Aljabar linear adalah cabang matematika yang berfokus pada studi vektor, ruang vektor (atau ruang linear), transformasi linear, dan sistem persamaan linear. Memahami cara menghitung operasi dasar aljabar linear adalah kunci untuk menguasai berbagai bidang ilmu, mulai dari ilmu komputer (seperti machine learning) hingga fisika dan teknik.
Matriks adalah inti dari aljabar linear. Operasi yang paling mendasar adalah penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar. Untuk matriks $A$ dan $B$ yang memiliki dimensi yang sama (misalnya $m \times n$), operasi penjumlahan dan pengurangan dilakukan elemen per elemen.
Perkalian skalar hanya melibatkan perkalian setiap elemen matriks dengan bilangan skalar tunggal ($c$).
Perkalian matriks adalah operasi yang sedikit lebih rumit namun fundamental. Agar matriks $A$ (berdimensi $m \times p$) dapat dikalikan dengan matriks $B$ (berdimensi $p \times n$), jumlah kolom $A$ harus sama dengan jumlah baris $B$. Hasilnya akan menjadi matriks $C$ berdimensi $m \times n$.
Elemen $C_{ij}$ dihitung dengan menjumlahkan hasil kali elemen baris ke-$i$ dari $A$ dengan elemen kolom ke-$j$ dari $B$. Rumusnya melibatkan produk titik (dot product).
Contoh konkret memerlukan pemahaman bahwa Anda "melipat" baris pertama matriks A pada kolom pertama matriks B, mengalikan setiap pasangan elemen, lalu menjumlahkannya.
Determinan ($\det(A)$ atau $|A|$) adalah nilai skalar yang dapat dihitung dari elemen matriks persegi (square matrix). Nilai determinan sangat penting karena memberi tahu kita apakah matriks tersebut memiliki invers.
Untuk matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, perhitungannya sangat sederhana:
Untuk matriks $3 \times 3$, metode Sarrus adalah cara visual yang umum digunakan. Anda mengulang dua kolom pertama di samping matriks dan menjumlahkan hasil perkalian diagonal utama, kemudian menguranginya dengan hasil perkalian diagonal sekunder.
Jika determinan suatu matriks adalah nol ($\det(A) = 0$), maka matriks tersebut singular dan tidak memiliki invers.
Invers matriks ($A^{-1}$) adalah matriks yang jika dikalikan dengan matriks aslinya akan menghasilkan matriks identitas ($I$), yaitu $A A^{-1} = I$. Invers hanya ada jika determinan matriks tidak nol.
Invers untuk matriks 2x2 lebih mudah dihitung:
Ini menegaskan mengapa determinan sangat penting; jika $\det(A)=0$, maka kita tidak bisa membagi dengan nol.
Salah satu aplikasi utama aljabar linear adalah menyelesaikan SPL, yang sering direpresentasikan dalam bentuk matriks $AX = B$, di mana $A$ adalah matriks koefisien, $X$ adalah vektor variabel yang dicari, dan $B$ adalah vektor konstanta.
Ada beberapa cara untuk menyelesaikannya:
Dalam konteks komputasi modern, eliminasi Gauss-Jordan (mencapai bentuk eselon baris tereduksi) adalah fondasi untuk hampir semua perhitungan aljabar linear yang kompleks, seperti mencari nilai eigen atau dekomposisi matriks lainnya. Memahami langkah-langkah dasar ini akan sangat membantu saat Anda beralih ke topik yang lebih lanjut.