Panduan Lengkap Menentukan Akar Persamaan Kuadrat

1. Memahami Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua. Ini berarti pangkat tertinggi dari variabel dalam persamaan tersebut adalah dua. Bentuk umum standar dari persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

Di mana:

• `x` adalah variabel atau peubah yang nilai-nilainya ingin kita cari.
• `a`, `b`, dan `c` adalah koefisien, yang merupakan bilangan real.
• `a` adalah koefisien dari `x^2` dan tidak boleh nol (`a ≠ 0`). Jika `a` adalah nol, persamaan tersebut akan menjadi persamaan linear, bukan kuadrat.
• `b` adalah koefisien dari `x`.
• `c` adalah konstanta atau suku bebas.

Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai-nilai `x` yang membuat persamaan tersebut menjadi benar (sama dengan nol). Karena persamaan kuadrat berderajat dua, ia dapat memiliki paling banyak dua akar. Akar-akar ini bisa berupa bilangan real yang berbeda, bilangan real yang sama (kembar), atau bilangan kompleks.

1.1 Mengapa Penting Menemukan Akar Persamaan Kuadrat?

Menentukan akar persamaan kuadrat bukan hanya sekadar latihan matematika. Ini adalah alat yang ampuh untuk memecahkan masalah praktis. Berikut beberapa alasannya:

• Fisika: Gerak parabola benda yang dilempar, lintasan proyektil, ketinggian maksimum, waktu tempuh, dan analisis sirkuit listrik seringkali melibatkan persamaan kuadrat. Misalnya, untuk mengetahui kapan sebuah bola mencapai tanah setelah dilempar, kita perlu mencari akar dari persamaan kuadrat yang menggambarkan ketinggian bola tersebut.
• Teknik: Dalam desain jembatan, bangunan, optimasi material, dan analisis kekuatan struktural, persamaan kuadrat digunakan untuk menghitung tegangan, momen, dan defleksi.
• Ekonomi: Menentukan titik impas (break-even point), maksimisasi keuntungan, atau minimisasi biaya seringkali melibatkan model yang berbentuk persamaan kuadrat. Fungsi permintaan dan penawaran terkadang juga mengambil bentuk kuadrat.
• Geometri: Menemukan dimensi suatu objek berdasarkan luas atau kelilingnya, atau menghitung jarak dalam koordinat, seringkali berujung pada penyelesaian persamaan kuadrat.
• Statistika dan Probabilitas: Dalam analisis data dan distribusi tertentu, persamaan kuadrat dapat muncul dalam formula atau model yang digunakan.

Dengan menguasai berbagai metode penentuan akar, kita tidak hanya memahami konsep matematisnya tetapi juga siap mengaplikasikannya dalam konteks yang lebih luas dan kompleks.

2. Metode Pemfaktoran (Faktorisasi)

Metode pemfaktoran adalah salah satu cara paling sederhana untuk menemukan akar persamaan kuadrat, terutama jika persamaannya relatif mudah dan akar-akarnya adalah bilangan bulat atau pecahan sederhana. Ide utamanya adalah mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk perkalian dua faktor linear yang hasil perkaliannya adalah nol. Berdasarkan sifat perkalian nol, jika hasil perkalian dua faktor adalah nol, maka setidaknya salah satu faktor harus nol.

Dari sini, kita mendapatkan akar-akar `x = p` dan `x = q`.

2.1 Langkah-langkah Pemfaktoran untuk `ax^2 + bx + c = 0` (Kasus `a = 1`)

Untuk persamaan kuadrat dengan `a = 1`, yaitu `x^2 + bx + c = 0`, langkah-langkah pemfaktorannya adalah sebagai berikut:

1. Pastikan persamaan dalam bentuk standar: `x^2 + bx + c = 0`.
2. Cari dua bilangan: Temukan dua bilangan (`p` dan `q`) yang jika dikalikan hasilnya adalah `c` (konstanta) dan jika dijumlahkan hasilnya adalah `b` (koefisien `x`).
   `p × q = c`
   `p + q = b`
3. Tulis faktor-faktornya: Setelah menemukan `p` dan `q`, persamaan dapat difaktorkan menjadi `(x + p)(x + q) = 0`.
4. Tentukan akar-akarnya: Atur setiap faktor sama dengan nol dan selesaikan untuk `x`.

Contoh 1: Memfaktorkan `x^2 + 5x + 6 = 0`

1. Persamaan sudah dalam bentuk standar. Di sini, `b = 5` dan `c = 6`.
2. Kita perlu mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan `6` dan jika dijumlahkan menghasilkan `5`.
   • Faktor-faktor dari 6: (1, 6), (2, 3), (-1, -6), (-2, -3).
   • Penjumlahan faktor-faktor:
     • 1 + 6 = 7 (Tidak cocok)
     • 2 + 3 = 5 (Cocok!)
   Jadi, bilangan-bilangan tersebut adalah `2` dan `3`.
3. Faktor-faktornya adalah `(x + 2)(x + 3) = 0`.
4. Tentukan akar-akarnya:
   • `x + 2 = 0` ⇒ `x_1 = -2`
   • `x + 3 = 0` ⇒ `x_2 = -3`

Jadi, akar-akar persamaan `x^2 + 5x + 6 = 0` adalah `x = -2` dan `x = -3`.

Contoh 2: Memfaktorkan `x^2 - 7x + 12 = 0`

1. Bentuk standar: `b = -7`, `c = 12`.
2. Cari dua bilangan yang dikalikan `12` dan dijumlahkan `-7`.
   • Karena `c` positif dan `b` negatif, kedua bilangan harus negatif.
   • Faktor-faktor negatif dari 12: (-1, -12), (-2, -6), (-3, -4).
   • Penjumlahan faktor-faktor:
     • -1 + (-12) = -13
     • -2 + (-6) = -8
     • -3 + (-4) = -7 (Cocok!)
   Bilangan-bilangan tersebut adalah `-3` dan `-4`.
3. Faktor-faktornya adalah `(x - 3)(x - 4) = 0`.
4. Tentukan akar-akarnya:
   • `x - 3 = 0` ⇒ `x_1 = 3`
   • `x - 4 = 0` ⇒ `x_2 = 4`

Jadi, akar-akar persamaan `x^2 - 7x + 12 = 0` adalah `x = 3` dan `x = 4`.

2.2 Langkah-langkah Pemfaktoran untuk `ax^2 + bx + c = 0` (Kasus `a ≠ 1`)

Ketika `a` bukan 1, proses pemfaktoran sedikit lebih kompleks, tetapi prinsipnya sama. Ada beberapa pendekatan, salah satunya adalah dengan "metode silang" atau "metode memecah suku tengah". Kita akan menggunakan metode memecah suku tengah yang lebih sistematis.

1. Pastikan persamaan dalam bentuk standar: `ax^2 + bx + c = 0`.
2. Cari dua bilangan `p` dan `q`: Temukan dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan `ac` (koefisien `x^2` dikalikan konstanta) dan jika dijumlahkan menghasilkan `b` (koefisien `x`).
   `p × q = a × c`
   `p + q = b`
3. Pecah suku tengah (`bx`): Ganti suku `bx` dengan `px + qx`. Persamaan akan menjadi `ax^2 + px + qx + c = 0`.
4. Faktorkan dengan pengelompokan: Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir, lalu faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.
   `ax^2 + px + qx + c = 0`
   `(ax^2 + px) + (qx + c) = 0`
   `x(ax + p) + (qx + c) = 0` (Ini mungkin perlu disesuaikan agar kedua kurung sama)
   Tujuan akhirnya adalah mendapatkan bentuk `(faktor1)(faktor2) = 0`.
5. Tentukan akar-akarnya: Atur setiap faktor sama dengan nol dan selesaikan untuk `x`.

Contoh 3: Memfaktorkan `2x^2 + 7x + 3 = 0`

1. Bentuk standar: `a = 2`, `b = 7`, `c = 3`.
2. Cari dua bilangan `p` dan `q` yang:
   • Dikalikan `ac = 2 × 3 = 6`.
   • Dijumlahkan `b = 7`.
   Bilangan-bilangan tersebut adalah `1` dan `6` (`1 × 6 = 6`, `1 + 6 = 7`).
3. Pecah suku tengah: Ganti `7x` dengan `1x + 6x`.
   `2x^2 + 1x + 6x + 3 = 0`
4. Faktorkan dengan pengelompokan:
   `(2x^2 + 1x) + (6x + 3) = 0`
   `x(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0`
   `(x + 3)(2x + 1) = 0`
5. Tentukan akar-akarnya:
   • `x + 3 = 0` ⇒ `x_1 = -3`
   • `2x + 1 = 0` ⇒ `2x = -1` ⇒ `x_2 = -1/2`

Jadi, akar-akar persamaan `2x^2 + 7x + 3 = 0` adalah `x = -3` dan `x = -1/2`.

Contoh 4: Memfaktorkan `3x^2 - 10x + 8 = 0`

1. Bentuk standar: `a = 3`, `b = -10`, `c = 8`.
2. Cari `p` dan `q` yang:
   • Dikalikan `ac = 3 × 8 = 24`.
   • Dijumlahkan `b = -10`.
   Karena `ac` positif dan `b` negatif, kedua bilangan harus negatif. Pasangan faktor dari 24: (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6). Pasangan negatif: (-1, -24), (-2, -12), (-3, -8), (-4, -6). Penjumlahan: -4 + (-6) = -10 (Cocok!). Bilangan-bilangan tersebut adalah `-4` dan `-6`.
3. Pecah suku tengah: `3x^2 - 4x - 6x + 8 = 0`.
4. Faktorkan dengan pengelompokan:
   `(3x^2 - 4x) + (-6x + 8) = 0`
   `x(3x - 4) - 2(3x - 4) = 0`
   `(x - 2)(3x - 4) = 0`
   Perhatikan bagaimana `-2` difaktorkan dari `(-6x + 8)` untuk mendapatkan `(3x - 4)`. Ini adalah kunci agar faktor kurung yang sama muncul.
5. Tentukan akar-akarnya:
   • `x - 2 = 0` ⇒ `x_1 = 2`
   • `3x - 4 = 0` ⇒ `3x = 4` ⇒ `x_2 = 4/3`

Jadi, akar-akar persamaan `3x^2 - 10x + 8 = 0` adalah `x = 2` dan `x = 4/3`.

2.3 Kasus Khusus dalam Pemfaktoran

Ada beberapa kasus khusus yang bisa difaktorkan dengan mudah:

2.3.1 Persamaan Kuadrat Tanpa Suku `c` (`c = 0`)

Bentuknya `ax^2 + bx = 0`. Ini dapat difaktorkan dengan mengeluarkan faktor `x` (atau `ax` jika memungkinkan).

Contoh 5: `x^2 - 4x = 0`

1. Faktorkan `x` dari kedua suku: `x(x - 4) = 0`.
2. Tentukan akar-akarnya:
   • `x = 0` ⇒ `x_1 = 0`
   • `x - 4 = 0` ⇒ `x_2 = 4`

Akar-akarnya adalah `x = 0` dan `x = 4`.

Contoh 6: `5x^2 + 10x = 0`

1. Faktorkan `5x` dari kedua suku: `5x(x + 2) = 0`.
2. Tentukan akar-akarnya:
   • `5x = 0` ⇒ `x_1 = 0`
   • `x + 2 = 0` ⇒ `x_2 = -2`

Akar-akarnya adalah `x = 0` dan `x = -2`.

2.3.2 Persamaan Kuadrat Tanpa Suku `b` (`b = 0`) - Selisih Kuadrat

Bentuknya `ax^2 + c = 0` atau `ax^2 - c = 0`. Jika `a` dan `c` memiliki tanda berlawanan, atau jika kita bisa memanipulasinya menjadi selisih dua kuadrat, maka bisa difaktorkan menjadi `(A - B)(A + B) = A^2 - B^2`.

Contoh 7: `x^2 - 9 = 0`

1. Identifikasi sebagai selisih dua kuadrat: `x^2 - 3^2 = 0`.
2. Faktorkan: `(x - 3)(x + 3) = 0`.
3. Tentukan akar-akarnya:
   • `x - 3 = 0` ⇒ `x_1 = 3`
   • `x + 3 = 0` ⇒ `x_2 = -3`

Akar-akarnya adalah `x = 3` dan `x = -3`.

Contoh 8: `4x^2 - 25 = 0`

1. Identifikasi sebagai selisih dua kuadrat: `(2x)^2 - 5^2 = 0`.
2. Faktorkan: `(2x - 5)(2x + 5) = 0`.
3. Tentukan akar-akarnya:
   • `2x - 5 = 0` ⇒ `2x = 5` ⇒ `x_1 = 5/2`
   • `2x + 5 = 0` ⇒ `2x = -5` ⇒ `x_2 = -5/2`

Akar-akarnya adalah `x = 5/2` dan `x = -5/2`.

3. Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode melengkapkan kuadrat sempurna adalah teknik yang mengubah bentuk persamaan kuadrat dari `ax^2 + bx + c = 0` menjadi bentuk `(x + p)^2 = q`. Dengan bentuk ini, akar-akar dapat ditemukan dengan mengambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan. Metode ini sangat penting karena merupakan dasar dari penurunan rumus kuadrat (Rumus ABC).

3.1 Konsep Dasar Kuadrat Sempurna

Kuadrat sempurna adalah ekspresi aljabar yang merupakan hasil kuadrat dari suatu binomial, seperti `(x + k)^2 = x^2 + 2kx + k^2` atau `(x - k)^2 = x^2 - 2kx + k^2`. Kunci dari metode ini adalah mengidentifikasi bagian `x^2 + bx` dan menambahkannya dengan suku konstan yang tepat agar menjadi kuadrat sempurna.

Untuk melengkapi `x^2 + bx` menjadi kuadrat sempurna, kita perlu menambahkan `(b/2)^2`. Maka akan menjadi:

3.2 Langkah-langkah Melengkapkan Kuadrat Sempurna

1. Pastikan koefisien `x^2` adalah 1: Jika `a ≠ 1`, bagi seluruh persamaan dengan `a`.
   `x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0`
   Untuk selanjutnya, kita akan bekerja dengan persamaan dalam bentuk ini, atau asumsikan `a = 1` dari awal.
2. Pindahkan suku konstanta ke sisi kanan:
   `x^2 + (b/a)x = -c/a`
3. Tambahkan `(b/2a)^2` ke kedua sisi persamaan: Ini adalah bagian 'melengkapkan kuadrat sempurna'. Nilai `b` yang kita gunakan di sini adalah koefisien `x` setelah dibagi `a`.
   `x^2 + (b/a)x + (b/(2a))^2 = -c/a + (b/(2a))^2`
4. Faktorkan sisi kiri menjadi kuadrat sempurna:
   `(x + b/(2a))^2 = -c/a + (b/(2a))^2`
5. Sederhanakan sisi kanan: Hitung nilai di sisi kanan.
6. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi: Jangan lupakan tanda `±` (plus-minus) di sisi kanan.
   `x + b/(2a) = ±√(-c/a + (b/(2a))^2)`
7. Selesaikan untuk `x`: Pindahkan `b/(2a)` ke sisi kanan.
   `x = -b/(2a) ±√(-c/a + (b/(2a))^2)`
   Persamaan ini akan mengarah ke rumus kuadrat!

Contoh 9: Menyelesaikan `x^2 + 6x + 5 = 0` dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

1. Koefisien `x^2` sudah 1 (`a = 1`).
2. Pindahkan konstanta ke kanan:
   `x^2 + 6x = -5`
3. Suku `b` di sini adalah `6`. Tambahkan `(6/2)^2 = 3^2 = 9` ke kedua sisi:
   `x^2 + 6x + 9 = -5 + 9`
4. Faktorkan sisi kiri, sederhanakan sisi kanan:
   `(x + 3)^2 = 4`
5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
   `x + 3 = ±√4`
   `x + 3 = ±2`
6. Selesaikan untuk `x`:
   • Untuk `+2`: `x_1 + 3 = 2` ⇒ `x_1 = 2 - 3` ⇒ `x_1 = -1`
   • Untuk `-2`: `x_2 + 3 = -2` ⇒ `x_2 = -2 - 3` ⇒ `x_2 = -5`

Jadi, akar-akar persamaan `x^2 + 6x + 5 = 0` adalah `x = -1` dan `x = -5`.

Contoh 10: Menyelesaikan `2x^2 - 8x - 10 = 0` dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

1. Koefisien `x^2` bukan 1 (`a = 2`). Bagi seluruh persamaan dengan 2:
   `x^2 - 4x - 5 = 0`
2. Pindahkan konstanta ke kanan:
   `x^2 - 4x = 5`
3. Suku `b` di sini adalah `-4`. Tambahkan `(-4/2)^2 = (-2)^2 = 4` ke kedua sisi:
   `x^2 - 4x + 4 = 5 + 4`
4. Faktorkan sisi kiri, sederhanakan sisi kanan:
   `(x - 2)^2 = 9`
5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
   `x - 2 = ±√9`
   `x - 2 = ±3`
6. Selesaikan untuk `x`:
   • Untuk `+3`: `x_1 - 2 = 3` ⇒ `x_1 = 3 + 2` ⇒ `x_1 = 5`
   • Untuk `-3`: `x_2 - 2 = -3` ⇒ `x_2 = -3 + 2` ⇒ `x_2 = -1`

Jadi, akar-akar persamaan `2x^2 - 8x - 10 = 0` adalah `x = 5` dan `x = -1`.

4. Metode Menggunakan Rumus Kuadrat (Rumus ABC)

Rumus kuadrat, yang juga dikenal sebagai rumus ABC, adalah metode paling universal dan dapat diandalkan untuk menemukan akar-akar dari setiap persamaan kuadrat, terlepas dari apakah akar-akarnya rasional, irasional, atau kompleks. Rumus ini diturunkan dari metode melengkapkan kuadrat sempurna.

4.1 Penurunan Rumus Kuadrat

Mari kita lihat bagaimana rumus ini diturunkan dari metode melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan `ax^2 + bx + c = 0`:

1. Bagi seluruh persamaan dengan `a` (asumsikan `a ≠ 0`):
   `x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0`
2. Pindahkan suku konstanta ke sisi kanan:
   `x^2 + (b/a)x = -c/a`
3. Tambahkan `(b/(2a))^2` ke kedua sisi untuk melengkapkan kuadrat sempurna di sisi kiri:
   `x^2 + (b/a)x + (b/(2a))^2 = -c/a + (b/(2a))^2`
4. Faktorkan sisi kiri dan sederhanakan sisi kanan:
   `(x + b/(2a))^2 = -c/a + b^2/(4a^2)`
5. Gabungkan pecahan di sisi kanan dengan penyebut bersama `4a^2`:
   `(x + b/(2a))^2 = (-4ac + b^2)/(4a^2)`
   `(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)`
6. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
   `x + b/(2a) = ±√( (b^2 - 4ac)/(4a^2) )`
   `x + b/(2a) = ±√(b^2 - 4ac) / √(4a^2)`
   `x + b/(2a) = ±√(b^2 - 4ac) / (2a)`
7. Pindahkan `b/(2a)` ke sisi kanan:
   `x = -b/(2a) ±√(b^2 - 4ac) / (2a)`
8. Karena kedua suku memiliki penyebut yang sama, kita bisa menggabungkannya:
   `x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)`

Ini adalah rumus kuadrat yang terkenal!

4.2 Rumus Kuadrat (Rumus ABC)

Di mana:

• `a`, `b`, dan `c` adalah koefisien dari persamaan kuadrat `ax^2 + bx + c = 0`.
• `±` menunjukkan bahwa ada dua kemungkinan solusi: satu dengan tanda plus (+) dan satu dengan tanda minus (-).
• Ekspresi di bawah akar kuadrat, yaitu `b^2 - 4ac`, disebut diskriminan. Nilai diskriminan ini sangat penting karena menentukan sifat akar-akar persamaan.

4.3 Langkah-langkah Menggunakan Rumus Kuadrat

1. Pastikan persamaan dalam bentuk standar: `ax^2 + bx + c = 0`.
2. Identifikasi nilai `a`, `b`, dan `c`: Perhatikan tanda positif atau negatifnya.
3. Substitusikan nilai `a`, `b`, dan `c` ke dalam rumus:
   `x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}`
4. Hitung dan sederhanakan: Lakukan perhitungan dengan hati-hati untuk mendapatkan nilai `x_1` dan `x_2`.

Contoh 11: Menyelesaikan `x^2 + 5x + 6 = 0` dengan Rumus Kuadrat

1. Bentuk standar: `a = 1`, `b = 5`, `c = 6`.
2. Substitusikan ke rumus:
   `x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}`
   `x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}`
   `x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}`
   `x_{1,2} = \frac{-5 \pm 1}{2}`
3. Hitung akar-akarnya:
   • `x_1 = (-5 + 1) / 2 = -4 / 2 = -2`
   • `x_2 = (-5 - 1) / 2 = -6 / 2 = -3`

Akar-akarnya adalah `x = -2` dan `x = -3`. Ini sama dengan hasil dari metode pemfaktoran.

Contoh 12: Menyelesaikan `3x^2 - 4x - 5 = 0` dengan Rumus Kuadrat

1. Bentuk standar: `a = 3`, `b = -4`, `c = -5`.
2. Substitusikan ke rumus:
   `x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-5)}}{2(3)}`
   `x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - (-60)}}{6}`
   `x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{6}`
   `x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{76}}{6}`
3. Sederhanakan `√76`: `√76 = √(4 × 19) = 2√19`.
   `x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{19}}{6}`
4. Bagi semua suku di pembilang dan penyebut dengan 2:
   • `x_1 = (4 + 2√19) / 6 = (2 + √19) / 3`
   • `x_2 = (4 - 2√19) / 6 = (2 - √19) / 3`

Akar-akarnya adalah `x = (2 + √19) / 3` dan `x = (2 - √19) / 3`. Dalam kasus ini, akar-akarnya adalah bilangan irasional, yang sulit atau bahkan tidak mungkin ditemukan dengan pemfaktoran sederhana.

Contoh 13: Menyelesaikan `x^2 - 6x + 9 = 0` dengan Rumus Kuadrat

1. Bentuk standar: `a = 1`, `b = -6`, `c = 9`.
2. Substitusikan ke rumus:
   `x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)}`
   `x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}`
   `x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{0}}{2}`
   `x_{1,2} = \frac{6 \pm 0}{2}`
3. Hitung akar-akarnya:
   • `x_1 = (6 + 0) / 2 = 6 / 2 = 3`
   • `x_2 = (6 - 0) / 2 = 6 / 2 = 3`

Akar-akarnya adalah `x = 3` dan `x = 3`. Dalam kasus ini, kita mendapatkan dua akar real yang kembar (sama). Ini terjadi ketika persamaan kuadrat adalah kuadrat sempurna (`(x-3)^2 = 0`).

5. Memahami Diskriminan (`D`)

Diskriminan adalah bagian dari rumus kuadrat yang berada di bawah tanda akar kuadrat, yaitu `b^2 - 4ac`. Diskriminan dilambangkan dengan huruf `D`. Nilai diskriminan ini tidak hanya membantu dalam menghitung akar, tetapi juga memberikan informasi penting tentang sifat-sifat akar persamaan kuadrat tanpa perlu menghitung akar-akarnya secara eksplisit.

5.1 Jenis-jenis Akar Berdasarkan Nilai Diskriminan

Ada tiga kemungkinan nilai diskriminan, dan setiap nilai menunjukkan jenis akar yang berbeda:

5.1.1 `D > 0` (Diskriminan Positif)

Jika `D > 0`, maka `√(D)` akan menghasilkan bilangan real yang positif. Karena ada `±√(D)` dalam rumus kuadrat, ini berarti akan ada dua nilai yang berbeda untuk `x`.

• Dua akar real yang berbeda: Persamaan kuadrat memiliki dua solusi nyata yang unik.
  `x_1 = (-b + √D) / 2a`
  `x_2 = (-b - √D) / 2a`
• Interpretasi Geometris: Grafik fungsi kuadrat (parabola) akan memotong sumbu X di dua titik yang berbeda.
• Jika D adalah kuadrat sempurna (misalnya 1, 4, 9, 16, ...): Akar-akarnya akan menjadi bilangan rasional (dapat ditulis sebagai pecahan). Ini adalah kasus di mana pemfaktoran mungkin berhasil.
• Jika D bukan kuadrat sempurna (misalnya 2, 3, 5, 6, ...): Akar-akarnya akan menjadi bilangan irasional (mengandung akar yang tidak dapat disederhanakan menjadi bilangan bulat/pecahan). Dalam kasus ini, pemfaktoran sulit atau tidak mungkin dilakukan.

Contoh: `x^2 + 5x + 6 = 0`

• `a=1, b=5, c=6`
• `D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1`
• Karena `D = 1 > 0` (dan 1 adalah kuadrat sempurna), persamaan ini memiliki dua akar real yang berbeda dan rasional. Akar-akarnya adalah -2 dan -3.

Contoh: `3x^2 - 4x - 5 = 0`

• `a=3, b=-4, c=-5`
• `D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(3)(-5) = 16 - (-60) = 16 + 60 = 76`
• Karena `D = 76 > 0` (dan 76 bukan kuadrat sempurna), persamaan ini memiliki dua akar real yang berbeda dan irasional. Akar-akarnya adalah `(2 ± √19) / 3`.

5.1.2 `D = 0` (Diskriminan Nol)

Jika `D = 0`, maka `√(D)` akan menjadi `√0 = 0`. Dalam rumus kuadrat, `±0` tidak akan mengubah nilai. Oleh karena itu, kedua akar akan memiliki nilai yang sama.

• Dua akar real yang sama (kembar): Persamaan kuadrat hanya memiliki satu solusi real yang unik, yang dihitung dua kali. Sering disebut juga "akar ganda".
  `x_1 = x_2 = -b / 2a`
• Interpretasi Geometris: Grafik fungsi kuadrat (parabola) akan menyentuh sumbu X tepat di satu titik (titik puncak parabola berada di sumbu X).

Contoh: `x^2 - 6x + 9 = 0`

• `a=1, b=-6, c=9`
• `D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0`
• Karena `D = 0`, persamaan ini memiliki dua akar real yang kembar, yaitu `x = 3`.

5.1.3 `D < 0` (Diskriminan Negatif)

Jika `D < 0`, maka `√(D)` akan melibatkan akar kuadrat dari bilangan negatif. Dalam sistem bilangan real, akar kuadrat dari bilangan negatif tidak didefinisikan. Oleh karena itu, kita harus masuk ke dalam sistem bilangan kompleks.

• Dua akar kompleks konjugat: Persamaan kuadrat tidak memiliki solusi real. Akar-akarnya adalah bilangan kompleks yang merupakan konjugat satu sama lain (bentuk `p ± qi`).
  `x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}`
  di mana `i` adalah unit imajiner (`i = √-1`).
• Interpretasi Geometris: Grafik fungsi kuadrat (parabola) tidak memotong atau menyentuh sumbu X sama sekali. Seluruh parabola berada di atas atau di bawah sumbu X.

Contoh: `x^2 + 2x + 5 = 0`

• `a=1, b=2, c=5`
• `D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16`
• Karena `D = -16 < 0`, persamaan ini memiliki dua akar kompleks konjugat.
  `x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2(1)} = \frac{-2 \pm 4i}{2}`
  • `x_1 = -1 + 2i`
  • `x_2 = -1 - 2i`

Memahami diskriminan memungkinkan kita untuk memprediksi sifat akar-akar persamaan kuadrat bahkan sebelum menghitungnya, yang sangat berguna dalam berbagai aplikasi.

Gambar 1: Visualisasi hubungan antara nilai diskriminan dan jumlah/jenis akar real pada grafik fungsi kuadrat.

6. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat (Hubungan Vieta)

Selain menemukan nilai akar-akar, kita juga bisa memahami hubungan antara akar-akar (`x_1` dan `x_2`) dengan koefisien `a`, `b`, dan `c` tanpa perlu menyelesaikan persamaan kuadratnya secara lengkap. Hubungan ini dikenal sebagai rumus Vieta (Vieta's Formulas), dinamai dari matematikawan Prancis François Viète.

Jika `x_1` dan `x_2` adalah akar-akar dari persamaan kuadrat `ax^2 + bx + c = 0`, maka berlaku hubungan berikut:

6.1 Jumlah Akar-akar (`x_1 + x_2`)

Jumlah kedua akar persamaan kuadrat diberikan oleh rumus:

Penjelasan: Ini adalah hubungan langsung yang berasal dari rumus kuadrat. Jika kita menjumlahkan `(-b + √D) / 2a` dan `(-b - √D) / 2a`, suku `√D` akan saling menghilangkan, menyisakan `(-b - b) / 2a = -2b / 2a = -b/a`.

6.2 Hasil Kali Akar-akar (`x_1 × x_2`)

Hasil kali kedua akar persamaan kuadrat diberikan oleh rumus:

Penjelasan: Dengan mengalikan kedua akar dari rumus kuadrat, kita akan mendapatkan `((-b)^2 - (√D)^2) / (2a)^2 = (b^2 - D) / 4a^2`. Mengganti `D` dengan `b^2 - 4ac`, kita dapatkan `(b^2 - (b^2 - 4ac)) / 4a^2 = (4ac) / 4a^2 = c/a`.

6.3 Contoh Penggunaan Sifat Akar

Misalkan kita memiliki persamaan `2x^2 + 7x + 3 = 0`. Di sini `a = 2`, `b = 7`, `c = 3`.

• Jumlah akar: `x_1 + x_2 = -b/a = -7/2`.
• Hasil kali akar: `x_1 × x_2 = c/a = 3/2`.

Dari Contoh 3, kita tahu akar-akarnya adalah `x_1 = -3` dan `x_2 = -1/2`.

• Jumlah: `-3 + (-1/2) = -6/2 - 1/2 = -7/2`. Cocok.
• Hasil kali: `(-3) × (-1/2) = 3/2`. Cocok.

6.4 Hubungan Lain Antara Akar-akar

Dari dua hubungan dasar di atas, kita dapat menurunkan hubungan lain yang berguna:

• Jumlah kuadrat akar-akar:
  `x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2(x_1 x_2) = (-b/a)^2 - 2(c/a) = b^2/a^2 - 2c/a = (b^2 - 2ac)/a^2`
• Selisih akar-akar:
  `|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4(x_1 x_2)} = \sqrt{(-b/a)^2 - 4(c/a)} = \sqrt{b^2/a^2 - 4ac/a^2} = \sqrt{(b^2 - 4ac)/a^2} = \frac{\sqrt{D}}{|a|}`
  Ini hanya berlaku jika `D ≥ 0`.
• Jumlah kebalikan akar-akar:
  `1/x_1 + 1/x_2 = (x_1 + x_2) / (x_1 x_2) = (-b/a) / (c/a) = -b/c`

6.5 Menyusun Persamaan Kuadrat Baru dari Akar-akarnya

Jika kita tahu akar-akar (`x_1` dan `x_2`) dari sebuah persamaan kuadrat, kita bisa menyusun kembali persamaannya. Ada dua cara utama:

6.5.1 Menggunakan Faktor

Jika akar-akarnya adalah `x_1` dan `x_2`, maka faktor-faktornya adalah `(x - x_1)` dan `(x - x_2)`. Persamaan kuadratnya adalah:

Kemudian, kembangkan persamaan ini.

Contoh: Susun persamaan kuadrat dengan akar-akar 3 dan -2.

1. Faktor-faktornya: `(x - 3)` dan `(x - (-2))` atau `(x + 2)`.
2. Persamaan: `(x - 3)(x + 2) = 0`.
3. Kembangkan: `x(x + 2) - 3(x + 2) = 0` ⇒ `x^2 + 2x - 3x - 6 = 0` ⇒ `x^2 - x - 6 = 0`.

6.5.2 Menggunakan Jumlah dan Hasil Kali Akar

Kita tahu bahwa `x_1 + x_2 = -b/a` dan `x_1 x_2 = c/a`. Jika kita mengambil `a = 1`, maka `b = -(x_1 + x_2)` dan `c = x_1 x_2`. Jadi, persamaan kuadratnya adalah:

Contoh: Susun persamaan kuadrat dengan akar-akar 3 dan -2.

1. Jumlah akar: `x_1 + x_2 = 3 + (-2) = 1`.
2. Hasil kali akar: `x_1 x_2 = 3 × (-2) = -6`.
3. Substitusikan ke rumus: `x^2 - (1)x + (-6) = 0` ⇒ `x^2 - x - 6 = 0`.

Kedua cara menghasilkan persamaan yang sama. Metode ini sangat berguna untuk memverifikasi akar yang ditemukan atau untuk membuat persamaan yang memenuhi kriteria tertentu.

Gambar 2: Diagram Keterkaitan antara Persamaan Kuadrat, Koefisien, Diskriminan, dan Akar-akarnya.

7. Aplikasi Persamaan Kuadrat dalam Kehidupan Nyata

Pemahaman mendalam tentang persamaan kuadrat dan cara menemukan akarnya sangat berguna dalam memecahkan masalah praktis. Berikut adalah beberapa skenario aplikasi:

7.1 Fisika: Gerak Proyektil

Ketika sebuah objek dilemparkan ke udara (tanpa memperhitungkan hambatan udara), lintasannya seringkali dapat dimodelkan oleh persamaan kuadrat. Fungsi ketinggian `h(t)` pada waktu `t` biasanya berbentuk:

Di mana `g` adalah percepatan gravitasi, `v_0` adalah kecepatan awal vertikal, dan `h_0` adalah ketinggian awal. Menemukan akar-akar (yaitu, `h(t) = 0`) akan memberi tahu kita kapan objek tersebut menyentuh tanah.

Contoh 14: Sebuah bola dilemparkan ke atas dari ketinggian 10 meter dengan kecepatan awal 15 m/s. Ketinggian bola (dalam meter) pada waktu `t` (dalam detik) diberikan oleh `h(t) = -5t^2 + 15t + 10`. Kapan bola akan menyentuh tanah?

Bola menyentuh tanah ketika `h(t) = 0`. Jadi, kita perlu menyelesaikan `0 = -5t^2 + 15t + 10`.

1. Bagi seluruh persamaan dengan -5 untuk menyederhanakan:
   `t^2 - 3t - 2 = 0`
2. Identifikasi `a=1, b=-3, c=-2`. Gunakan rumus kuadrat:
   `t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}`
   `t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2}`
   `t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}`
3. Hitung akar-akarnya (gunakan `√17 ≈ 4.12`):
   • `t_1 = (3 + 4.12) / 2 = 7.12 / 2 = 3.56` detik
   • `t_2 = (3 - 4.12) / 2 = -1.12 / 2 = -0.56` detik

Karena waktu tidak bisa negatif, kita ambil `t = 3.56` detik. Jadi, bola akan menyentuh tanah sekitar 3.56 detik setelah dilemparkan.

7.2 Ekonomi: Optimasi Keuntungan

Dalam bisnis, fungsi keuntungan seringkali dapat dimodelkan sebagai persamaan kuadrat, terutama ketika ada titik di mana keuntungan mulai menurun setelah mencapai maksimum. Misalnya, fungsi keuntungan `P(x)` sebagai fungsi dari jumlah unit yang diproduksi `x` dapat berbentuk `P(x) = -ax^2 + bx - c`.

Contoh 15: Sebuah perusahaan menemukan bahwa keuntungan hariannya `P` (dalam ribuan rupiah) saat memproduksi `x` unit barang adalah `P(x) = -2x^2 + 20x - 18`. Berapa unit yang harus diproduksi agar perusahaan mencapai titik impas (keuntungan nol)?

Titik impas terjadi ketika `P(x) = 0`. Jadi, kita harus menyelesaikan `-2x^2 + 20x - 18 = 0`.

1. Bagi seluruh persamaan dengan -2:
   `x^2 - 10x + 9 = 0`
2. Faktorkan persamaan ini (cari dua bilangan yang dikalikan 9 dan dijumlahkan -10): -1 dan -9.
   `(x - 1)(x - 9) = 0`
3. Tentukan akar-akarnya:
   • `x - 1 = 0` ⇒ `x_1 = 1`
   • `x - 9 = 0` ⇒ `x_2 = 9`

Perusahaan akan mencapai titik impas (keuntungan nol) jika memproduksi 1 unit atau 9 unit barang. Ini berarti keuntungan positif hanya terjadi antara produksi 1 dan 9 unit.

7.3 Geometri: Menemukan Dimensi

Masalah yang melibatkan luas atau keliling persegi panjang, segitiga, atau bangun datar lainnya seringkali dapat mengarah pada persamaan kuadrat.

Contoh 16: Sebuah taman berbentuk persegi panjang memiliki luas 100 m². Jika panjang taman adalah 5 meter lebih panjang dari lebarnya, berapa dimensi taman tersebut?

1. Misalkan lebar taman adalah `L` meter.
2. Maka panjang taman adalah `P = L + 5` meter.
3. Luas taman adalah `P × L = 100`.
4. Substitusikan `P`: `(L + 5)L = 100`.
5. Kembangkan persamaan: `L^2 + 5L = 100`.
6. Ubah ke bentuk standar: `L^2 + 5L - 100 = 0`.
7. Identifikasi `a=1, b=5, c=-100`. Gunakan rumus kuadrat:
   `L_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-100)}}{2(1)}`
   `L_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 400}}{2}`
   `L_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{425}}{2}`
8. Sederhanakan `√425`: `√425 = √(25 × 17) = 5√17`.
   `L_{1,2} = \frac{-5 \pm 5\sqrt{17}}{2}`
9. Hitung nilai-nilainya (gunakan `√17 ≈ 4.123`):
   • `L_1 = (-5 + 5 × 4.123) / 2 = (-5 + 20.615) / 2 = 15.615 / 2 = 7.8075`
   • `L_2 = (-5 - 5 × 4.123) / 2 = (-5 - 20.615) / 2 = -25.615 / 2 = -12.8075`

Karena lebar tidak bisa negatif, kita ambil `L = 7.8075` meter. Maka, panjangnya adalah `P = L + 5 = 7.8075 + 5 = 12.8075` meter.

Jadi, dimensi taman tersebut adalah sekitar 7.81 meter lebar dan 12.81 meter panjang.

8. Kesalahan Umum dan Tips Mencegahnya

Meskipun konsep persamaan kuadrat tampak sederhana, ada beberapa kesalahan umum yang sering dilakukan siswa. Mengetahui kesalahan ini dapat membantu Anda menghindarinya.

• Tidak menyamakan persamaan dengan nol: Sebelum menerapkan metode apapun, pastikan persamaan dalam bentuk standar `ax^2 + bx + c = 0`. Jika ada suku di sisi kanan, pindahkan ke kiri.

  Contoh Salah: `x^2 + 3x = 10`. Langsung memfaktorkan `x(x+3) = 10` dan menyimpulkan `x=10` atau `x+3=10`. Ini salah!
  Cara Benar: `x^2 + 3x - 10 = 0`. Baru faktorkan atau gunakan rumus.

• Kesalahan tanda pada `a`, `b`, atau `c`: Sangat penting untuk mengidentifikasi koefisien `a`, `b`, dan `c` dengan tanda yang benar, terutama saat menggunakan rumus kuadrat.

  Contoh Salah: Untuk `x^2 - 4x + 3 = 0`, kadang ditulis `b=4`.
  Cara Benar: `a=1`, `b=-4`, `c=3`.

• Kesalahan perhitungan diskriminan: Perhitungan `b^2 - 4ac` harus dilakukan dengan sangat hati-hati, terutama jika ada bilangan negatif. `(-b)^2` selalu positif, tetapi `-4ac` bisa positif atau negatif tergantung tanda `a` dan `c`.

  Contoh Salah: Untuk `x^2 + 2x - 3 = 0`, `D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 - 12 = -8`. Ini salah.
  Cara Benar: `D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 - (-12) = 4 + 12 = 16`.

• Lupa `±` saat mengambil akar kuadrat: Dalam metode melengkapkan kuadrat sempurna atau saat menyelesaikan `x^2 = k`, jangan lupakan kedua solusi positif dan negatif.

  Contoh Salah: `x^2 = 9` ⇒ `x = 3`. Ini hanya satu akar.
  Cara Benar: `x^2 = 9` ⇒ `x = ±3`.

• Tidak menyederhanakan akar: Jika hasil akar kuadrat dapat disederhanakan (misalnya `√76 = 2√19`), lakukanlah. Jika pecahan dapat disederhanakan, sederhanakanlah.

  Contoh Kurang Sempurna: `x = (4 ± √76) / 6`.
  Cara Lebih Baik: `x = (4 ± 2√19) / 6 = (2 ± √19) / 3`.

8.1 Tips Memilih Metode yang Tepat

Setiap metode memiliki keunggulan tersendiri. Memilih metode yang paling efisien dapat menghemat waktu dan mengurangi risiko kesalahan.

1. Pemfaktoran: Gunakan ini jika persamaan kuadratnya sederhana dan tampaknya mudah difaktorkan (biasanya ketika `a=1` dan `c` memiliki faktor yang mudah dicari untuk `b`). Pertimbangkan pemfaktoran sebagai metode "coba-coba" pertama. Jika tidak langsung terlihat, beralihlah ke metode lain.
2. Rumus Kuadrat (Rumus ABC): Ini adalah metode paling serbaguna. Gunakan ini jika pemfaktoran tidak berhasil atau terlalu rumit, atau jika Anda ingin memastikan hasil Anda. Metode ini selalu berhasil untuk semua jenis akar (real atau kompleks). Sangat direkomendasikan untuk kasus di mana `D` adalah negatif atau bukan kuadrat sempurna.
3. Melengkapkan Kuadrat Sempurna: Metode ini seringkali lebih rumit untuk perhitungan tangan dibandingkan rumus kuadrat, tetapi sangat bagus untuk pemahaman konseptual dan untuk menurunkan rumus kuadrat itu sendiri. Gunakan jika Anda diminta secara spesifik untuk menggunakan metode ini atau jika Anda ingin melatih pemahaman aljabar Anda. Ini juga berguna ketika persamaan tidak memiliki suku `c` atau `b` tertentu dan bisa disederhanakan.

9. Latihan Soal dan Pembahasan

Untuk memperkuat pemahaman Anda, mari kita kerjakan beberapa soal latihan dengan menggunakan metode yang berbeda.

9.1 Soal Latihan 1: Pemfaktoran

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat `x^2 - 8x + 15 = 0` menggunakan metode pemfaktoran.

Pembahasan:

1. Persamaan dalam bentuk standar: `a=1, b=-8, c=15`.
2. Cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya `15` dan jika dijumlahkan hasilnya `-8`. Karena `c` positif dan `b` negatif, kedua bilangan harus negatif. Faktor-faktor negatif dari 15: (-1, -15), (-3, -5). Penjumlahan: -3 + (-5) = -8. (Cocok!)
3. Bilangan-bilangan tersebut adalah `-3` dan `-5`.
4. Faktor-faktornya: `(x - 3)(x - 5) = 0`.
5. Akar-akarnya:
   • `x - 3 = 0` ⇒ `x_1 = 3`
   • `x - 5 = 0` ⇒ `x_2 = 5`

Jawaban: Akar-akar persamaan adalah `x = 3` dan `x = 5`.

9.2 Soal Latihan 2: Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat `x^2 + 10x + 21 = 0` menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna.

Pembahasan:

1. Koefisien `x^2` sudah 1.
2. Pindahkan konstanta ke kanan: `x^2 + 10x = -21`.
3. Suku `b` adalah `10`. Tambahkan `(10/2)^2 = 5^2 = 25` ke kedua sisi:
   `x^2 + 10x + 25 = -21 + 25`
4. Faktorkan sisi kiri, sederhanakan sisi kanan:
   `(x + 5)^2 = 4`
5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
   `x + 5 = ±√4`
   `x + 5 = ±2`
6. Selesaikan untuk `x`:
   • `x_1 + 5 = 2` ⇒ `x_1 = 2 - 5` ⇒ `x_1 = -3`
   • `x_2 + 5 = -2` ⇒ `x_2 = -2 - 5` ⇒ `x_2 = -7`

Jawaban: Akar-akar persamaan adalah `x = -3` dan `x = -7`.

9.3 Soal Latihan 3: Rumus Kuadrat

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat `2x^2 + 5x - 3 = 0` menggunakan rumus kuadrat.

Pembahasan:

1. Persamaan dalam bentuk standar: `a=2, b=5, c=-3`.
2. Substitusikan ke rumus kuadrat:
   `x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}`
   `x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}`
   `x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - (-24)}}{4}`
   `x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}`
   `x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4}`
   `x_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{4}`
3. Hitung akar-akarnya:
   • `x_1 = (-5 + 7) / 4 = 2 / 4 = 1/2`
   • `x_2 = (-5 - 7) / 4 = -12 / 4 = -3`

Jawaban: Akar-akar persamaan adalah `x = 1/2` dan `x = -3`.

9.4 Soal Latihan 4: Diskriminan dan Sifat Akar

Tanpa menghitung akarnya, tentukan jenis akar dari persamaan `4x^2 - 12x + 9 = 0`. Lalu, hitung jumlah dan hasil kali akar-akarnya.

Pembahasan:

1. Identifikasi `a=4, b=-12, c=9`.
2. Hitung diskriminan (`D`):
   `D = b^2 - 4ac`
   `D = (-12)^2 - 4(4)(9)`
   `D = 144 - 144`
   `D = 0`
3. Karena `D = 0`, persamaan ini memiliki dua akar real yang sama (kembar).
4. Hitung jumlah akar (`x_1 + x_2`):
   `x_1 + x_2 = -b/a = -(-12)/4 = 12/4 = 3`
5. Hitung hasil kali akar (`x_1 × x_2`):
   `x_1 × x_2 = c/a = 9/4`

Jawaban: Jenis akarnya adalah dua akar real yang kembar. Jumlah akar-akarnya adalah 3, dan hasil kali akar-akarnya adalah 9/4.

10. Kesimpulan

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat adalah keterampilan fundamental dalam matematika yang memiliki relevansi luas di berbagai disiplin ilmu. Kita telah membahas tiga metode utama:

1. Pemfaktoran: Efisien untuk persamaan yang mudah difaktorkan, terutama yang akar-akarnya bilangan bulat atau rasional.
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna: Metode yang lebih sistematis dan selalu berhasil, serta menjadi dasar penurunan rumus kuadrat.
3. Rumus Kuadrat (Rumus ABC): Metode paling universal dan dapat diandalkan untuk semua jenis persamaan kuadrat, termasuk yang menghasilkan akar irasional atau kompleks.

Selain metode pencarian akar, kita juga mempelajari pentingnya diskriminan (`D = b^2 - 4ac`) yang memberikan informasi tentang sifat akar (real berbeda, real kembar, atau kompleks konjugat) tanpa perlu menghitungnya secara eksplisit. Pemahaman tentang sifat-sifat akar (hubungan Vieta) juga memungkinkan kita untuk mengetahui jumlah dan hasil kali akar dari koefisien, serta menyusun persamaan kuadrat baru dari akar-akar yang diketahui.

Dengan menguasai berbagai metode ini, Anda tidak hanya akan mampu menyelesaikan berbagai soal matematika, tetapi juga akan memiliki alat yang ampuh untuk menganalisis dan memecahkan masalah di dunia nyata yang dapat dimodelkan oleh persamaan kuadrat.

Teruslah berlatih, karena konsistensi adalah kunci untuk menguasai konsep ini dan membangun fondasi matematika yang kuat.