ini diulangi hingga matriks berada dalam bentuk eselon baris.
Setelah tahap Gauss selesai, kita melanjutkan ke tahap Jordan. Tujuannya adalah membuat elemen di atas pivot juga bernilai nol. Proses ini bergerak dari kanan ke kiri (dari kolom terakhir hingga kolom kedua).
Misalnya, jika pivot pada baris kedua adalah 1, kita menggunakan baris kedua tersebut untuk menghilangkan semua nilai non-nol di kolom kedua pada baris pertama dan baris ketiga menggunakan ERO tipe 3.
Ketika matriks berhasil diubah menjadi matriks identitas di sisi kiri (matriks koefisien berubah menjadi matriks identitas $I$), maka kolom terakhir matriks diperluas secara langsung memberikan solusi unik untuk sistem persamaan linear tersebut.
Jika matriks menjadi:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & a \\ 0 & 1 & 0 & | & b \\ 0 & 0 & 1 & | & c \end{bmatrix} $$Maka solusinya adalah $x=a, y=b,$ dan $z=c$.
Metode Gauss-Jordan memiliki keunggulan dibandingkan eliminasi Gauss standar karena ia langsung memberikan solusi dalam bentuk RREF. Ini sangat efisien ketika Anda perlu mencari invers matriks. Untuk mencari invers matriks $A$, kita membentuk matriks $[A | I]$ (di mana $I$ adalah matriks identitas) dan menerapkan operasi Gauss-Jordan pada seluruh matriks gabungan tersebut. Hasilnya adalah $[I | A^{-1}]$.
Meskipun secara teoritis elegan, dalam konteks komputasi dengan matriks sangat besar, metode eliminasi Gauss (tanpa langkah Jordan) seringkali lebih cepat karena memerlukan lebih sedikit operasi perkalian dan penjumlahan, yang krusial dalam optimasi waktu pemrosesan.
Singkatnya, Gauss-Jordan adalah alat yang kuat yang memastikan setiap variabel memiliki koefisien 1 dan terisolasi di kolomnya masing-masing, menjadikannya metode yang sangat intuitif untuk interpretasi solusi akhir sistem persamaan linear.